數(shù)分選講講稿

講解內(nèi)容第三十四講§6.4隱函數(shù)存在定理對(duì)方程F(x,y)0而言，隱函數(shù)存在定理是：F(x,y)滿足10F(x0,y0)0,Fy(x0,y0)0；20F(x,y)及Fy(x,y)在(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則方程F(x,y)0在(x0,y0)的鄰域里確定了唯一的隱函數(shù).詳盡來說，即0,0，及函數(shù)yy(x)，滿足：i)y0y(x0)；ii)Fx,y(x)0,y(x)y0,xU(x0,)其中U(x0,)x||x-x0|；滿足條件i)、ii)的函數(shù)y(x)是唯一的；yy(x)在U(x0,)內(nèi)連續(xù)．若附加條件：Fx(x,y)在(x0,y0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，則y(x)存在，且y(x)dyFx(x,y)．dxFy(x,y)例1給定方程x2ysin(xy)0(A)說明在點(diǎn)(0,0)的充分小的鄰域內(nèi)，此方程確定唯一的、連續(xù)的函數(shù)yy(x)，使得y(0)0；談?wù)摵瘮?shù)y(x)在x0周邊的可微性；談?wù)摵瘮?shù)y(x)在x0周邊的起落性（單調(diào)性）；在點(diǎn)(0,0)的充分小的鄰域內(nèi)，此方程可否確定唯一的單值函數(shù)xx(y)，使得x(0)0？為什么？解1)F(x,y)x2ysin(xy)

備注學(xué)時(shí)注：定理的條件可是充分條件，而不是要條件．偏導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)特殊方向的方導(dǎo)游數(shù)梯度方向是函數(shù)變化最激烈的方向，或個(gè)方導(dǎo)游數(shù)的最大值就是梯度的模書P100EX5外法線方向?qū)σ辉瘮?shù)若f(x)0,xI則f(x)C,xI注：本結(jié)論可推廣到?n中．圖10F(0,0)0，F(xiàn)y(x,y)1xcos(xy),Fy(0,0)1；20顯然F(x,y)及Fy(x,y)在(0,0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，由隱函數(shù)存在定理，F(xiàn)(x,y)0在點(diǎn)(0,0)的某鄰域內(nèi)存在唯一隱函數(shù)yy(x)，連續(xù)，y(0)0．2)Fx(x,y)2xycos(xy)也在(0,0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，因此函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且3)為談?wù)搚(x)在x0周邊的起落性，考慮y(x)的符號(hào)，由(B)得出，當(dāng)(x,y)充分湊近(0,0)時(shí)，y(x)的符號(hào)取決于分子2xycos(xy)的符號(hào)．Qy(0)0，由(B)知y(0)

0，y(x)

o(x)

（當(dāng)x

0時(shí)）于是

ycos(xy)

|y|o(x)y(x)的符號(hào)與

2x的符號(hào)相同．x0時(shí)，

y(x)

0,

y(x)]

，x0時(shí)，

y(x)

0,

y(x)Z

．可見，y(x)在x0處?。▏?yán)格）極大．（用隱函數(shù)存在定理不能夠判斷在(0,0)的鄰域內(nèi)可否存在唯一的單值函數(shù)xx(y)，使得x(0)0，QFx(0,0)0）由3)知，y(x)在x0處?。▏?yán)格）極大，故在(0,0)的充分小的鄰域內(nèi)，當(dāng)y0時(shí)，最少有二個(gè)x與y對(duì)應(yīng)．而當(dāng)y0時(shí)，無x與y對(duì)應(yīng)，使得F(x,y)0．因此不能夠確定xx(y)，使得x(0)0．6.5方導(dǎo)游數(shù)與梯度一、方導(dǎo)游數(shù)的計(jì)算利用定義函數(shù)yf(x)(x?n)在點(diǎn)P(x1,x2,L,xn)處沿單位向r量l(l1,l2,L,ln)方向的方導(dǎo)游數(shù)定義為利用偏導(dǎo)數(shù)與方導(dǎo)游數(shù)的關(guān)系若f(x)在點(diǎn)P(x1,x2,L,xn)處可微，則f在P點(diǎn)沿任意r方向l(cos1,cos2,L,cosn)的方導(dǎo)游數(shù)存在，且利用梯度與方導(dǎo)游數(shù)的關(guān)系若f(x)在點(diǎn)P(x1,x2,L,xn)處可微，則f在P點(diǎn)沿任意r方向l(cos1,cos2,L,cosn)的方導(dǎo)游數(shù)存在，且其中r表示gradf(P)與l的夾角．例1設(shè)試證：f(x,y)在(0,0)點(diǎn)沿任意方向的方導(dǎo)游數(shù)存在，但在(0,0)處不能微．證r(cos,sin)取任意方向lf(Prtcos,0tsin)f(tcos,tsin)則tl)f(0于是fdf(tcos,tsin)l(0,0)dtt0可見在(0,0)處沿任意方向的方導(dǎo)游數(shù)存在．不能微性是課本上的例題．x2y22例2證明：f(x,y)x4y2,xy00,x2y2=0在(0,0)r(cos,sin)的方導(dǎo)游數(shù)為處沿任意方向lrtcos,0tsin)f(tcos,tsin)證f(Ptl)f(0r若sin0，f(tcos,0)0，df(Ptl)0．dt總之，有cos2,sin0f(0,0)．sinlsin00,例3求f(x,y,z)x2y2z2在橢球面x2y2z21上a2b2c2的點(diǎn)P(x0,y0,z0)處的外法線方向的導(dǎo)數(shù)．解r2x02y02z0法向量na2,b2,2cuur1r12x02y02z0單位法向量n0rnra2,2,c2|n||n|br222y0z02其中|n|2x0．a(chǎn)4b4c4因此，2x02y02z021．x02y02z02a2b2c2a4b4c4例4設(shè)y(x)是區(qū)間axb上的可微函數(shù)，在xOy直角坐標(biāo)平面內(nèi)，其圖像為曲線．若二元函數(shù)f(x,y)在包含曲線的某地域上連續(xù)可微（即擁有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)）．且在曲線上恒為0．求證：f(x,y)在曲線上任一給定點(diǎn)處沿該曲線切線方向的導(dǎo)數(shù)等于0．r(cos,sin)是曲線上任意點(diǎn)P處的單位切證設(shè)l向量，則可見只要找出cos,sin，便得所證結(jié)果．由已知條件fx,(x)0(x,y)兩邊關(guān)于x求導(dǎo)fx(x,y)fy(x,y)(x)0(x,y)從而cos1fy1tan2fx2fy2因此ffx(x,y)cosfy(x,y)sinlfxfyfxfy0．fx2fy2fx2fy2例5rur2中的兩個(gè)線性沒關(guān)的單位向量．函數(shù)設(shè)l1,l2為?f(x,y)在?2中可微．方導(dǎo)游數(shù)f0,i1,2．li試證：f(x,y)常數(shù)．rur證記l1(a11,a12),l2(a21,a22)，因?yàn)閒0,i1,2lirura11a120Ql1,l2線性沒關(guān)，a21a22上述方程組只有零解：fxfy0．記P(x,y)2,P(x0,y0)2，由微分中值定理故f(x,y)常數(shù)．二、梯度的計(jì)算梯度的計(jì)算（以?3為例），主要使用以下公式：rrr其中為Hamilton算符，i,j,k分別表示x,y,z軸上的單位向量．注：梯度是向量，因此其運(yùn)算，要依照向量的運(yùn)算法規(guī)．例6設(shè)uf(x,y)，xrcos,yrsin，求證：uuur1uuurr0r0．uruurr其中r0,0分別是徑向與圓周方向的單位向量．（如圖）證ururuij．xyurururu在r0方向的投影：ugr0（r0方向的重量）uururuuruury0r0u在0方向的投影：ug0uur（0方向的重量）按向量的分解原理：Oxurucosusinu因此ugr0xyruur1uuur從而ur0r0．r例7設(shè)有方程x2y2z21(1)a2ub2uc2u證明：gradu2(2)2Aggradu其中A(x,y,z)．證這是一個(gè)兼有梯度計(jì)算與隱函數(shù)求導(dǎo)的題目．(2)式變形為ux2uy2uz22(xuxyuyzuz)(3)問題轉(zhuǎn)變成由方程(1)證明式(3)．方程(1)滿足隱函數(shù)存在定理的條件，因此(1)式將u定義為x,y,z的函數(shù)．將(1)式對(duì)x求導(dǎo)2xx2y2z2(4)即2ua2u2u22uxab2c2u由輪換對(duì)稱2yx2y2z2b2ua2222uy(5)ub2uc2u2zx2y2z2(6)c2ua2u222