實變函數(shù)第一章答案

------------------------------------------------------------------------實變函數(shù)第一章答案習題1.11．證明下列集合等式．(1)；(2)；(3)．證明(1).(2)=.(3).2．證明下列命題．(1)的充分必要條件是：；(2)的充分必要條件是：?；(3)的充分必要條件是：?．證明(1)的充要條是：(2)必要性.設成立，則,于是有,可得反之若取,則,那么與矛盾.充分性.假設成立,則,于是有,即(3)必要性.假設,即若取則于是但與矛盾.充分性.假設成立,顯然成立,即.3．證明定理1.定理1.1.6(1)如果是漸張集列,即則收斂且(2)如果是漸縮集列,即則收斂且證明(1)設則對任意存在使得從而所以則又因為由此可見收斂且(2)當時,對于存在使得于是對于任意的存在使得,從而可見又因為所以可知收斂且4．設是定義于集合上的實值函數(shù)，為任意實數(shù)，證明：(1)；(2)；(3)若，則對任意實數(shù)有．證明(1)對任意的有則存在使得成立.即那么故另一方面,若則存在使得于是,故.則有(2)設,則,從而對任意的,都有,于是,故有另一方面,設,則對于任意的,有,由的任意性,可知,即,故.(3)設,則.由可得對于任意的,存在使得,即,即,故,所以,故；另一方面,設,則對任意有.由下極限的定義知：存在使得當時,有,即對任意有;又由知即對任意的,存在使得當時,有.取,則有與同時成立,于是有,從而,由的任意性知：,即,故有;綜上所述：5．證明集列極限的下列性質．(1)；(2)；(3)；(4)．證明(1).(2).(3).(4).6．如果都收斂，則都收斂且(1)；(2)；(3)．習題1.21．建立區(qū)間與之間的一一對應．解令,,,則,.定義為:則為之間的一個一一對應.2．建立區(qū)間與之間的一一對應，其中．解定義:為:可以驗證:為一個一一對應.3．建立區(qū)間與之間的一一對應，其中．解令，.定義為:可以驗證:為一個一一對應.4．試問：是否存在連續(xù)函數(shù)，把區(qū)間一一映射為區(qū)間?是否存在連續(xù)函數(shù)，把區(qū)間一一映射為?答不存在連續(xù)函數(shù)把區(qū)間一一映射為;因為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間存在最大、最小值.也不存在連續(xù)函數(shù)把區(qū)間一一映射為;因為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在介值性定理,而區(qū)間不能保證介值性定理永遠成立.5．證明：區(qū)間且．證明記,則.任取,設為實數(shù)正規(guī)無窮十進小數(shù)表示,并令,則得到單射.因此由定理1.2.2知.若令,則.從而由定理1.2.2知:.最后,根據(jù)定理知:.對于,定義為:,則為的一個一一對應,即.又因為:,則由對等的傳遞性知:且.6．證明：與對等并求它們的基數(shù)．證明令,,.則.定義:為:可以驗證:為一一對應,即.又因為,所以.7．證明：直線上任意兩個區(qū)間都是對等且具有基數(shù)．證明對任意的取有限區(qū)間則,則由定理知,同理.故.習題1.31．證明：平面上頂點坐標為有理點的一切三角形之集是可數(shù)集．證明因為有理數(shù)集是可數(shù)集，平面上的三角形由三個頂點所確定，而每個頂點由兩個數(shù)決定，故六個數(shù)可確定一個三角形，所以中的每個元素由中的六個相互獨立的數(shù)所確定，即所以為可數(shù)集.2．證明：由平面上某些兩兩不交的閉圓盤之集最多是可數(shù)集．證明對于任意的,使得.因此可得：.因為與不相交，所以.故為單射，從而.3．證明：（1）任何可數(shù)集都可表示成兩個不交的可數(shù)集之并；（2）任何無限集都可表成可數(shù)個兩兩不交的無限集之并．證明(2)當可數(shù)時，存在雙射.因為所以.其中：.又因為且可數(shù)，所以可表示成可數(shù)個兩兩不交的無限集之并．當不可數(shù)時，由于無限，所以存在可數(shù)集,且不可數(shù)且無限，從而存在可數(shù)集，且無限不可數(shù).如此下去，可得都可數(shù)且不相交，從而.其中無限且不交.4．證明：可數(shù)個不交的非空有限集之并是可數(shù)集．5．證明：有限或可數(shù)個互不相交的有限集之并最多是可數(shù)集．證明有限個互不相交的有限集之并是有限集；而可數(shù)個互不相交的有限集之并最多是可數(shù)集.6．證明：單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點之集至多是可數(shù)集．證明不妨設函數(shù)在單調(diào)遞增，則在間斷當且僅當.于是，每個間斷點對應一個開區(qū)間.下面證明：若為的兩個不連續(xù)點，則有.事實上，任取一點，使，于是，從而對應的開區(qū)間與對應的開區(qū)間不相交，即不同的不連續(xù)點對應的開區(qū)間互不相交，又因為直線上互不相交的開區(qū)間所構成的集合至多是可數(shù)集，所以可知單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點之集至多是可數(shù)集.7．證明：若存在某正數(shù)使得平面點集中任意兩點之間的距離都大于，則至多是可數(shù)集．證明定義映射，即，其中表示以為中心，以為半徑的圓盤.顯然當時，有，即，于是為雙射，由第2題知：，故.習題1.41．直線上一切閉區(qū)之集具有什么基數(shù)？區(qū)間中的全體有理數(shù)之集的基數(shù)是什么?答直線上一切閉區(qū)間之集的基數(shù)是.這是因為：為單射，而為滿射，所以.區(qū)間中的全體有理數(shù)之集的基數(shù)是，這是因為：.2．用表示上的一切連續(xù)實值函數(shù)之集，證明：(1)設，，則；(2)公式定義了單射；(3)．證明(1)必要性.顯然.充分性.假設成立.因為，存在有理數(shù)列，使得，由，可得及.又因為為有理點列，所以有，故，都有.(2)，設，即.由(1)知：.故為單射.(3)由(2)知：；又由，可得.故.3．設為閉區(qū)間上的一切實值函數(shù)之集，證明：(1)定義了一個單射；(2)，定義了單射；(3)的基數(shù)是．證明(1)，設，即.從而，故為單射.(2)，設，則，故為單射.(3)由(1)知：；又由(2)知：，故.4．證明：．證明因為，而，故；又由定理1..4.5知：.5．證明：若為任一平面點集且至少有一內(nèi)點，則．證明顯然.設，則使得，可知，故.第一章總練習題證明下列集合等式．(1)；(2)．證明(1)因為,.所以.(2)因為所以.證明下列集合等式．(1)；(2)．證明(1).(2).3．證明：，其中為定義在的兩個實值函數(shù)，為任一常數(shù)．證明若,則有且,于是,故.所以.4．證明：中的一切有理點之集與全體自然數(shù)之集對等．證明因為,所以(推論1.3.1).又因為,所以,故.5．有理數(shù)的一切可能的序列所成之集具有什么基數(shù)？6．證明：一切有理系數(shù)的多項式之集是可數(shù)集．證明設于是顯然所以因此由定理1.3.5知：7．證明：一切實系數(shù)的多項式之集的基數(shù)為．證明記于是顯然所以因此由定理1.4.3知：8．證明：全體代數(shù)數(shù)(即可作為有理系數(shù)多項式之根的數(shù))之集是可數(shù)集，并由此說明超越數(shù)(即不是代數(shù)數(shù)的實數(shù))存在，而且全體超越數(shù)之集的基數(shù)是．證明由于有理系數(shù)多項式的全體是可數(shù)集，設其元素為記多項式的全體實根之集為由于次多項式根的個數(shù)為有限個，故為有限集，從而代數(shù)數(shù)全體為可數(shù)個有限集的并，故為可數(shù)集，即