(暑假班)人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊：03《集合的基本運算》教案(教師版)

.3集合的基本運算第1課時并集與交集學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集和交集．(重點、難點)2．能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會圖示對理解抽象概念的作用．(難點)1.借助Venn圖培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2．通過集合并集、交集的運算提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).1．并集思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪幾種情況？(2)集合A∪B的元素個數(shù)是否等于集合A與集合B的元素個數(shù)和？提示：(1)“x∈A或x∈B”這一條件包括下列三種情況：x∈A，但x?B；x∈B，但x?A；x∈A，且x∈B.用Venn圖表示如圖所示．(2)不等于，A∪B的元素個數(shù)小于或等于集合A與集合B的元素個數(shù)和．2．交集3．并集與交集的運算性質(zhì)并集的運算性質(zhì)交集的運算性質(zhì)A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪?＝AA∩?＝?1．設(shè)集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，則M∪N＝________，M∩N＝________.{－1,0,1,2}{0,1}[∵M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，∴M∩N＝{0,1}，M∪N＝{－1,0,1,2}．]2．若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，則A∪B＝________.{x|x>－3}[如圖故A∪B＝{x|x>－3}．]3．滿足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于________．{2}或{1,2}[∵{1}∪B＝{1,2}，∴B可能為{2}或{1,2}．]并集概念及其應(yīng)用【例1】(1)設(shè)集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則M∪N＝()A．{0}B．{0,2}C．{－2,0}D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，則M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}(1)D(2)A[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故選D.(2)在數(shù)軸上表示集合M，N，如圖所示，則M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]求集合并集的兩種基本方法1定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用并集的定義求解；2數(shù)形結(jié)合法：若集合是用描述法表示的由實數(shù)組成的數(shù)集，則可以借助數(shù)軸分析法求解.1．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，則A∪B＝________.{0,1,2,3,4,5}[A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．]交集概念及其應(yīng)用【例2】(1)設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B等于()A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為()A．5B．4C．3D．2(1)A(2)D[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如圖，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故選D.]1．求集合交集的運算類似于并集的運算，其方法為：(1)定義法，(2)數(shù)形結(jié)合法．2．若A，B是無限連續(xù)的數(shù)集，多利用數(shù)軸來求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點的值用實點表示，不含有端點的值用空心點表示．2．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，則A∩B＝()A．{0,2}B．{1,2}C．{0}D．{－2，－1,0,1,2}A[由題意知A∩B＝{0,2}．]3．設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是()A．－1<a≤2B．a(chǎn)>2C．a(chǎn)≥－1D．a(chǎn)>－1D[因為A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，在數(shù)軸上表示出兩個集合，如圖所示，易知a>－1.]集合交、并運算的性質(zhì)及綜合應(yīng)用[探究問題]1．設(shè)A，B是兩個集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，則集合A與B具有什么關(guān)系？提示：A∩B＝A?A∪B＝B?A?B.2．若A∩B＝A∪B，則集合A，B間存在怎樣的關(guān)系？提示：若A∩B＝A∪B，則集合A＝B.【例3】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，試求k的取值范圍．[思路點撥]eq\x(A∪B＝A)eq\o(→,\s\up15(等價轉(zhuǎn)化))eq\x(B?A)eq\o(→,\s\up15(分B＝?和B≠?))eq\x(建立k的不等關(guān)系)eq\o(→,\s\up15(求交集))eq\x(得k的范圍)[解](1)當(dāng)B＝?，即k＋1>2k－1時，k<2，滿足A∪B＝A.(2)當(dāng)B≠?時，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1，,4≥2k－1，,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).綜合(1)(2)可知k≤eq\f(5,2).1．把本例條件“A∪B＝A”改為“A∩B＝A”，試求k的取值范圍．[解]由A∩B＝A可知A?B.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≥k＋1，,2k－1≥4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤－4，,k≥\f(5,2)，))所以k∈?.所以k的取值范圍為?.2．把本例條件“A∪B＝A”改為“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．[解]由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1≤4，,2k－1＝5，))解得k＝3.所以k的值為3.1．對并集、交集概念的理解(1)對于并集，要注意其中“或”的意義，“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區(qū)別，它們是“相容”的．“x∈A，或x∈B”這一條件，包括下列三種情況：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少屬于A，B兩者之一的元素組成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”屬于集合A且屬于集合B的元素，而不是部分．特別地，當(dāng)集合A和集合B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝?.2．集合的交、并運算中的注意事項(1)對于元素個數(shù)有限的集合，可直接根據(jù)集合的“交”“并”定義求解，但要注意集合元素的互異性．(2)對于元素個數(shù)無限的集合，進行交、并運算時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點值能否取到．1．思考辨析(1)集合A∪B中的元素個數(shù)就是集合A和集合B中的所有元素的個數(shù)和．()(2)當(dāng)集合A與集合B沒有公共元素時，集合A與集合B就沒有交集.()(3)若A∪B＝A∪C，則B＝C.()(4)A∩B?A∪B.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．{0,1}B．{0}C．{－1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}D[由Venn圖，可知陰影部分所表示的集合是M∪P.因為M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故選D.]3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，則A∩B＝()A．{1}B．{2}C．{－1,2}D．{1,2,3}B[∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}∴A∩B＝{2}．]4．設(shè)A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C.[解](1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．第2課時補集學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.了解全集的含義及其符號表示．(易混點)2．理解給定集合中一個子集的補集的含義，并會求給定子集的補集．(重點、難點)3．會用Venn圖、數(shù)軸進行集合的運算．(重點)1.通過補集的運算培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．2．借助集合思想對實際生活中的對象進行判斷歸類，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).1．全集(1)定義：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．(2)記法：全集通常記作U.思考：全集一定是實數(shù)集R嗎？提示：全集是一個相對概念，因研究問題的不同而變化，如在實數(shù)范圍內(nèi)解不等式，全集為實數(shù)集R，而在整數(shù)范圍內(nèi)解不等式，則全集為整數(shù)集Z.2．補集文字語言對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作?UA符號語言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語言1．已知全集U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，則A＝()A．{0}B．{1}C．?D．{0,1}D[∵U＝{0,1,2}，?UA＝{2}，∴A＝{0,1}，故選D.]2．設(shè)全集為U，M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，則U等于()A．{0,2,4,6}B．{0,2,4}C．{6}D．?A[∵M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，∴U＝M∪?UM＝{0,2,4,6}，故選A.]3．若集合A＝{x|x>1}，則?RA＝________.{x|x≤1}[∵A＝{x|x>1}，∴?RA＝{x|x≤1}．]補集的運算【例1】(1)已知全集為U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，則集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，則?UA＝________.(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}[(1)法一(定義法)：因為A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又?UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．法二(Venn圖法)：滿足題意的Venn圖如圖所示．由圖可知B＝{2,3,5,7}．(2)將集合U和集合A分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．由補集的定義可知?UA＝{x|x<－3或x＝5}．]求集合的補集的方法1定義法：當(dāng)集合中的元素較少時，可利用定義直接求解.2Venn圖法：借助Venn圖可直觀地求出全集及補集.3數(shù)軸法：當(dāng)集合中的元素連續(xù)且無限時，可借助數(shù)軸求解，此時需注意端點問題.1．(1)設(shè)集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，則?AB等于()A．{2,4}B．{0,1,3,5}C．{1,3,5,6}D．{x∈N*|x≤6}(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，則?UA＝______.(1)C(2){x|0<x<2，或x≥6}[(1)因為A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4}，所以?AB＝{1,3,5,6}．故選C.(2)如圖，分別在數(shù)軸上表示兩集合，則由補集的定義可知，?UA＝{x|0<x<2，或x≥6}．]集合交、并、補集的綜合運算【例2】設(shè)全集為R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求?RB，?R(A∪B)及(?RA)∩B.[解]把集合A，B在數(shù)軸上表示如下：由圖知?RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以?R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．因為?RA＝{x|x<3，或x≥7}，所以(?RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．解決集合交、并、補運算的技巧1如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合交集、并集、補集的定義來求解.在解答過程中常常借助于Venn圖來求解.2如果所給集合是無限集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后進行交、并、補集的運算.解答過程中要注意邊界問題.2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.[解]法一(Venn圖法)：根據(jù)題意作出Venn圖如圖所示．由圖可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．法二(定義法)：(?UB)∩A＝{1,9}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，∴?UB＝{1,4,6,7,9}．又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}．∵(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1,3,9}．與補集有關(guān)的參數(shù)值的求解[探究問題]1．若A，B是全集U的子集，且(?UA)∩B＝?，則集合A，B存在怎樣的關(guān)系？提示：B?A.2．若A，B是全集U的子集，且(?UA)∪B＝U，則集合A，B存在怎樣的關(guān)系？提示：A?B.【例3】設(shè)集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(?UA)∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍．[思路點撥]法一：eq\x(由A求?UA)eq\o(→,\s\up15(結(jié)合數(shù)軸),\s\do15(?UA∩B＝?))eq\x(建立m的不等關(guān)系)法二：eq\x(?UA∩B＝?)eq\o(→,\s\up15(等價轉(zhuǎn)化))eq\x(B?A)[解]法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}．因為B＝{x|－2<x<4}，(?UA)∩B＝?，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范圍是{m|m≥2}．法二(集合間的關(guān)系)：由(?UA)∩B＝?可知B?A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，結(jié)合數(shù)軸：得－m≤－2，即m≥2.1．(變條件)將本例中條件“(?UA)∩B＝?”改為“(?UA)∩B＝B”，其他條件不變，則m的取值范圍又是什么？[解]由已知得A＝{x|x≥－m}，所以?UA＝{x|x<－m}，又(?UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.2．(變條件)將本例中條件“(?UA)∩B＝?”改為“(?UB)∪A＝R”，其他條件不變，則m的取值范圍又是什么？[解]由已知A＝{x|x≥－m}，?UB＝{x|x≤－2或x≥4}．又(?UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.由集合的補集求解參數(shù)的方法1如果所給集合是有限集，由補集求參數(shù)問題時，可利用補集定義并結(jié)合知識求解.2如果所給集合是無限集，與集合交、并、補運算有關(guān)的求參數(shù)問題時，一般利用數(shù)軸分析法求解.1．求某一集合的補集的前提必須明確全集，同一集合在不同全集下的補集是不同的．2．補集作為一種思想方法，為我們研究問題開辟了新思路，在正向思維受阻時，改用逆向思維，如若直接求A困難，則使用“正難則反”策略，先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.1．思考辨析(1)全集一定含有任何元素．()(2)集合?RA＝?QA.()(3)一個集合的補集一定含有元素．()[答案](1)×(2)×(3)×2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(?UA)∪B為()A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,3,4}D．{0,2,4}D[∵?UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(?UA)∪B＝{0,2,4}．]3．設(shè)集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則(?RS)∪T等于()A．{x|－2<x≤1}B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}C[因為S＝{x|x>－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，?UP＝{－1}，求實數(shù)a的值．[解]由已知，得－1∈U，且－1?P，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a2＝－1，,a2－a－2＝0，))解得a＝2.當(dāng)a＝2時，U＝{2,0，－1}，P＝{2,0}，?UP＝{－1}，滿足題意．因此實數(shù)a的值