微積分測(cè)驗(yàn)試題答案

題號(hào)——四五六七總分

分?jǐn)?shù)

高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）測(cè)驗(yàn)試題（一）

合分人：復(fù)查人：

分?jǐn)?shù)評(píng)卷人

一.填空題（共30分）

1設(shè)名=e'cosy-sin(xy),則史~|,=()=-1-萬(wàn).

dxy=n

2.曲面盯=/在點(diǎn)（1,1,1）的切平面方程為x+y-2=0.

2

冗71

_y—z------

3.曲線了二/二》^1小5二一在"生處的切線方程〃：;~復(fù)=—七.

20271

X%x=g(l-

4.計(jì)算dy|sincosl).

5.把直角坐標(biāo)系下的二次積分化為極坐標(biāo)系下的二次積分有

dy/(x,y)dx=(dO^f[rcosrsin0ydr

6-積分〕|

(x+/-X2\dxdy=16萬(wàn).

(x+何引)b=

7-JJe"+ln|

-l<r<l

一區(qū)網(wǎng)

8.級(jí)數(shù)」的斂散性為發(fā)散.

?:=1〃-71+3

n

9.級(jí)數(shù)之工的和函數(shù)s(x)=-ln(l-x),￡」;=坨2

n=l〃n=lTl2

22

10.ff---—^—^dxdy=一2)

22i++

x+y<lXy

二.計(jì)算題(每小題7分，共70分)分?jǐn)?shù)評(píng)卷人

lo設(shè)〃=￡丁/的全微分m

解：兩邊取對(duì)數(shù)

\nu=yInx+zIny+xInz---(1),

再對(duì)(1)兩邊取全微分：

—du=Jx+Inxdy)+dy+Inydz\+(inzdx+±dz)

=(上+Inz)dx+Inx+—dy+(iny+—

所以，du=+Inz^dx+lnx+—Jy+^lny+—

2.計(jì)算由方程二=InE確定的函數(shù)z=z(x,y)的全微分。

zVy

z2,

解：dz------------dxH------------dyordz=——dx-\--------dy

l+lnz-lny1+Inz-Inyz2肛+yz

3.設(shè)z=z(x,y),由方程~士，工￡=0確定，且F為可微函數(shù)，求dz。

(yzx)

解：方程兩邊求全微分,并注意到一階全微分形式的不變性，有：

(\/卜仙電=。.即:

F\d^+F^

Olz,

z,]J

F\-dx--^dyd----ax+—az=o,整理，得:

+F：~y__+F;X

卜yJVz)lV)

(.A

卜=1~)F\一」_dx+H-p'…ZF：dy，故:

*2附「沖］

=>dzdx+

斗尸;一:尸；

涔河7x

N7

7

4.設(shè)[=12/(2%一y,ysinx，x，2),求包犯

其中/有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),va'2,

dy

導(dǎo)2力X2,2+/；ycosx+/；2x

解：(一)

(-)dz2+y^sinx,所以

ni/i/

2Pr—f+f"sinx

X+sinx+sinA-

--/u/12J21J22

22J

50求曲線「:/'+Z=6，.在點(diǎn)(1,_2,1)的切線。

x+y+z=0.

解：方程組兩邊關(guān)于X求導(dǎo)，得:

Xy辦

區(qū)

+2以

+力

+后

瓦

所以，切線向量為：？={1,0,7}曲線在點(diǎn)(1,-2,1)的切線為:x-1_y+2_z-1

~T~-o―

6.計(jì)算I=加4一歹dcr,其中。是x?+42x

0

D

々01jjd/ieF8so1A2.8萬(wàn)32

解：=yL[J4-/田=3-----

7.計(jì)算/=fdy[_eSx

/=/辦，=[加丁"x=fx(/T)x=Lre'dx一卜dx

解：LJ

=?[x-i]i」=i」=L

匕LJ'o222

三.試證明：點(diǎn)(3,2)是函數(shù)/(羽〉)=(6%-114y-,一）的極值點(diǎn)。（10分）

解./(x,y)=(6—2x(4y—力分?jǐn)?shù)評(píng)卷人

f'(x,y)^(6x-x\4-2y)

所以點(diǎn)（3,2）是函數(shù)f（x,y）

的駐點(diǎn)。

/：人力=-y）于飛,y）=（6-2/）（4-2y）,/：（x,y）=（6x-%12）。

記

A=/：（3,2）=-8<0,5=/：（3,2）=0/（3,2）=-18,A=jg2-/lC=-144<0

所以，點(diǎn)（3,2）是函數(shù)/（%,〉）=（6》一『［4y-y）的極大值點(diǎn)。

四.設(shè)。是由曲面z=-，4一v-y和4=一Jf+y?所圍成的區(qū)域，試分別寫(xiě)

出/=JJJ/（x,y,z"v在直角坐標(biāo)；柱坐標(biāo)球面坐標(biāo)系下分?jǐn)?shù)評(píng)卷人

C

的三次積分（14分）

解：

92

。向xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)椋珼-.x+y＜2o

（-）在直角坐標(biāo)系下

1=叔'（"zH"￡dx皚dy用》（x,y,“Z.

（二）在柱坐標(biāo)下

。7F>■

1=j|jy(x,y,z)dv=1d6^rdrJ/(rcos0,rsin0,z)dz.

(三)在球坐標(biāo)下

/=JJJ7(x，y，zW=0de&sin崗/(夕sin夕cos仇「sin9sinaqcos°)pdp.

Q4

五。選作題（每題10分，共40分）

1.在曲面Z:X?+2y?+3z?+2盯+2xz+4”=8上求點(diǎn)的坐標(biāo)使此點(diǎn)處的切平

面平行于），以坐標(biāo)面。

解：設(shè)所求之點(diǎn)為〃0鼠,券々0）

記F（x,y,z）=x2+2y~+3z?+2xy+2xz+4”—8,則曲面工在“。鼠,％々。）

處的切平面的法向量為

7=同民0|1。）}={28+2＞。+2&,4＞。+2劉+黑。,6&+23+4

因?yàn)榫?{1,0,0},所以，有：

4>。+2尤+4a=0,

6+2+4=O

ZoXoyo-

+2+4_8=0veZ

X：+2y：+3zi+2_XoyoXoZoyoZo-(M())

解之，10=±4,為=干2々0=0.因此，所求之點(diǎn)〃o（±4升2,0）。

2.設(shè)/=0J/（x,y,zVn，其中/為連續(xù)函數(shù)，。是由曲面/+/+%244K?和

C

Y+J+Q—2H)2?4R2(R>0)所圍成的區(qū)域，將I化為柱坐標(biāo)及球坐標(biāo)下

的三次積分。

F+￥2+2<4^2,

解：聯(lián)立人。；7八、，消去z,得。向xoy平面上的投影區(qū)域

d+y+(z-2R)=44.

A2O

為，D-.x+y?3R”.。

(—)在柱坐標(biāo)下

4D2-^/、

八川(x,y,z%I~2~~2cos0,rsin6,z.z.

c

(二)在球坐標(biāo)下

I=j|j/(x,y,z)7v=『dgjsin淑e//(7?sinecos。,夕sinesine,/?cos9)pd/?

Q

AO￡|4/?cos^>z\2

+JdegsinReJ/(psin^cos^,psin^9sin0,pcos(p)pdp.

3

解：。如圖所示。宜采用球坐標(biāo)計(jì)算之。

I=Rd?fsin(pd(pf2//cOS?°pdP=既

4.已知某--物體由x?+y?=2z,z=2,及z=8所圍成且每一點(diǎn)處的面密度函數(shù)

為夕=x?+y-,試求該物體的質(zhì)量。

解：記Q：t+y=2z(2Vz?8).

由三重積分的物理意義，知：

〃[=]]?%2+>2)公辦,〃。宜才采用直角坐標(biāo)系下的“切片法”。

設(shè)D-X+y^2z為過(guò)點(diǎn)(0,0,z*2Wz<8)處Q的截面。

=/卜萬(wàn)/k=2萬(wàn)弓]=336%.

|/孫,(x,y)工(0,0),

5.試證明/(x,y)=Jj+y-在原點(diǎn)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但在

[o,(x,y)=(O,O).

原點(diǎn)處不可微。

證明：(一)因?yàn)?/p>

0<1/(x,y)1=J"\y\^yIf0(x.0,y.0),

所以，lim/(x,y)=0=/(0,0),故函數(shù)〃x,y)在原點(diǎn)處連續(xù)。

XTO

y->0

/一、/(O+Ax,O)-/(O,O)0-0八

(—)因?yàn)閔m------)」')=hm------=0,

AX加T°A%

所以，/(0,0)=0;類(lèi)似地，f(0,0)=0.故函數(shù)/(x,y)在原點(diǎn)處可偏導(dǎo)。

Az-f/(O,O)Ax-f'(O,O)Ay

(三)下面考察lim——人-------?-----即考察

pfOp

Ax.Ay

[/(0+zkr,0+Ay)-/(0,0)]-f(0,0)捻-/：(0,0)勺，府不每J

J(Ax)，+(Ay)2aJ(Ax，+(Ay)2

=lim7—弋弋、，不存在,故〃x,y)在原點(diǎn)處不可微。

微04+(△/

杭州商學(xué)院微積分(下)模擬試卷(一)

一、填空題(每小題2分，共20分)

1、設(shè)E〃〃=S,貝！=----'Z"〃+2=--------------------0

71->00

n-\〃=1

2、若/(x)在口用上連續(xù)，則g~1/(x)dx=_____;3廣/(*)"=______.

dxiadxJ2x

3、_y"—5/+7y=0的通解為。

4、已知=1,0為圓域i+y2<i,則Jj7(x2+y2)db=.

D

lxl

5、('(e+—^-7)dx=o

1+X2---------------

6、設(shè)￡>“(x-2)"在x=-l處發(fā)散，在x=5處收斂，則其收斂半徑R=.

〃=0

8、交換積分次序J'dx￡：/(*,J)dj=o

9、當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)之邛絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，該級(jí)數(shù)條件收斂。

10、z=4(x-y)---r的極值點(diǎn)為。

二、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共10分)

1、下列級(jí)數(shù)中，發(fā)散的級(jí)數(shù)是()?

(A)y-(B)Ycos-V(C)Ysin-V(D)￡」一

Me；白/白〃2白(2〃—口

2、微分方程iydX=(l-y2+》2-*2y2)dy是()。

(A)齊次方程(B)可分離變量的方程

(O一階線性齊次方程(D)一階線性非齊次方程

3、設(shè)/(x,y)=—~,則/("，*)=()。

x-yxy

(C)小22

(A)T(D)

y-?y-xx-y

4、若z=In揚(yáng)(xy)，其中0（孫）>0且可導(dǎo)，貝!|星=（)o

OX

（B）邛鱉（C），式⑼(D)，也叨

（A）,曾）

W（xyJ.（孫2初xy）2<p(xy)

5、z=----------+ln(x-y)的定義域是()(>

arcsin(l-j)

(A)0<ll-jl<l,且x-y>0(B)11-jI<1,且x-y>0

(C)ll-jl^O,且x-y>0(D)0<ll-jl<l,且x-y>0

三、計(jì)算題（每小題6分，共48分）

一rizx+arctanxsinx-cosxx.

1、(------1——+------------------------)dx

J°1+xsinx+cosx

2、設(shè)/(2)=；,/'(2)=0,[7(x)dx=l,求fx2/"(2x)dx.

2

3、判斷而I)的斂散性；若收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件

〃二1

收斂。

4、求募級(jí)數(shù)之5”+（-3）'】的收斂半徑及收斂域。

5、設(shè)7=COSX尸(〃#),U=Vxv=lnx其中尸可微，求生

6、設(shè)z=z(x,y)是由方程e*z+xyz+；z2=1所確定，求dz.

7、I=JJx-y/x2+y2da,其中Z):。

D

8、設(shè)連續(xù)函數(shù)/（X）滿足方程^（x）=x+2+2，/（力也，求/（k）.

四、應(yīng)用題（每小題8分，共16分）

1.求曲線與直線0,y=3所圍圖形的面積，并求此圖形

6-x,x>2

繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積匕。

3I

2.某產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)。(x,y)=80x與4,其中x,y分別表示投入的勞力數(shù)和資

本數(shù)，Q是產(chǎn)量。若每個(gè)單位勞力需600元，每單位資本為2000元，而勞力

和資本投入的總預(yù)算為40萬(wàn)元，試求最佳資金投入分配方案。

五、證明題(6分)

dt*x

證明：=/(x)-/(a).

dxJa

杭州商學(xué)院微積分(下)模擬試卷(一)解答

一、填空題(每小題2分，共20分)

，66

1、S-〃［一附2、/(x),-2/(2x)3、y-=e2(Cjcos——x+Csin——x)

222

4、n5、2(e-l)+y6、37>--8、

4

￡dy謂/(x,y)dx+焉"x,y)dx

9、d>—；0<a4—10、(2,-2)

22

二、單項(xiàng)選擇題(每小題2分共10分)

1、B2、B3、B4、D5、D

三、計(jì)算題(每小題6分，共48分)

,fix+arctanxsinx-cosx、，

1、(------z——+-----------)dr

1+xzsinx+cosx

解：原式

2142

=^ln(l+x)|j)+；(arctanx)21-ln|sinx+cosx||j)=—ln2+----In(sinl+cosl)

232'7

2、設(shè)/(2)=g,八2)=0,￡/(x)dx=l,目￡x2/ff(2x)dx.

解：rx2/w(2x)dx=i-￡x2d/,(2x)=1x7，(2x)|i-1r/，(2x)-2xdx

，

=-￡xf(2x)dx=-^J(*xd/(2x)=-1xf(2x)|j+J('/(2x)dx

T+：f/(2x)d(2x)=-：+：=0.

44Jo44

或解：(//"(2》皿2X；￡(；)2/〃(f)df=1J：x2/"(x)dx

2

=I曠(x)=；(X.1r(x)dx=0-；f0xd/(x)

=-；葉(x)|；+\f(/(x)dx=-5；=0.

3、判斷f(-D"(而^-而i)的斂散性；若收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件

M=1

收斂。

解：原級(jí)數(shù)改寫(xiě)為￡/JI),:，

?=1J〃+2+J〃+l

81001

???與同斂散，即發(fā)散，

而原級(jí)數(shù)為萊布尼茲級(jí)數(shù)，故為條件收斂。

4、求事級(jí)數(shù)￡5，，+(~3)，'x"的收斂半徑及收斂域。

n=ln

a5"+(—3)"n+1

解：收斂半徑為R=lim?lim

“f8n->oo5"+1+(_3)"|

%+in5

(-ir+Q"

1s

x——3一收斂;

n

81+

1

x=-，y---------發(fā)散,

5〃=i九

11

.??收斂域?yàn)?/p>

555

5、設(shè)z=cosx?尸(〃#),u=4x,v=Inx,其中尸可微，求生.

dr

解：—=-sinxF(w,v)+cos.rF'—\=+F'?—

dx2?.匚

6、設(shè)z=z(x,y)是由方程e"z+盯z+=1所確定，求dz.

解：方程兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)，e"z+e"z；+y(z+xzl)+z?z；=0,

ex+xj+z

xf

方程兩邊再關(guān)于y求偏導(dǎo)，ezy+x（z+yz；）+z?z；,=0,

,XZ

nZy=-----------—，

e+xj+z

」(e“+yz)dx+xzdy

dz=--------------------------?

e"+孫+z

2222

7、I=^xyjx+yda,其中￡>：x+y<2xo

D

冗2cos0

解:/=rcosOr?rdr=J)—?(2cos6)4cos6d6

~2°~2

=8f2cos50AO=8?—■—<1=——.

J。5315

8、設(shè)連續(xù)函數(shù)/(x)滿足方程加x)=x+2+2，/Q)df,求/(%).

解：兩邊求導(dǎo)，#'(x)+f(x)=1+2/(%),記y=/(x),

則xy'=\+y,分離變量，￡=上，通解為l+y=Cx,

1+yx

在原方程中代入x=2,2/(2)=4,/(2)=2,r.C=1,

3

/(x)=-x-l

四、應(yīng)用題(共16分)

1、求曲線丁二(/‘。*""？與直線y=o,y=3所圍圖形的面積，并求此圖形

6-x,x>2

繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積匕。

解：S=f3(6-j-7j)dj=18-----32=13.5-2A/3

Jo22

%=〃p(6-y)2-y]dy=7T「(36-13j+j2)dj=58.5%?

31

2、某產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)。(x,)，)=80"y"其中分別表示投入的勞力數(shù)和資

本數(shù)，。是產(chǎn)量。若每個(gè)單位勞力需600元，每單位資本為2000元，而勞力和

資本投入的總預(yù)算為40萬(wàn)元，試求最佳資金投入分配方案。

31

解：目標(biāo)函數(shù)Q(x,y)=80x4y4,

約束條件600x+2000y=400000，或3x+10y=2000

31

L=80x3+〃3x+1Oy-2000),

4=60x守+34=0

---x10x=500

\L'=2Qx4y4+102=0,—=—x=lOy,

y3y3y=50

3x+10y=2000“

由實(shí)際問(wèn)題，此即最佳分配方案。

五、證明題(6分)

證明：:=/(x)-/(a).

dxJa

證:F(x)=j\x-t)f\t)dt=

==-(x-a)f(a)+[/⑺山

所以F'(x)=

微積分（下）模擬試卷（一）詳解:

一、填空題(每小題2分，共20分)

0000

1、設(shè)貝him”,,=，￡”“+2=o

"->00

n=ln=l

co

lim—0,〉:〃”+2=S—-%

n->oo

n=l

2、若/(x)在[a用上連續(xù)，則2f/(x)dx=;

；Pf(x)dx=f(x),金ff(x)dx=-2f(2x).

dx品dx以

3、y"—5y，+7y=0的通解為。

5土收Vir6.6、

2x

r=--——，j=e(Clcos—x+C2sin-)

4、已知￡/?)市=1,。為圓域1+VWl,則fJ/(x2+j2)do-=.

D

化為極坐標(biāo)，I=『d"/(r?)?rdr=21?；f/(z)dz=n.

1

5、f(e"d---z-)dx=o

Ji1+X2

偶函數(shù)，I=2(e-l)+-^-

6、設(shè)2)"在x=-l處發(fā)散，在x=5處收斂，則其收斂半徑R=

n=0

由阿貝爾定理，/?<|-1-2|=3,/?>|5-2|=3,故H=3

2-Jxy+4

7、lim---------=。

令￡=xy,原極限=lim----上^=lim-----[

一。tr^o/(2+V7+4)4

8、交換積分次序fdx['/f(x,y)dy=_____________。

J-2Jx~-1

￡?￡言/(x,y)dx+J：dyf焉f(X,y)dx.

9、當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，該級(jí)數(shù)條件收斂。

?=1〃

1八，1

a>―；0<a<—

22

10、z=4(x-y)---y2的極值點(diǎn)為。

一、選擇題(每題2分)

1、設(shè)f(x)定義域?yàn)?1,2),則f(lgx)的定義域?yàn)?)

A、(0,Ig2)B、(0,lg2]C、(10,100)D、(1,2)

2、x=-l是函數(shù)f(x)=「：，、的O

胤%T)

A、跳躍間斷點(diǎn)B、可去間斷點(diǎn)C、無(wú)窮間斷點(diǎn)D、不是間斷點(diǎn)

3、試求lim---------等于()

iox

A、---B、0C、1D、oo

4

4、若2+2=1,求V等于()

尤y

2x-yy-2x2y-xD、2

A.、B、C、

2y-x2y-x2x-y2x-y

5、曲線>=產(chǎn)2方Y(jié)的漸近線條數(shù)為()

A、0B、1C、2D、3

6、下列函數(shù)中，那個(gè)不是映射()

A、y2=x(x￡R+,y￡R-)y2=-x2+1

y=x2D、y=Inx(x>0)

二、填空題（每題2分）

1、y=1I的反函數(shù)為2、、

設(shè)/（x）=lim紇如，則〃x）的間斷點(diǎn)為_(kāi)________

18以4-1

3、已知常數(shù)a、b,lim-+'"+"=5,則此函數(shù)的最大值為_(kāi)________

11-X

4、已知直線y=6x-Z是y=3x?的切線，則k=

5、求曲線xlny+y-2x=l,在點(diǎn)（1,1）的法線方程是

三、判斷題（每題2分）

?V2

1、函數(shù)y=-是有界函數(shù)（）2、

1+廣

有界函數(shù)是收斂數(shù)列的充分不必要條件（）

3、若lim2=oo,就翊是比M的的翔?。ǎ?可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)未必是它的駐點(diǎn)

a

（）

5、曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為拐點(diǎn)（）

四、計(jì)算題（每題6分）1、求函數(shù)y=f的導(dǎo)數(shù)2、

已知/(x)=xarctanx-glna+x?),求dy

3、已知/-2町+;/=6,確定y是尚函數(shù)，求y〃4、求lim⑦“'

xsinx

2

以計(jì)算+6、計(jì)算lim(cosX)/

x->0*

五、應(yīng)用題

1、設(shè)某企業(yè)在生產(chǎn)一種商品x件時(shí)的總收益為R（X）=100X-X2,總成木函數(shù)為

C（x）=200+50x+x2,向政府對(duì)每件商品征收貨物稅為多少時(shí)，在企業(yè)獲得利潤(rùn)最大的

情況下，總稅額最大？（8分）

2、描繪函數(shù)y=/+—的圖形（12分）

X

六、證明題（每題6分）

1、用極限的定義證明：設(shè)lim/（x）=A,則lim/d）=A

XT+8XT。'X

2、證明方程在區(qū)間（0,1）內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)

一、選擇題

1、C2、C3、A4、B5、D6、B

二、填空題

1、x=02、。=6,/?=—73、184^35^x+y—2=0

三、判斷題

1、J2、義3、J4、X5、X

四、計(jì)算題

1、

.1

sin—

V=(xxy

sin—Inx

=(exy

sin—Inx1111

=excos—(----7)InxH——sin—

XXXX

sin]1J1

—x(---~cos—InxH—sin

XXX

2、

dy=f\x)dx

12x

=(arctanx+x------r)dx

l+x221+x2

=arctanxdx

3、

解:

2x-2y-2xy'+3y2y=0

2x-3y2

.〃(2-3y，)(2%-3yJ(2%-2y)(2-6R)

??y=----------------------------------

(2x-3/

4、

解：

、，x2

?.,當(dāng)x-?0時(shí)，xtanxsinx,l-cosx——

2

,原式刁而…io)=Hm'」

ioxsinxx-0x2

5,

解：

令t-yfx,X-tb

dx-6〃

J1+t

-6t-6arctant+C

-6y/x-6arctan>Jx+C

6、

解：

原式=limej2

XTo+

..i,

Inn——Incosx

---/yA'—>0+X

其中：

1,

lim--Incosx

二原式=e2

五、應(yīng)用題

1、解：設(shè)每件商品征收的貨物稅為a，利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)

L(x)-R(x)-C(x)-ax

=100X-X2-(200+50X+X2)-ax

——2x~+(50—ct)x—200

〃(x)=-4x+50—a

令〃(x)=0,得N=止巴,此時(shí)〃x)取得最大值

4

稅收T=ar="(5°-a)

4

F=1(50-2a)

令r=0得a=25rz=--<0

2

.?.當(dāng)a=25時(shí)，T取得最大值

2、

解：

。=（一8,0）。（0,+00）間斷點(diǎn)為犬=0

y，=2x-

X

令y，=0則X=

#2

y〃=2+W

X

令y〃=0則x=_l

1

-1（-1,0）0w臉,+8)

V———X一04-

y〃+0—X+++

y拐點(diǎn)無(wú)定義極值點(diǎn)/

漸進(jìn)線：

limy=8/.y無(wú)水平漸近線

X—>co

lim=0/.x=0是丁的鉛直漸近線

3-kl

lim—=-o=co/.y無(wú)斜漸近線

x-*°°xx

六、證明題

1、

證明：

,.Tim/(%)=A

X—>00

/.Vf>0,3M>0

當(dāng)％〉M時(shí)，有/(%)—A|<￡

取4=，>0,則當(dāng)時(shí)，有

MMX

f(—)-A<￡

X

即lim/d)=A

X->00%

2、

證明:

令/(%)=xex-1

???/(%)在(0,1)上連續(xù)

/(0)=-l<0,/(l)=e-l>0

由零點(diǎn)定理：至少存在一個(gè),使得〃。)=0,即

又,//'(%)=(%+X)ex>0,XG(0,1)

則/(%)在［0,1］上單調(diào)遞增

二方程%/-1在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根

中南民族大學(xué)06、07微積分(下)試

卷及參考答案

06年A卷

評(píng)

分

f(x+y,—~)=x2-y2、—

1、已知》，則/(x,y)一

[x^e~xdx

2、已知，則10

「"小五

J-CO

3、函數(shù)/(x，y)=f+xy+V-y+l在

點(diǎn)取得極值.

4、已知/(X，y)=X+(x+arctany)arctany，則/；(l,0)=

5、以V=(G+C2X)/'(G，C2為任意常數(shù))為通解的微分方程是

評(píng)

二、選擇題(每小題3分，共15分)分

(p)x

u[e'-dx,I,,-1??

6知J。與J1xh?Px均收斂，

則常數(shù)P的取值范圍是().

(A)P>1(B)”1

x+y^0

/(x,y)=<

7數(shù)〔°，/+/=°在原點(diǎn)間斷,

是因?yàn)樵摵瘮?shù)().

(A)在原點(diǎn)無(wú)定義

(B)在原點(diǎn)二重極限不存在

(C)在原點(diǎn)有二重極限，但無(wú)定義

(D)在原點(diǎn)二重極限存在，但不等于函數(shù)值

2222

/]=Jj^/1-x-ydxdyI2=JJ^/1-x-ydxdy

8、若^2+/<ll</+/<2

22

3=jj-x-ydxdy

2^x2+y2<.4，則下列關(guān)系式成立的是（）.

(A)/|>/2>；3(B)‘2>>，3

(C),1<‘2<，3(D)‘2<4<，3

9、方程<—6y'+9y=5(x+l)e”具有特解().

（A）y=ax+b（B）y=（ax+h）e3x

?,=32+bx）e，①）y=+bx1）e3x

/8；00

10、設(shè)"=1收斂，則"=1（）.

（A）絕對(duì)收斂（B）條件收斂（C）發(fā)散（D）不定

一

評(píng)

分

三、計(jì)算題（每小題6分，共60分）一

一

評(píng)

.分

砰閱

人

11、求由y=x：x=4,y=°所圍圖形繞V軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.

一

評(píng)

分

一

評(píng)閱

人

2

2

y

x+

lim

2

2

xfO

1-1

y+

y1x+

y->0

極限

求二重

12、

一

評(píng)

分

.

評(píng)閱

人

求&②

定，

A>，確

/=

Z+

y)由

z(x,

z=

13、

評(píng)

分

評(píng)閱

人

14、用拉格朗日乘數(shù)法求z=/+J，+1在條件*+y=1下的極值.

X

eydx

評(píng)

分

評(píng)閱

人

22

ff(x+y)dxdy2

16、計(jì)算二重積分。，其中。是由y軸及圓周廠=i所圍成的

在第一象限內(nèi)的區(qū)域.

評(píng)

分

評(píng)閱

人

17、解微分方程y"=y'+x

一

評(píng)

分

.

評(píng)閱

人

3

3

-l)

-7n

n+l

y(7