基于GARCH模型對上證指數(shù)日對數(shù)收益率的實證分析

基于GARCH模型對上證指數(shù)收益率的實證分析于夢夢西南財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院統(tǒng)計學(xué)學(xué)號：214020208022[摘要]本文本文選取上海綜合指數(shù)在2013年1月4日至2014年12月19日期間共475個上證綜合指數(shù)每日收盤價數(shù)據(jù)，并處理成對數(shù)收益率，在此基礎(chǔ)上對中國股市收益率波動性特征進(jìn)行了分析。利用ARCH類模型對上海股票市場的波動性進(jìn)行了檢驗，發(fā)現(xiàn)中國股市具有明顯的ARCH效應(yīng)，結(jié)合ARCH模型和GARCH模型的特點，最終篩選出適合的GARCH(1，1)模型對滬市收益率序列的波動做擬合。本文最后針對中國股市的現(xiàn)存問題，借鑒成熟股市的經(jīng)驗，提出了加快發(fā)展中國股市的政策建議。關(guān)鍵詞：上證綜合指數(shù)；ARCH效應(yīng)；ARCH；GARCH模型；波動性目錄TOC\o"1-2"\h\u摘要 1一、引言 3二、文獻(xiàn)綜述 3三、中國股市波動特征 4四、ARCH類模型概述 5（一）ARCH模型 5（二）GARCH模型 6五、上海股市收益率的ARCH效應(yīng)檢驗 7（一）數(shù)據(jù)來源和處理 7（二）上證綜合指數(shù)日對數(shù)收益率序列的統(tǒng)計性描述 7（三）上證綜合指數(shù)收益率序列的平穩(wěn)性性檢驗——ADF單位根檢驗 9（四）上證綜合指數(shù)收益率序列的相關(guān)性檢驗 10（五）均值方程的確定及殘差序列自相關(guān)檢驗 10（六）異方差性檢驗 11六、建立GARCH類模型 13（一）模型階數(shù)的確定 13（二）對所建立的模型進(jìn)行殘差A(yù)RCH效應(yīng)檢驗 15（三）建立GARCH(1，1)模型 15七、實證結(jié)論分析 16參考文獻(xiàn) 162、二級市場大部分日子成交量很少，在股市發(fā)生較大波動時成交量急劇增大。從滬深股市成交量來看，大部分日子兩個市場的日成交量只有幾億元，只在“94.8”行情、“5.19”行情與1996年行情期間成交量才達(dá)幾十億元至幾百億元。3、股市上中小散戶投資者眾多，股票換手率非常高。國際上成熟股市的年換手率通常在30-50%，甚至更低，即投資者平均持股時間在2-3年以上。作為新興股市，大體上以不超過100%為宜，而中國股票市場歷年換手率都高達(dá)100%以上，最高為1996年深圳股市換手率902%。這說明中國股票市場投機(jī)氛圍濃于投資氛圍，如此頻繁的買進(jìn)賣出，直接導(dǎo)致股市價格劇烈波動。4、上市公司經(jīng)營業(yè)績欠佳，股息率不太高。相對于其他成熟股市而言，中國股市平均凈資產(chǎn)收益率較低，表明中國上市公司運行質(zhì)量不穩(wěn)，資源配置和資金使用效率不高，資產(chǎn)獲利能力還處于較低的水平。另外，上市公司的虧損情況有逐年上升的趨勢。由于上市公司經(jīng)營業(yè)績普遍欠佳，使很多上市公司股票在分紅派息時，股息率很低，一般在5%以下，有的根本沒有。雖然對股民而言，股息率的重要性已退居于股價之后，但一旦發(fā)了股息，股民心理及其股市行為就發(fā)生了變化，股息增長持續(xù)時間的長短以及股息增長率的高低對股價的漲落具有直接影響。5、每一次暴漲暴跌后面都有明顯的政策影響.中國股市波動性特征，說明了中國股市的市場機(jī)制還不完善，投機(jī)性太強(qiáng)，市場主體行為非理性。那么我國新興股票市場價格的波動與成熟市場經(jīng)濟(jì)國家的股票市場相比有哪些不同，我國股票市場價格的波動性特征適合用什么樣的模型來描述，產(chǎn)生這些波動性特征的原因是什么，這些問題都值得我們研究。四、ARCH類模型概述（一）ARCH模型傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)計量模型假設(shè)樣本方差不隨時間改變。為了改進(jìn)這些模型，Engle(1982)提出了一類新的隨機(jī)過程模型，稱為自回歸條件異方差模型，即ARCH模型（autoregressiveconditionalheteroskedasticity，自回歸條件異方差），用以捕捉金融數(shù)據(jù)的時變性與聚類特征。該模型一般用于對金融時.間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行集聚性、方差波動性、回歸和預(yù)測分析，實證效果良好。ARCH模型的一個假設(shè)是:觀測數(shù)據(jù)方差的統(tǒng)計性描述呈現(xiàn)出自相關(guān)的特點，即滯后值函數(shù)包括觀測誤差的方差。該模型的核心思想是隨機(jī)擾動項的條件方差依賴于干擾項的前一期殘差平方的大小，以ARCH(1)模型為例，該模型在t時刻時的條件方差依賴于前一時刻(t-1)的殘差平方的大小。ARCH模型的形式如下：式（1）的無條件方差是常數(shù)，但是其條件分布為：式（2）其中是信息集。方程（1）是均值方程。其中，為條件方差，含義是基于過去信息的一期預(yù)測方差。方程（2）是條件方差方程，由二項組成。ARCH項為滯后的殘差平方。ARCH(P)過程可以寫為:式(3)其中，服從獨立同分布且滿足E()=0，Var()=，稱(3)為自回歸條件異方差模型，簡稱ARCH模型，稱序列服從P階的ARCH過程，把式(1)和式(3)構(gòu)成的模型稱為ARCH模型。ARCH模型及其擴(kuò)展模型雖然都常常用來描述和解釋貨幣和金融時間序列誤差的方差或波動隨時間變化的行為，但它們具有各自的特點。ARCH模型的主要貢獻(xiàn)在于發(fā)現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)時間序列中比較明顯的變化是可以預(yù)測的，并且說明了這種變化是來自某一特定類型的非線性依賴性，而不是方差的外生結(jié)構(gòu)變化。式(2)表明過去的波動擾動對市場未來波動有著正向而減緩的影響，因此波動會持續(xù)一段時間，從而模擬了市場波動的集群性現(xiàn)象，但沒有說明波動的方向。從預(yù)測的角度來看，當(dāng)存在ARCH效應(yīng)時，使用ARCH模型較之仍使用方差為常數(shù)的普通最小二乘法而言不僅可以提高預(yù)測值的精度，還可以知道預(yù)測值的可靠性。當(dāng)方差較大時，預(yù)測值的置信區(qū)間就較大，從而可靠性較差；反之預(yù)測值的可靠性較好。ARCH模型的這種性質(zhì)在對股票、債券、期貨和期權(quán)等進(jìn)行風(fēng)險分析時具有重要的實用價值。（二）GARCH模型許多實際問題中隨著時間t的變化，序列{rt}的隨機(jī)擾動項的條件方差也在變化，即序列具有變方差的特性。Engel在1982年首先提出了ARCH模型對方差進(jìn)行建模，來描述股票市場的波動聚類性和持續(xù)性。ARCH模型通過對過去p期非預(yù)期回報(Et)的平方的平方的移動平均來捕獲回報序列的條件異方差。但是ARCH(q)模型在實際應(yīng)用中為得到較好的擬合效果需要很大的階數(shù)q，這增大了待估參數(shù)的個數(shù)，還會引發(fā)諸如解釋變量的多重共線性等其他問題。另外，對于大數(shù)q，非限制估計通常會違背q為負(fù)數(shù)的限定條件。1986年Bollerslev將ARCH模型推廣發(fā)展成GARCH模型，GARCH模型考慮了異方差本身的自回歸。GARCH模型可以描述大多數(shù)金融報酬時間序列，所以在波動性研究中被廣泛采用。和ARCH相比，GARCH模型的優(yōu)點在于相對低階的GARCH模型可以實現(xiàn)高階ARCH模型對市場變量的預(yù)測，過程的識別和參數(shù)估計都相對容易。GARCH模型由均值方程和條件方差方程組合而成。定義et是一個實值時間離散隨機(jī)過程，也是包含t時刻所有信息的P域上的信息集，GARCH(p，q)過程定義如下。它的條件方差表示為：式（4）在（4）式中，pM是ARCH項的階數(shù)，q是自回歸GARCH項的階數(shù)，p>0并且，≥0，0≤i≤p，和是滯后算子多項式。五、上海股市收益率的ARCH效應(yīng)檢驗（一）數(shù)據(jù)來源和處理在分析股票市場收益率時，一般將收益率定義為:=logP(t)-logP（t-1)，Pt為股票市場每日收盤價。本文選取上海綜合指數(shù)在2013年1月4日——2014年12月19日之間的每日收盤價Pt作為樣本數(shù)據(jù)，n=475。每日股票市場收益率為相鄰營業(yè)日股指收盤價的對數(shù)一階差分，有時候，收益率會乘以100，以表示價格變動的百分比形式，因為原始的收益率是一個很小的數(shù)字，在計算中存在著大量的舍入誤差，所以乘以100的處理可以減少數(shù)值誤差。因此上證綜合指數(shù)的日對數(shù)收益率的計算公式如下：式（5）本文數(shù)據(jù)來源網(wǎng)址為：/trade/lsjysj_zhishu_000001.html（二）上證綜合指數(shù)日對數(shù)收益率序列的統(tǒng)計性描述對收集到的475個樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計描述，得出上證指數(shù)收益率序列的圖形如下:圖1上證綜合指數(shù)收益率的線形圖從上證綜合指數(shù)對數(shù)收益率序列r的線性圖中，可觀察到對數(shù)收益率波動的“集群”現(xiàn)象：波動在一些時間段內(nèi)較小，在有的時間段內(nèi)非常大。圖2上證綜合指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計觀察這些數(shù)據(jù)，我們可以發(fā)現(xiàn)：樣本期內(nèi)滬市收益率均值為0.066%，標(biāo)準(zhǔn)差為1.10%，偏度為-0.357，左偏峰度為6.29，遠(yuǎn)高于正態(tài)分布的峰度值3，說明收益率具有尖峰和厚尾特征。JB正態(tài)性檢驗也證實了這點，統(tǒng)計量為223.69，P值為0.00000，拒絕該對數(shù)收益率序列服從正態(tài)分布的假設(shè)。說明在極小水平下，收益率顯著異于正態(tài)分布。（三）上證綜合指數(shù)收益率序列的平穩(wěn)性性檢驗——ADF單位根檢驗雖然在金融時間序列中，收益率序列大多是平穩(wěn)的，但為了使后面的研究建立在一個正確的前提之下，還是有必要對收益率的時間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗。在檢驗序列平穩(wěn)性的方法中，單位根檢驗是使用最多的一種方法。因此本文對上證對數(shù)日收益率進(jìn)行ADF單位根檢驗，結(jié)果如圖所示：表1上證綜合指數(shù)收益率序列的ADF檢驗結(jié)果

NullHypothesis:RhasaunitrootExogenous:ConstantLagLength:0(Automatic-basedonSIC，maxlag=17)t-Statistic

Prob.*AugmentedDickey-Fullerteststatistic-20.79569

0.0000Testcriticalvalues:1%level-3.4439215%level-2.86741810%level-2.569963*MacKinnon(1996)one-sidedp-values.AugmentedDickey-FullerTestEquationDependentVariable:D(R)Method:LeastSquaresDate:12/28/14Time:01:05Sample(adjusted):1/07/201312/19/2014Includedobservations:474afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

R(-1)-0.9584230.046088-20.795690.0000C0.0630630.0507551.2424920.2147R-squared0.478142

Meandependentvar0.002765AdjustedR-squared0.477036

S.D.dependentvar1.525537S.E.ofregression1.103210

Akaikeinfocriterion3.038537Sumsquaredresid574.4586

Schwarzcriterion3.056094Loglikelihood-718.1332

Hannan-Quinncriter.3.045442F-statistic432.4606

Durbin-Watsonstat2.002082Prob(F-statistic)0.000000

因為在單位根檢驗時，零假設(shè)和備擇假設(shè)分別是：H0：=1，（yt非平穩(wěn)）H1：<1，（yt平穩(wěn)）DF>臨界值，則接受H0，yt非平穩(wěn)；DF<臨界值，則拒絕H0，yt是平穩(wěn)的。本文中的收益率序列在1%的顯著水平下，ADF檢驗值-20.80<-3.44，P值為零。說明rt有一個單位根的概率幾乎為0，因此拒絕H0，認(rèn)為數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。因此滬市的收益率拒絕隨機(jī)游走的假設(shè)，收益率序列通常是平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)。（四）上證綜合指數(shù)收益率序列的相關(guān)性檢驗為了檢驗上證指數(shù)收益率序列的相關(guān)性，使用EViews軟件，對收益率原序列作其AC圖和PAC圖，如下所示：表2上證綜合指數(shù)收益率的自相關(guān)函數(shù)分析表從圖中可以看出，序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)均落入兩倍的估計標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，且Q－統(tǒng)計量的對應(yīng)的p值均大于置信度0.05，故序列在5％的顯著性水平上不存在顯著的相關(guān)性。（五）均值方程的確定及殘差序列自相關(guān)檢驗由于序列不存在顯著的相關(guān)性，因此將均值方程設(shè)定為白噪聲。設(shè)立模型：式（6）將r去均值化，得到序列W：式（7）其中，r的均值為0.066。再看W序列的描述性統(tǒng)計：圖3W序列的描述性統(tǒng)計異方差性檢驗從圖1中可以看出，的樣本分布具有聚類特征，從統(tǒng)計的角度來說，基本可以看出序列具有異方差性，因此需要用ARCH檢驗來檢驗序列的異方差性。普通回歸方程的ARCH效應(yīng)檢驗分為兩種：ARCHLM檢驗和殘差平方圖檢驗。本文采用第二種方法，即進(jìn)行殘差的平方相關(guān)圖檢驗。ARCHLMTest：拉格朗日乘數(shù)檢驗。Robinson(1994)提出了一種拉格朗日乘子檢驗方法，簡稱LM檢驗。Breush-GodfreyLM檢驗（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗）也可應(yīng)用于檢驗回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在方程中存在滯后因變量的情況下，LM檢驗仍然有效。LM檢驗原假設(shè)為：直到p階滯后不存在序列相關(guān)，p為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在p階自相關(guān)。檢驗統(tǒng)計量由如下輔助回歸計算。LM檢驗通常給出兩個統(tǒng)計量：F統(tǒng)計量和T×R2統(tǒng)計量。LM方法的不足之處在于對模型的要求過于苛刻，即在模型完全識別的情況下才有效，否則估計就不一致;且從整個過程來看，也沒有給出分?jǐn)?shù)差分參數(shù)d的具體值，僅能夠知道估計值大概處于一個什么樣的范圍。建立輔助回歸方程式（8）此處是回歸殘差。原假設(shè)：H0：序列不存在ARCH效應(yīng)即H0：可以證明：若H0為真，則式（9）此處，m為輔助回歸方程的樣本個數(shù)。R2為輔助回歸方程的確定系數(shù)。2.殘差平方圖檢驗。該部分采用收益率序列去均值化后的殘差序列W，令Z=w^2，可得到對數(shù)收益率殘差平方的自相關(guān)函數(shù)分析圖：表3收益率殘差平方的自相關(guān)函數(shù)分析圖如圖所示，序列存在自相關(guān)，說明拒絕ARCH模型殘差項不存在異方差性的原假設(shè)，即所選上證綜合指數(shù)收益率樣本存在明顯的異方差性，所以有ARCH效應(yīng)。綜合上述對上證指數(shù)收益率樣本序列的ARCH效應(yīng)(平穩(wěn)性、自相關(guān)性、異方差性)和尖峰厚尾的特征的分析檢驗，因此有理由認(rèn)為使用GARCH族模型來描述收益率的波動性是合理的。六、建立GARCH類模型（一）模型階數(shù)的確定在對參數(shù)進(jìn)行估計之前，我們需要確定該模型的階數(shù)。在這里我們使用AIC信息準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則來確定其階數(shù)。常用的GARCH模型包括GARCH(1，1)，GARCH(1，2)，GARCH(2，1)我們分別用多個模型建模，以下分別以GARCH(1，1)、GARCH(1，2)、GARCH(2，1)三個模型進(jìn)行嘗試。表4GARCH(1，1)

DependentVariable:WMethod:ML-ARCH(Marquardt)-NormaldistributionDate:12/27/14Time:14:43Sample:1/04/201312/19/2014Includedobservations:475Convergenceachievedafter10iterationsPresamplevariance:backcast(parameter=0.7)GARCH=C(1)+C(2)*RESID(-1)^2+C(3)*GARCH(-1)VariableCoefficientStd.Errorz-StatisticProb.

VarianceEquationC0.0868880.0459451.8911280.0586RESID(-1)^20.0796130.0192484.1362570.0000GARCH(-1)0.8522760.05252516.226200.0000R-squared-0.000000

Meandependentvar0.000269AdjustedR-squared0.002105

S.D.dependentvar1.101904S.E.ofregression1.100744

Akaikeinfocriterion2.982501Sumsquaredresid575.5276

Schwarzcriterion3.008796Loglikelihood-705.3441

Hannan-Quinncriter.2.992842Durbin-Watsonstat1.912677表5GARCH(1，2)

DependentVariable:WMethod:ML-ARCH(Marquardt)-NormaldistributionDate:12/27/14Time:14:46Sample:1/04/201312/19/2014Includedobservations:475Convergenceachievedafter10iterationsPresamplevariance:backcast(parameter=0.7)GARCH=C(1)+C(2)*RESID(-1)^2+C(3)*RESID(-2)^2+C(4)*GARCH(-1)VariableCoefficientStd.Errorz-StatisticProb.

VarianceEquationC0.4276800.1098663.8927400.0001RESID(-1)^2-0.0107980.028441-0.3796520.7042RESID(-2)^20.2178960.0439744.9551140.0000GARCH(-1)0.4445860.1166203.8122700.0001R-squared-0.000000

Meandependentvar0.000269AdjustedR-squared0.002105

S.D.dependentvar1.101904S.E.ofregression1.100744

Akaikeinfocriterion2.971249Sumsquaredresid575.5276

Schwarzcriterion3.006308Loglikelihood-701.6716

Hannan-Quinncriter.2.985036Durbin-Watsonstat1.912677表6GARCH(2，1)

DependentVariable:WMethod:ML-ARCH(Marquardt)-NormaldistributionDate:12/27/14Time:14:50Sample:1/04/201312/19/2014Includedobservations:475Convergenceachievedafter23iterationsPresamplevariance:backcast(parameter=0.7)GARCH=C(1)+C(2)*RESID(-1)^2+C(3)*GARCH(-1)+C(4)*GARCH(-2)VariableCoefficientStd.Errorz-StatisticProb.

VarianceEquationC0.0814390.0508901.6002980.1095RESID(-1)^20.0671520.0437471.5350220.1248GARCH(-1)1.0834970.6057231.7887680.0737GARCH(-2)-0.2154650.538971-0.3997700.6893R-squared-0.000000

Meandependentvar0.000269AdjustedR-squared0.002105

S.D.dependentvar1.101904S.E.ofregression1.100744

Akaikeinfocriterion2.985573Sumsquaredresid575.5276

Schwarzcriterion3.020632Loglikelihood-705.0735

Hannan-Quinncriter.2.999360Durbin-Watsonstat1.912677

分別觀察上述三個圖表，GARCH（1，2）模型的AIC值最小，SC值最小，但是GARCH（1，2）并非所有的系數(shù)都通過t檢驗，同理GARCH（2，1）所有的系數(shù)都未能通過t檢驗，因此用GARCH（1，1）模型來進(jìn)行擬合。（二）對所建立的模型進(jìn)行殘差A(yù)RCH效應(yīng)檢驗在剔除序列的相關(guān)性后，對建立的GARCH(1，1)模型進(jìn)行殘差A(yù)RCH效應(yīng)檢驗：滯后階數(shù)可以分別取1，4，8，12，結(jié)果輸出如下：表7滯后階數(shù)為1

HeteroskedasticityTest:ARCHF-statistic0.877604

Prob.F(1，472)0.3493Obs*R-squared0.879687

Prob.Chi-Square(1)0.3483表8滯后階數(shù)為4

HeteroskedasticityTest:ARCHF-statistic0.916184

Prob.F(4，466)0.4542Obs*R-squared3.675157

Prob.Chi-Square(4)0.4517

表9滯后階數(shù)為8

HeteroskedasticityTest:ARCHF-statistic0.841721

Prob.F(8，458)0.5662Obs*R-squared6.766607

Prob.Chi-Square(8)0.5620表10滯后階數(shù)為12

HeteroskedasticityTest:ARCHF-statistic0.797180

Prob.F(12，450)0.6536Obs*R-squared9.637633

Prob.Chi-Square(12)0.6477各種lag值情形下，F(xiàn)統(tǒng)計量均不顯著，說明模型已經(jīng)不存在ARCH效應(yīng)。（三）建立GARCH(1，1)模型建立的GARCH(1，1)模型如下：均值方程：W=-0.00493868287078式（10）因為均值方程的P值檢驗不顯著，而且該對數(shù)收益率虛列為白噪聲過程，因此本文不再給出均值方程。方差方程：式（11）七、實證結(jié)論分析本文以