圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)12/12PAGE12圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)圓的相關(guān)知識(shí)最好配以簡(jiǎn)單的習(xí)題掌握劉蕾老師整合板塊一：圓的有關(guān)概念一、圓的定義：1.描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，其中固定端點(diǎn)叫做圓心，叫做半徑．2.集合性定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，頂點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑．3.圓的表示方法：通常用符號(hào)表示圓，定義中以為圓心，為半徑的圓記作“”，讀作“圓”．4.同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓.注意：同圓或等圓的半徑相等．二、弦和弧1.弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．2.直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的倍．3.弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距．4.?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱?。詾槎它c(diǎn)的圓弧記作，讀作?。?.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?.半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．7.優(yōu)弧、劣?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．8.弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．三、圓心角和圓周角1.圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．將整個(gè)圓分為等份，每一份的弧對(duì)應(yīng)的圓心角，我們也稱這樣的弧為的?。畧A心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等．2.圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．3.圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等．推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．4.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等．板塊二：圓的對(duì)稱性與垂徑定理一、圓的對(duì)稱性1.圓的軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)圓心的任意一條直線．2.圓的中心對(duì)稱性：圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心．3.圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，無(wú)論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少角度，都能與其自身重合．二、垂徑定理1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?.推論1：⑴平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。虎葡业拇怪逼椒志€經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；⑶平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?.推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．板塊三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外三種，這三種關(guān)系由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系決定．設(shè)的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則有：點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi).如下表所示：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部點(diǎn)在的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上點(diǎn)在的圓周上.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部點(diǎn)在的內(nèi)部.二、確定圓的條件1.圓的確定確定一個(gè)圓有兩個(gè)基本條件：①圓心（定點(diǎn)），確定圓的位置；②半徑（定長(zhǎng)），確定圓的大?。挥挟?dāng)圓心和半徑都確定時(shí)，遠(yuǎn)才能確定．2.過(guò)已知點(diǎn)作圓⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓：以點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn)的圓，這樣的圓有無(wú)數(shù)個(gè)．⑵經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓：以線段中垂線上任意一點(diǎn)作為圓心，以的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn)的圓，這樣的圓也有無(wú)數(shù)個(gè)．⑶過(guò)三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)共線時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的圓不存在；若三點(diǎn)不共線時(shí)，圓心是線段與的中垂線的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個(gè)．⑷過(guò)個(gè)點(diǎn)的圓：只可以作個(gè)或個(gè)，當(dāng)只可作一個(gè)時(shí)，其圓心是其中不共線三點(diǎn)確定的圓的圓心．3.定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：⑴“不在同一直線上”這個(gè)條件不可忽視，換句話說(shuō)，在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓；⑵“確定”一詞的含義是“有且只有”，即“唯一存在”．4.三角形的外接圓⑴經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．⑵三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部.板塊四：直線和圓的位置關(guān)系一、直線和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn).直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).直線與相切相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線.直線與相交從另一個(gè)角度，直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表示：直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系公共點(diǎn)名稱交點(diǎn)切點(diǎn)無(wú)直線名稱割線切線無(wú)二、切線的性質(zhì)及判定1.切線的性質(zhì)：定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．2.切線的判定定義法：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．3.切線長(zhǎng)和切線長(zhǎng)定理：⑴切線長(zhǎng)：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．⑵切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．三、三角形內(nèi)切圓1.定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．2.多邊形內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形．板塊五：圓和圓的位置關(guān)系一、圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定設(shè)的半徑分別為（其中），兩圓圓心距為，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定外離兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．兩圓外離外切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．兩圓外切相交兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．兩圓相交內(nèi)切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部．兩圓內(nèi)切內(nèi)含兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例．兩圓內(nèi)含說(shuō)明：圓和圓的位置關(guān)系，既考慮了他們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)分，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切與外切兩種情況．二、兩圓的連心線1.定義：通過(guò)兩圓圓心的直線叫做連心線．2.性質(zhì)：⑴如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上；⑵相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦．三、兩圓的公切線1.定義：和兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線．外公切線：兩個(gè)圓在公切線同側(cè)時(shí)，這樣的公切線叫做外公切線；內(nèi)公切線：兩個(gè)圓在公切線兩側(cè)時(shí)，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線．2.公切線條數(shù)與兩圓的位置關(guān)系⑴若兩圓外離，則外公切線條數(shù)為，內(nèi)公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為；⑵若兩圓外切，則外公切線條數(shù)為，內(nèi)公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為；⑶若兩圓相交，則外公切線條數(shù)為，內(nèi)公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為；⑷若兩圓內(nèi)切，則外公切線條數(shù)為，內(nèi)公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為；⑸若兩圓內(nèi)含，則外公切線條數(shù)為，內(nèi)公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為；3.性質(zhì)：⑴若兩圓有兩條外（內(nèi)）公切線，并且相交，則兩圓的連心線必經(jīng)過(guò)交點(diǎn)且平分這兩條公切線的夾角；⑵若兩圓外切，則兩圓的連心線垂直兩圓的內(nèi)公切線；若兩圓內(nèi)切，則兩圓的連心線垂直兩圓的外公切線．特別地，若兩圓為等圓，則它的兩條