基于GARCH模型對(duì)上證指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率的實(shí)證分析

基于GARCH模型對(duì)上證指數(shù)收益率的實(shí)證分析于夢夢西南財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)號(hào)：214020208022[摘要]本文本文選取上海綜合指數(shù)在2013年1月4日至2014年12月19日期間共475個(gè)上證綜合指數(shù)每日收盤價(jià)數(shù)據(jù)，并處理成對(duì)數(shù)收益率，在此基礎(chǔ)上對(duì)中國股市收益率波動(dòng)性特征進(jìn)行了分析。利用ARCH類模型對(duì)上海股票市場的波動(dòng)性進(jìn)行了檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)中國股市具有明顯的ARCH效應(yīng)，結(jié)合ARCH模型和GARCH模型的特點(diǎn)，最終篩選出適合的GARCH(1，1)模型對(duì)滬市收益率序列的波動(dòng)做擬合。本文最后針對(duì)中國股市的現(xiàn)存問題，借鑒成熟股市的經(jīng)驗(yàn)，提出了加快發(fā)展中國股市的政策建議。關(guān)鍵詞：上證綜合指數(shù)；ARCH效應(yīng)；ARCH；GARCH模型；波動(dòng)性目錄TOC\o"1-2"\h\u摘要 1一、引言 3二、文獻(xiàn)綜述 3三、中國股市波動(dòng)特征 4四、ARCH類模型概述 5（一）ARCH模型 5（二）GARCH模型 6五、上海股市收益率的ARCH效應(yīng)檢驗(yàn) 7（一）數(shù)據(jù)來源和處理 7（二）上證綜合指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率序列的統(tǒng)計(jì)性描述 7（三）上證綜合指數(shù)收益率序列的平穩(wěn)性性檢驗(yàn)——ADF單位根檢驗(yàn) 9（四）上證綜合指數(shù)收益率序列的相關(guān)性檢驗(yàn) 10（五）均值方程的確定及殘差序列自相關(guān)檢驗(yàn) 10（六）異方差性檢驗(yàn) 11六、建立GARCH類模型 13（一）模型階數(shù)的確定 13（二）對(duì)所建立的模型進(jìn)行殘差A(yù)RCH效應(yīng)檢驗(yàn) 15（三）建立GARCH(1，1)模型 15七、實(shí)證結(jié)論分析 16參考文獻(xiàn) 162、二級(jí)市場大部分日子成交量很少，在股市發(fā)生較大波動(dòng)時(shí)成交量急劇增大。從滬深股市成交量來看，大部分日子兩個(gè)市場的日成交量只有幾億元，只在“94.8”行情、“5.19”行情與1996年行情期間成交量才達(dá)幾十億元至幾百億元。3、股市上中小散戶投資者眾多，股票換手率非常高。國際上成熟股市的年換手率通常在30-50%，甚至更低，即投資者平均持股時(shí)間在2-3年以上。作為新興股市，大體上以不超過100%為宜，而中國股票市場歷年換手率都高達(dá)100%以上，最高為1996年深圳股市換手率902%。這說明中國股票市場投機(jī)氛圍濃于投資氛圍，如此頻繁的買進(jìn)賣出，直接導(dǎo)致股市價(jià)格劇烈波動(dòng)。4、上市公司經(jīng)營業(yè)績欠佳，股息率不太高。相對(duì)于其他成熟股市而言，中國股市平均凈資產(chǎn)收益率較低，表明中國上市公司運(yùn)行質(zhì)量不穩(wěn)，資源配置和資金使用效率不高，資產(chǎn)獲利能力還處于較低的水平。另外，上市公司的虧損情況有逐年上升的趨勢。由于上市公司經(jīng)營業(yè)績普遍欠佳，使很多上市公司股票在分紅派息時(shí)，股息率很低，一般在5%以下，有的根本沒有。雖然對(duì)股民而言，股息率的重要性已退居于股價(jià)之后，但一旦發(fā)了股息，股民心理及其股市行為就發(fā)生了變化，股息增長持續(xù)時(shí)間的長短以及股息增長率的高低對(duì)股價(jià)的漲落具有直接影響。5、每一次暴漲暴跌后面都有明顯的政策影響.中國股市波動(dòng)性特征，說明了中國股市的市場機(jī)制還不完善，投機(jī)性太強(qiáng)，市場主體行為非理性。那么我國新興股票市場價(jià)格的波動(dòng)與成熟市場經(jīng)濟(jì)國家的股票市場相比有哪些不同，我國股票市場價(jià)格的波動(dòng)性特征適合用什么樣的模型來描述，產(chǎn)生這些波動(dòng)性特征的原因是什么，這些問題都值得我們研究。四、ARCH類模型概述（一）ARCH模型傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型假設(shè)樣本方差不隨時(shí)間改變。為了改進(jìn)這些模型，Engle(1982)提出了一類新的隨機(jī)過程模型，稱為自回歸條件異方差模型，即ARCH模型（autoregressiveconditionalheteroskedasticity，自回歸條件異方差），用以捕捉金融數(shù)據(jù)的時(shí)變性與聚類特征。該模型一般用于對(duì)金融時(shí).間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行集聚性、方差波動(dòng)性、回歸和預(yù)測分析，實(shí)證效果良好。ARCH模型的一個(gè)假設(shè)是:觀測數(shù)據(jù)方差的統(tǒng)計(jì)性描述呈現(xiàn)出自相關(guān)的特點(diǎn)，即滯后值函數(shù)包括觀測誤差的方差。該模型的核心思想是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的條件方差依賴于干擾項(xiàng)的前一期殘差平方的大小，以ARCH(1)模型為例，該模型在t時(shí)刻時(shí)的條件方差依賴于前一時(shí)刻(t-1)的殘差平方的大小。ARCH模型的形式如下：式（1）的無條件方差是常數(shù)，但是其條件分布為：式（2）其中是信息集。方程（1）是均值方程。其中，為條件方差，含義是基于過去信息的一期預(yù)測方差。方程（2）是條件方差方程，由二項(xiàng)組成。ARCH項(xiàng)為滯后的殘差平方。ARCH(P)過程可以寫為:式(3)其中，服從獨(dú)立同分布且滿足E()=0，Var()=，稱(3)為自回歸條件異方差模型，簡稱ARCH模型，稱序列服從P階的ARCH過程，把式(1)和式(3)構(gòu)成的模型稱為ARCH模型。ARCH模型及其擴(kuò)展模型雖然都常常用來描述和解釋貨幣和金融時(shí)間序列誤差的方差或波動(dòng)隨時(shí)間變化的行為，但它們具有各自的特點(diǎn)。ARCH模型的主要貢獻(xiàn)在于發(fā)現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列中比較明顯的變化是可以預(yù)測的，并且說明了這種變化是來自某一特定類型的非線性依賴性，而不是方差的外生結(jié)構(gòu)變化。式(2)表明過去的波動(dòng)擾動(dòng)對(duì)市場未來波動(dòng)有著正向而減緩的影響，因此波動(dòng)會(huì)持續(xù)一段時(shí)間，從而模擬了市場波動(dòng)的集群性現(xiàn)象，但沒有說明波動(dòng)的方向。從預(yù)測的角度來看，當(dāng)存在ARCH效應(yīng)時(shí)，使用ARCH模型較之仍使用方差為常數(shù)的普通最小二乘法而言不僅可以提高預(yù)測值的精度，還可以知道預(yù)測值的可靠性。當(dāng)方差較大時(shí)，預(yù)測值的置信區(qū)間就較大，從而可靠性較差；反之預(yù)測值的可靠性較好。ARCH模型的這種性質(zhì)在對(duì)股票、債券、期貨和期權(quán)等進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析時(shí)具有重要的實(shí)用價(jià)值。（二）GARCH模型許多實(shí)際問題中隨著時(shí)間t的變化，序列{rt}的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的條件方差也在變化，即序列具有變方差的特性。Engel在1982年首先提出了ARCH模型對(duì)方差進(jìn)行建模，來描述股票市場的波動(dòng)聚類性和持續(xù)性。ARCH模型通過對(duì)過去p期非預(yù)期回報(bào)(Et)的平方的平方的移動(dòng)平均來捕獲回報(bào)序列的條件異方差。但是ARCH(q)模型在實(shí)際應(yīng)用中為得到較好的擬合效果需要很大的階數(shù)q，這增大了待估參數(shù)的個(gè)數(shù)，還會(huì)引發(fā)諸如解釋變量的多重共線性等其他問題。另外，對(duì)于大數(shù)q，非限制估計(jì)通常會(huì)違背q為負(fù)數(shù)的限定條件。1986年Bollerslev將ARCH模型推廣發(fā)展成GARCH模型，GARCH模型考慮了異方差本身的自回歸。GARCH模型可以描述大多數(shù)金融報(bào)酬時(shí)間序列，所以在波動(dòng)性研究中被廣泛采用。和ARCH相比，GARCH模型的優(yōu)點(diǎn)在于相對(duì)低階的GARCH模型可以實(shí)現(xiàn)高階ARCH模型對(duì)市場變量的預(yù)測，過程的識(shí)別和參數(shù)估計(jì)都相對(duì)容易。GARCH模型由均值方程和條件方差方程組合而成。定義et是一個(gè)實(shí)值時(shí)間離散隨機(jī)過程，也是包含t時(shí)刻所有信息的P域上的信息集，GARCH(p，q)過程定義如下。它的條件方差表示為：式（4）在（4）式中，pM是ARCH項(xiàng)的階數(shù)，q是自回歸GARCH項(xiàng)的階數(shù)，p>0并且，≥0，0≤i≤p，和是滯后算子多項(xiàng)式。五、上海股市收益率的ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)（一）數(shù)據(jù)來源和處理在分析股票市場收益率時(shí)，一般將收益率定義為:=logP(t)-logP（t-1)，Pt為股票市場每日收盤價(jià)。本文選取上海綜合指數(shù)在2013年1月4日——2014年12月19日之間的每日收盤價(jià)Pt作為樣本數(shù)據(jù)，n=475。每日股票市場收益率為相鄰營業(yè)日股指收盤價(jià)的對(duì)數(shù)一階差分，有時(shí)候，收益率會(huì)乘以100，以表示價(jià)格變動(dòng)的百分比形式，因?yàn)樵嫉氖找媛适且粋€(gè)很小的數(shù)字，在計(jì)算中存在著大量的舍入誤差，所以乘以100的處理可以減少數(shù)值誤差。因此上證綜合指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率的計(jì)算公式如下：式（5）本文數(shù)據(jù)來源網(wǎng)址為：/trade/lsjysj_zhishu_000001.html（二）上證綜合指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率序列的統(tǒng)計(jì)性描述對(duì)收集到的475個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述，得出上證指數(shù)收益率序列的圖形如下:圖1上證綜合指數(shù)收益率的線形圖從上證綜合指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列r的線性圖中，可觀察到對(duì)數(shù)收益率波動(dòng)的“集群”現(xiàn)象：波動(dòng)在一些時(shí)間段內(nèi)較小，在有的時(shí)間段內(nèi)非常大。圖2上證綜合指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)觀察這些數(shù)據(jù)，我們可以發(fā)現(xiàn)：樣本期內(nèi)滬市收益率均值為0.066%，標(biāo)準(zhǔn)差為1.10%，偏度為-0.357，左偏峰度為6.29，遠(yuǎn)高于正態(tài)分布的峰度值3，說明收益率具有尖峰和厚尾特征。JB正態(tài)性檢驗(yàn)也證實(shí)了這點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)量為223.69，P值為0.00000，拒絕該對(duì)數(shù)收益率序列服從正態(tài)分布的假設(shè)。說明在極小水平下，收益率顯著異于正態(tài)分布。（三）上證綜合指數(shù)收益率序列的平穩(wěn)性性檢驗(yàn)——ADF單位根檢驗(yàn)雖然在金融時(shí)間序列中，收益率序列大多是平穩(wěn)的，但為了使后面的研究建立在一個(gè)正確的前提之下，還是有必要對(duì)收益率的時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。在檢驗(yàn)序列平穩(wěn)性的方法中，單位根檢驗(yàn)是使用最多的一種方法。因此本文對(duì)上證對(duì)數(shù)日收益率進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)，結(jié)果如圖所示：表1上證綜合指數(shù)收益率序列的ADF檢驗(yàn)結(jié)果

NullHypothesis:RhasaunitrootExogenous:ConstantLagLength:0(Automatic-basedonSIC，maxlag=17)t-Statistic

Prob.*AugmentedDickey-Fullerteststatistic-20.79569

0.0000Testcriticalvalues:1%level-3.4439215%level-2.86741810%level-2.569963*MacKinnon(1996)one-sidedp-values.AugmentedDickey-FullerTestEquationDependentVariable:D(R)Method:LeastSquaresDate:12/28/14Time:01:05Sample(adjusted):1/07/201312/19/2014Includedobservations:474afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

R(-1)-0.9584230.046088-20.795690.0000C0.0630630.0507551.2424920.2147R-squared0.478142

Meandependentvar0.002765AdjustedR-squared0.477036

S.D.dependentvar1.525537S.E.ofregression1.103210

Akaikeinfocriterion3.038537Sumsquaredresid574.4586

Schwarzcriterion3.056094Loglikelihood-718.1332

Hannan-Quinncriter.3.045442F-statistic432.4606

Durbin-Watsonstat2.002082Prob(F-statistic)0.000000

因?yàn)樵趩挝桓鶛z驗(yàn)時(shí)，零假設(shè)和備擇假設(shè)分別是：H0：=1，（yt非平穩(wěn)）H1：<1，（yt平穩(wěn)）DF>臨界值，則接受H0，yt非平穩(wěn)；DF<臨界值，則拒絕H0，yt是平穩(wěn)的。本文中的收益率序列在1%的顯著水平下，ADF檢驗(yàn)值-20.80<-3.44，P值為零。說明rt有一個(gè)單位根的概率幾乎為0，因此拒絕H0，認(rèn)為數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。因此滬市的收益率拒絕隨機(jī)游走的假設(shè)，收益率序列通常是平穩(wěn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。（四）上證綜合指數(shù)收益率序列的相關(guān)性檢驗(yàn)為了檢驗(yàn)上證指數(shù)收益率序列的相關(guān)性，使用EViews軟件，對(duì)收益率原序列作其AC圖和PAC圖，如下所示：表2上證綜合指數(shù)收益率的自相關(guān)函數(shù)分析表從圖中可以看出，序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)均落入兩倍的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，且Q－統(tǒng)計(jì)量的對(duì)應(yīng)的p值均大于置信度0.05，故序列在5％的顯著性水平上不存在顯著的相關(guān)性。（五）均值方程的確定及殘差序列自相關(guān)檢驗(yàn)由于序列不存在顯著的相關(guān)性，因此將均值方程設(shè)定為白噪聲。設(shè)立模型：式（6）將r去均值化，得到序列W：式（7）其中，r的均值為0.066。再看W序列的描述性統(tǒng)計(jì)：圖3W序列的描述性統(tǒng)計(jì)異方差性檢驗(yàn)從圖1中可以看出，的樣本分布具有聚類特征，從統(tǒng)計(jì)的角度來說，基本可以看出序列具有異方差性，因此需要用ARCH檢驗(yàn)來檢驗(yàn)序列的異方差性。普通回歸方程的ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)分為兩種：ARCHLM檢驗(yàn)和殘差平方圖檢驗(yàn)。本文采用第二種方法，即進(jìn)行殘差的平方相關(guān)圖檢驗(yàn)。ARCHLMTest：拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)。Robinson(1994)提出了一種拉格朗日乘子檢驗(yàn)方法，簡稱LM檢驗(yàn)。Breush-GodfreyLM檢驗(yàn)（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)）也可應(yīng)用于檢驗(yàn)回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在方程中存在滯后因變量的情況下，LM檢驗(yàn)仍然有效。LM檢驗(yàn)原假設(shè)為：直到p階滯后不存在序列相關(guān)，p為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在p階自相關(guān)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由如下輔助回歸計(jì)算。LM檢驗(yàn)通常給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量和T×R2統(tǒng)計(jì)量。LM方法的不足之處在于對(duì)模型的要求過于苛刻，即在模型完全識(shí)別的情況下才有效，否則估計(jì)就不一致;且從整個(gè)過程來看，也沒有給出分?jǐn)?shù)差分參數(shù)d的具體值，僅能夠知道估計(jì)值大概處于一個(gè)什么樣的范圍。建立輔助回歸方程式（8）此處是回歸殘差。原假設(shè)：H0：序列不存在ARCH效應(yīng)即H0：可以證明：若H0為真，則式（9）此處，m為輔助回歸方程的樣本個(gè)數(shù)。R2為輔助回歸方程的確定系數(shù)。2.殘差平方圖檢驗(yàn)。該部分采用收益率序列去均值化后的殘差序列W，令Z=w^2，可得到對(duì)數(shù)收益率殘差平方的自相關(guān)函數(shù)分析圖：表3收益率殘差平方的自相關(guān)函數(shù)分析圖如圖所示，序列存在自相關(guān)，說明拒絕ARCH模型殘差項(xiàng)不存在異方差性的原假設(shè)，即所選上證綜合指數(shù)收益率樣本存在明顯的異方差性，所以有ARCH效應(yīng)。綜合上述對(duì)上證指數(shù)收益率樣本序列的ARCH效應(yīng)(平穩(wěn)性、自相關(guān)性、異方差性)和尖峰厚尾的特征的分析檢驗(yàn)，因此有理由認(rèn)為使用GARCH族模型來描述收益率的波動(dòng)性是合理的。六、建立GARCH類模型（一）模型階數(shù)的確定在對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)之前，我們需要確定該模型的階數(shù)。在這里我們使用AIC信息準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則來確定其階數(shù)。常用的GARCH模型包括GARCH(1，1)，GARCH(1，2)，GARCH(2，1)我們分別用多個(gè)模型建模，以下分別以GARCH(1，1)、GARCH(1，2)、GARCH(2，1)三個(gè)模型進(jìn)行嘗試。表4GARCH(1，1)

DependentVariable:WMethod:ML-ARCH(Marquardt)-NormaldistributionDate:12/27/14Time:14:43Sample:1/04/201312/19/2014Includedobservations:475Convergenceachievedafter10iterationsPresamplevariance:backcast(parameter=0.7)GARCH=C(1)+C(2)*RESID(-1)^2+C(3)*GARCH(-1)VariableCoefficientStd.Errorz-StatisticProb.

VarianceEquationC0.0868880.0459451.8911280.0586RESID(-1)^20.0796130.0192484.1362570.0000GARCH(-1)0.8522760.05252516.226200.0000R-squared-0.000000

Meandependentvar0.000269AdjustedR-squared0.002105

S.D.dependentvar1.101904S.E.ofregression1.100744

Akaikeinfocriterion2.982501Sumsquaredresid575.5276

Schwarzcriterion3.008796Loglikelihood-705.3441

Hannan-Quinncriter.2.992842Durbin-Watsonstat1.912677表5GARCH(1，2)

DependentVariable:WMethod:ML-ARCH(Marquardt)-NormaldistributionDate:12/27/14Time:14:46Sample:1/04/201312/19/2014Includedobservations:475Convergenceachievedafter10iterationsPresamplevariance:backcast(parameter=0.7)GARCH=C(1)+C(2)*RESID(-1)^2+C(3)*RESID(-2)^2+C(4)*GARCH(-1)VariableCoefficientStd.Errorz-StatisticProb.

VarianceEquationC0.4276800.1098663.8927400.0001RESID(-1)^2-0.0107980.028441-0.3796520.7042RESID(-2)^20.2178960.0439744.9551140.0000GARCH(-1)0.4445860.1166203.8122700.0001R-squared-0.000000

Meandependentvar0.000269AdjustedR-squared0.002105

S.D.dependentvar1.101904S.E.ofregression1.100744

Akaikeinfocriterion2.971249Sumsquaredresid575.5276

Schwarzcriterion3.006308Loglikelihood-701.6716

Hannan-Quinncriter.2.985036Durbin-Watsonstat1.912677表6GARCH(2，1)

DependentVariable:WMethod:ML-ARCH(Marquardt)-NormaldistributionDate:12/27/14Time:14:50Sample:1/04/201312/19/2014Includedobservations:475Convergenceachievedafter23iterationsPresamplevariance:backcast(parameter=0.7)GARCH=C(1)+C(2)*RESID(-1)^2+C(3)*GARCH(-1)+C(4)*GARCH(-2)VariableCoefficientStd.Errorz-StatisticProb.

VarianceEquationC0.0814390.0508901.6002980.1095RESID(-1)^20.0671520.0437471.5350220.1248GARCH(-1)1.0834970.6057231.7887680.0737GARCH(-2)-0.2154650.538971-0.3997700.6893R-squared-0.000000

Meandependentvar0.000269AdjustedR-squared0.002105

S.D.dependentvar1.101904S.E.ofregression1.100744

Akaikeinfocriterion2.985573Sumsquaredresid575.5276

Schwarzcriterion3.020632Loglikelihood-705.0735

Hannan-Quinncriter.2.999360Durbin-Watsonstat1.912677

分別觀察上述三個(gè)圖表，GARCH（1，2）模型的AIC值最小，SC值最小，但是GARCH（1，2）并非所有的系數(shù)都通過t檢驗(yàn)，同理GARCH（2，1）所有的系數(shù)都未能通過t檢驗(yàn)，因此用GARCH（1，1）模型來進(jìn)行擬合。（二）對(duì)所建立的模型進(jìn)行殘差A(yù)RCH效應(yīng)檢驗(yàn)在剔除序列的相關(guān)性后，對(duì)建立的GARCH(1，1)模型進(jìn)行殘差A(yù)RCH效應(yīng)檢驗(yàn)：滯后階數(shù)可以分別取1，4，8，12，結(jié)果輸出如下：表7滯后階數(shù)為1

HeteroskedasticityTest:ARCHF-statistic0.877604

Prob.F(1，472)0.3493Obs*R-squared0.879687

Prob.Chi-Square(1)0.3483表8滯后階數(shù)為4

HeteroskedasticityTest:ARCHF-statistic0.916184

Prob.F(4，466)0.4542Obs*R-squared3.675157

Prob.Chi-Square(4)0.4517

表9滯后階數(shù)為8

HeteroskedasticityTest:ARCHF-statistic0.841721

Prob.F(8，458)0.5662Obs*R-squared6.766607

Prob.Chi-Square(8)0.5620表10滯后階數(shù)為12

HeteroskedasticityTest:ARCHF-statistic0.797180

Prob.F(12，450)0.6536Obs*R-squared9.637633

Prob.Chi-Square(12)0.6477各種lag值情形下，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量均不顯著，說明模型已經(jīng)不存在ARCH效應(yīng)。（三）建立GARCH(1，1)模型建立的GARCH(1，1)模型如下：均值方程：W=-0.00493868287078式（10）因?yàn)榫捣匠痰腜值檢驗(yàn)不顯著，而且該對(duì)數(shù)收益率虛列為白噪聲過程，因此本文不再給出均值方程。方差方程：式（11）七、實(shí)證結(jié)論分析本文以