控制系統(tǒng)的頻率法分析

關于控制系統(tǒng)的頻率法分析第1頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2

考察一個系統(tǒng)的好壞，通常通過階躍響應來分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能?？刂葡到y(tǒng)中的信號可表示為不同頻率正弦信號的合成。控制系統(tǒng)的頻率特性反映正弦信號作用下系統(tǒng)響應的性能。通過分析不同頻率正弦波輸入時系統(tǒng)的響應，來考察系統(tǒng)性能，這種方法稱為頻域分析法。

5-1頻率特性第2頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月3（1）頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實驗的方法來確定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實際意義。（2）控制系統(tǒng)的頻域設計可以兼顧動態(tài)響應和噪聲抑制兩方面的要求。（3）頻率響應法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，還可推廣應用于部分非線性系統(tǒng)的分析。（4）控制系統(tǒng)及其元部件的頻率特性可以運用分析法和試驗方法獲得，并可以用多種形式的曲線表示，因此系統(tǒng)分析和控制器設計可以用圖解法進行。特點第3頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月4一、頻率特性的基本概念RUIU0C例如：第4頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月5可見輸出幅值是輸入的，輸出相位比輸入滯后。第5頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月6

對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中，為極點。若：則：第6頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月7拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點都在s左半平面。當，即穩(wěn)態(tài)時：式中，分別為：第7頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月8令：第8頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月9式中：Rm

、Cm分別為輸入輸出信號的幅值。上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應是一個與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移動了。和都是頻率的函數(shù)。第9頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月10相頻特性：穩(wěn)態(tài)響應與正弦輸入信號的相位差為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應對不同頻率輸入信號的相位移特性；幅頻特性：穩(wěn)態(tài)響應的幅值與輸入信號的幅值之比為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)時的放大特性；定義：第10頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月11幅頻特性和相頻特性可在復平面上構成一個完整的向量 稱為頻率特性。

注：當傳遞函數(shù)中的復變量s用代替時，傳遞函數(shù)就轉變?yōu)轭l率特性。反之亦然。第11頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月12

到目前為止，我們已學習過的線性系統(tǒng)的數(shù)學模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)和頻率特性。它們之間的關系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)系統(tǒng)第12頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月13[例]：設傳遞函數(shù)為：解：頻率特性為第13頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月14

在控制工程中，頻率分析法常常是用圖解法進行分析和設計的，常用的頻率特性曲線有以下三種：

幅相頻率特性曲線（又稱極坐標圖、奈魁斯特曲線）對數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖）對數(shù)幅相特性曲線（又稱尼柯爾斯圖）5.1.2頻率特性的幾何表示法

頻率特性表達式：極坐標形式幅頻特性，相頻特性復數(shù)形式實頻特性，虛頻特性第14頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月151、幅相頻率特性曲線（極坐標圖、奈魁斯特曲線）

以橫軸為實軸、縱軸為虛軸構成復平面，在復平面上用一條曲線表示由時的頻率特性。即用矢量的端點軌跡形成的圖形。是參變量。在曲線的上的任意一點可以確定實頻、虛頻、幅頻和相頻特性。第15頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月162、對數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖）組成：對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。橫坐標按分度，單位為弧度/秒（rad/s)對數(shù)幅頻曲線的縱坐標按下式分度：單位為分貝(dB)對數(shù)相頻特性曲線的縱坐標：按線性分度，單位為度（°）第16頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月17n個環(huán)節(jié)串聯(lián)

（5-13）而對數(shù)幅頻特性L(ω)為第17頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月18

（5-14）對數(shù)相頻特性為

（5-15）第18頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月19使用對數(shù)坐標圖的優(yōu)點：可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性?？梢詫⒊朔ㄟ\算轉化為加法運算。所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線（漸進線）近似表示。對實驗所得的頻率特性用對數(shù)坐標表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達式。第19頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月203、對數(shù)幅相特性曲線（又稱尼柯爾斯圖）

尼柯爾斯圖是將對數(shù)幅頻特性和相頻特性兩條曲線合并成一條曲線。橫坐標為相角特性，單位度或弧度?？v坐標為對數(shù)幅頻特性，單位為分貝。橫、縱坐標都是線性分度。第20頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月215.2.1典型環(huán)節(jié)5-2典型環(huán)節(jié)分解和頻率特性曲線繪制對任一傳遞函數(shù)，可分解為以下形式：最小相位環(huán)節(jié)非最小相位環(huán)節(jié)第21頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月22開環(huán)系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)分解最小相位系統(tǒng)比例環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)

一階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)1/s；微分環(huán)節(jié)s；慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)(二階微分環(huán)節(jié)非最小相位系統(tǒng)比例環(huán)節(jié)第22頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月23幅頻特性：；相頻特性：⒈比例環(huán)節(jié)：;對數(shù)幅頻特性：相頻特性：比例環(huán)節(jié)的bode圖5.2.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線第23頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月24⒉積分環(huán)節(jié)的頻率特性：頻率特性：積分環(huán)節(jié)的Bode圖可見斜率為－20dB/dec當有兩個積分環(huán)節(jié)時可見斜率為－40dB/dec第24頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月25慣性環(huán)節(jié)的Bode圖⒊慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：①對數(shù)幅頻特性：，為了圖示簡單，采用分段直線近似表示。方法如下：低頻段：當時，，稱為低頻漸近線。高頻段：當時，，稱為高頻漸近線。這是一條斜率為-20dB/Dec的直線（表示每增加10倍頻程下降20分貝）。

當時，對數(shù)幅頻曲線趨近于低頻漸近線，當時，趨近于高頻漸近線。第25頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月26低頻高頻漸近線的交點為：，得： ，稱為轉折頻率或交換頻率。可以用這兩個漸近線近似的表示慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性。第26頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月27慣性環(huán)節(jié)的Bode圖圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍線是實際曲線。第27頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月28慣性環(huán)節(jié)的Bode圖波德圖誤差分析（實際頻率特性和漸近線之間的誤差）：當時，誤差為：當時，誤差為：最大誤差發(fā)生在處，為wT0.10.20.512510L(w),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04漸近線,dB0000-6-14-20誤差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.04第28頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月29

②相頻特性：

作圖時先用計算器計算幾個特殊點：由圖不難看出相頻特性曲線在半對數(shù)坐標系中對于(w0,-45°)點是斜對稱的，這是對數(shù)相頻特性的一個特點。當時間常數(shù)T變化時，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據(jù)轉折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。慣性環(huán)節(jié)的波德圖wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4第29頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月30⒋振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：討論時的情況。當K=1時，頻率特性為：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性幅頻特性為：相頻特性為：對數(shù)幅頻特性為：低頻段漸近線：高頻段漸近線：兩漸近線的交點稱為轉折頻率。斜率為-40dB/Dec。第30頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月31相頻特性：幾個特征點：由圖可見：對數(shù)相頻特性曲線在半對數(shù)坐標系中對于(w0,-90°)點是斜對稱的。對數(shù)幅頻特性曲線有峰值。振蕩環(huán)節(jié)的波德圖第31頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月32對求導并令等于零，可解得的極值對應的頻率：該頻率稱為諧振峰值頻率。可見，當時，。當時，無諧振峰值。當時，有諧振峰值:諧振頻率，諧振峰值當，，因此在轉折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數(shù)與實際曲線可能有很大的誤差。第32頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月33振蕩環(huán)節(jié)的波德圖左圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性圖。上圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性實際曲線與漸近線之間的誤差曲線。第33頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月34⒌微分環(huán)節(jié)的頻率特性：

微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性第34頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月35純微分環(huán)節(jié)的波德圖①純微分：第35頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月36②一階微分：這是斜率為+20dB/Dec的直線。低、高頻漸進線的交點為相頻特性：幾個特殊點如下相角的變化范圍從0到。低頻段漸進線：高頻段漸進線：對數(shù)幅頻特性（用漸近線近似）：一階微分環(huán)節(jié)的波德圖第36頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月37一階微分環(huán)節(jié)的波德圖一階微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)第37頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月38幅頻和相頻特性為：③二階微分環(huán)節(jié)：低頻漸進線：高頻漸進線：轉折頻率為：，高頻段的斜率+40dB/Dec。相角：可見，相角的變化范圍從0~180度。二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性第38頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月39二階微分環(huán)節(jié)的波德圖二階微分振蕩環(huán)節(jié)第39頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月40⒍延遲環(huán)節(jié)的頻率特性：傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖第40頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月41最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例：有五個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下。系統(tǒng)的幅頻特性相同。第41頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月42由圖可知最小相位系統(tǒng)是指在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當w從0變化至∞時，系統(tǒng)的相角變化范圍最小，且變化的規(guī)律與幅頻特性的斜率有關系(如j1(w)

)。而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；或者相角變化范圍雖不大，但相角的變化趨勢與幅頻特性的變化趨勢不一致(如j4(w))。最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)第42頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月43最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)—系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點、零點都位于左半Ｓ平面．非最小相位系統(tǒng)—在右半Ｓ平面存在極點、零點．最小相位系統(tǒng)的特點：１．不含有滯后環(huán)節(jié)，或不穩(wěn)定的環(huán)節(jié)２．對于具有相同幅頻特性的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相角最?。常l特性和相頻特性之間存在著唯一的對應關系，因此只要知道其對數(shù)幅頻特性，就可以畫出其相頻特性，也可以寫出其傳遞函數(shù)。而非最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性之間不存在這種唯一對應關系．第43頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月44實頻特性：；虛頻特性：；ReImK⒈比例環(huán)節(jié)：;幅頻特性：；相頻特性：比例環(huán)節(jié)的極坐標圖為實軸上的K點。二、典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線第44頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月45積分環(huán)節(jié)的奈氏圖頻率特性：ReIm⒉積分環(huán)節(jié)的頻率特性：積分環(huán)節(jié)的極坐標圖為負虛軸。頻率w從0→∞特性曲線由虛軸的－∞趨向原點。第45頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月46慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖⒊慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：第46頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月47慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖極坐標圖是一個圓，對稱于實軸。證明如下：整理得：下半個圓對應于正頻率部分，而上半個圓對應于負頻率部分。第47頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月48實頻、虛頻、幅頻和相頻特性分別為：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性⒋振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：討論時的情況。當K=1時，頻率特性為：第48頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月49當時，，曲線在3，4象限；當 時，與之對稱于實軸。振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖實際曲線還與阻尼系數(shù)有關第49頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月50振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的。當過阻尼時，阻尼系數(shù)越大其圖形越接近圓。第50頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月51⒌微分環(huán)節(jié)的頻率特性：

微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性第51頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月52①純微分環(huán)節(jié)：純微分環(huán)節(jié)的奈氏圖ReIm微分環(huán)節(jié)的極坐標圖為正虛軸。頻率w從0→∞特性曲線由原點趨向虛軸的+∞。第52頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月53一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖②一階微分：ReIm一階微分環(huán)節(jié)的極坐標圖為平行于虛軸直線。頻率w從0→∞特性曲線相當于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個單位。第53頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月54二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性③二階微分環(huán)節(jié)：幅頻和相頻特性為：第54頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月551極坐標圖是一個圓心在原點，半徑為1的圓。延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖⒍延遲環(huán)節(jié)的頻率特性：傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：第55頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月56一、開環(huán)系統(tǒng)極坐標頻率特性的繪制（繪制奈氏圖）

開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性或由典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合而成，或是一個有理分式，不論那種形式，都可由下面的方法繪制。

使用MATLAB工具繪制。

將開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性寫成或 的形式，根據(jù)不同的算出或可在復平面上得到不同的點并連之為曲線。（手工畫法）。[繪制方法]：5.2.3開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的繪制第56頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月57[例5-1]設開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：試列出實頻和虛頻特性的表達式。當繪制奈氏圖。解：當時，

找出幾個特殊點（比如，與實、虛軸的交點等），可大致勾勒出奈氏圖。為了相對準確，可以再算幾個點。第57頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月580-1.72-5.7700-0.7903.8510.80.20相角：-180-114.62-90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏圖。第58頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月59下圖是用Matlab工具繪制的奈氏圖。第59頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月60[例5-2]設開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：試繪制極坐標特性曲線。[解]：[分析]1、當時，顯然，當時，的漸近線是一條通過實軸點，且平行于虛軸的直線。2、與實軸的交點。令：，解得：，這時：3、當時，，漸近線方向向下。第60頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月61第61頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月62[具有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的頻率特性的特點]：頻率特性可表示為：其相角為：當時，當時，

顯然，低頻段的頻率特性與系統(tǒng)型數(shù)有關，高頻段的頻率特性與n-m有關。第62頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月63下圖為0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)在低頻和高頻段頻率特性示意圖：（0型）（Ⅰ型）（Ⅱ型）低頻段頻率特性n-m=3n-m=1n-m=2高頻段頻率特性至于中頻部分，可計算一些特殊點的來確定。如與坐標的交點等。第63頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月64（二）、開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)坐標頻率特性的繪制（繪制波德圖）開環(huán)系統(tǒng)頻率特性為：第64頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月65幅頻特性：相頻特性：且有：

由以上的分析可得到開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線的繪制方法：先畫出每一個典型環(huán)節(jié)的波德圖，然后相加。第65頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月66[例]：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試畫出該系統(tǒng)的波德圖。[解]：該系統(tǒng)由四個典型環(huán)節(jié)組成。一個比例環(huán)節(jié)，一個積分環(huán)節(jié)兩個慣性環(huán)節(jié)。手工將它們分別畫在一張圖上。然后，在圖上相加。第66頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月67

實際上，畫圖不用如此麻煩。我們注意到：幅頻曲線由折線（漸進線）組成，在轉折頻率處改變斜率。

確定和各轉折頻率，并將這些頻率按小大順序依次標注在頻率軸上；

確定低頻漸進線：，就是第一條折線，其斜率為，過點（1，20logk）。實際上是k和積分的曲線。具體步驟如下：第67頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月68

高頻漸進線的斜率為：-20(n-m)dB/dec。

相頻特性還是需要點點相加，才可畫出。遇到（一階慣性）時，斜率下降-20dB/Dec;遇到（二階慣性）時，斜率下降-40dB/Dec;

畫好低頻漸進線后，從低頻開始沿頻率增大的方向，每遇到一個轉折頻率改變一次分段直線的斜率：遇到（一階微分）時，斜率增加+20dB/Dec;遇到（二階微分）時，斜率增加+40dB/Dec;第68頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月69[例5-3]系統(tǒng)開環(huán)特性為：試畫出波德圖。[解]：1、該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，所以則，2、低頻漸進線：斜率為，過點（1，20）3、波德圖如下：第69頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月70紅線為漸進線，蘭線為實際曲線。第70頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月71[例5-4]已知，試畫波德圖。[解]：1、2、低頻漸進線斜率為，過（1，-60）點。4、畫出波德圖如下頁：3、高頻漸進線斜率為：第71頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月72紅線為漸進線，蘭線為實際曲線。第72頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月73[例5-5]具有延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)頻率特性為：，試畫出波德圖。[解]：

可見，加入了延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)其幅頻特性不變，相位特性滯后了。第73頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月74[例]有兩個系統(tǒng)，頻率特性分別為：轉折頻率都是：幅頻特性相同，均為：相頻特性不同，分別為：三、非最小相位系統(tǒng)的頻率特性第74頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月75最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)

該兩個系統(tǒng)的波德圖如下所示：第75頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月76奈氏圖為：最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)第76頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月77

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。5-3奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)第77頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月78

奈魁斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)，是由H.Nyquist于1932年提出的。是利用奈氏圖，來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的理論基礎是復變函數(shù)理論中的幅角定理，也稱映射定理。

第78頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月79一、幅角定理：

設負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，其中： 為前向通道傳遞函數(shù)，為反饋通道傳遞函數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，如下圖所示：構造輔助方程：F(s)的極點為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點；F(s)的零點為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點；(5-23)第79頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月80

式（5-23）中，s為復變量，以s復平面上的s=δ+jω來表示。F(s)為復變函數(shù)，以F(s)復平面上的F(s)=u+jv表示。點映射關系，如圖5-26所示。s平面與F(s)平面的曲線映射關系，如圖5-27所示。

圖5-26點映射關系圖5-27

s平面與F(s)平面的映射關系第80頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月811)假設在s平面上任選一點A,使點S從A點開始沿封閉曲線順時針方向移動且回到A點.3)所選擇的只包圍的某一個零點如,且在的路徑上不通過任何一個零極點.則從B點出發(fā)且回到B點,矢量的端點繞復平面的坐標原點移動形成封閉曲線.的復平面上可以確定相對應的像,如下圖中的B點.第81頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月82[柯西幅角定理]：s平面上不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線包圍s平面上F(s)的Z個零點和P個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線移動一周時，在F(s)平面上相對應于封閉曲線將繞原點旋轉N圈。N，Z，P的關系為：N=P-Z。（注：F(s)任何奇異點即F(s)的零點和極點）若N為負，表示順時針運動，包圍原點；若N為0，表示順時針運動，不包圍原點；若N為正，表示逆時針運動，包圍原點。第82頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月83二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：

對于一個控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于上面討論的輔助方程，其零點恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點，因此，只要搞清F(s)的零點在s右半平面的個數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結論。如果F(s)的右半零點個數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

我們這里是應用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的。設想：

如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據(jù)柯西幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點的次數(shù)應為：當已知開環(huán)右半極點數(shù)時，便可由R判斷閉環(huán)右極點數(shù)。第83頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月84這里需要解決兩個問題：1、如何構造一個能夠包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？2、如何確定相應的映射F(s)對原點的包圍次數(shù)R，并將它和開環(huán)頻率特性相聯(lián)系？它可分為三部分：Ⅰ部分是正虛軸，Ⅱ部分是右半平面上半徑為無窮大的半圓；；Ⅲ部分是負虛軸，。第1個問題：先假設F(s)在虛軸上沒有零、極點。按順時針方向做一條曲線包圍整個s右半平面，這條封閉曲線稱為奈魁斯特路徑。如下圖：ⅠⅡⅢ第84頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月85F(s)平面上的映射是這樣得到的：以代入F(s)并令從 變化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由 ，得第二部分的映射；令從，得第三部分的映射。稍后將介紹具體求法。得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計算，式中： 是F(s)在s右半平面的零點數(shù)和極點數(shù)。確定了R，可求出 。當時，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。第2個問題：輔助方程與開環(huán)頻率特性的關系。我們所構造的輔助方程為，為開環(huán)頻率特性。因此，有以下三點是明顯的：第85頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月86②F(s)對原點的包圍，相當于對(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對原點的包圍次數(shù)R與對(-1,j0)點的包圍的次數(shù)一樣。①

F(s)曲線是Gk(s)向右移1；③F(s)的極點就是的極點，因此F(s)在右半平面的極點數(shù)就是在右半平面的極點數(shù)。第86頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月87F(s)與的關系圖。ⅠⅡⅢ第87頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月88[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)]：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有個極點，且開環(huán)頻率特性曲線對(-1,j0)點包圍的次數(shù)為R，（R<0順時針，R>0逆時針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點數(shù)為：。（2）若，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。由于曲線當與關于實軸成鏡像對稱,所以一般只畫的曲線,則(2)式可修正為:2N=Pk-Zk,N>0逆時針環(huán)繞臨界點(-1,j0);N<0,順時針環(huán)繞臨界點(-1,j0).N為當時的曲線包圍(-1,j0)點的圈數(shù).曲線的走向是從到第88頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月89[例5-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點數(shù)為0，繞(-1,j0)點的圈數(shù)R=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個數(shù)： 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第89頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月90[例5-7]設開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開環(huán)極點為-1，-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時針圍繞(-1,j0)點2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點數(shù)為： ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第90頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月91[例5-8]系統(tǒng)結構圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和k的關系。-[解]：開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個半徑為，圓心在的圓。顯然，k>=1時，包圍(-1,j0)點，k<1時不包圍(-1,j0)點。由圖中看出：當k>1時，奈氏曲線逆時針包圍(-1,j0)點一圈，R=1，而，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第91頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月92當k=1時，奈氏曲線通過(-1,j0)點，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當k<1時，奈氏曲線不包圍(-1,j0)點，R=0，，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

上面討論的奈魁斯特判據(jù)和例子，都是假設虛軸上沒有開環(huán)極點，即開環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足柯西幅角定理的條件。但是對于Ⅰ、Ⅱ型的開環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點）有極點，因此不能使用柯西幅角定理來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題，需要重構奈魁斯特路徑。第92頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月93三、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應用：具有開環(huán)0極點系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：

可見，在原點有重0極點。也就是在s=0點，不解析，若取奈氏路徑同上時（通過虛軸的整個s右半平面），不滿足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經過原點而仍然能包圍整個s右半平面，重構奈氏路徑如下：以原點為圓心，半徑為無窮小做右半圓。這時的奈氏路徑由以下四部分組成：第93頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月94Ⅰ部分：正虛軸，，Ⅱ部分為半徑為無窮大的右半圓；Ⅲ部分負虛軸，，Ⅳ部分為半徑為無窮小的右半圓，下面討論對于這種奈魁斯特路徑的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常規(guī)的奈氏圖，關于實軸對稱；2、第Ⅱ部分：，。假設的分母階數(shù)比分子階數(shù)高；3、第Ⅳ部分：(a)對于Ⅰ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點代入中得：ⅠⅡⅢⅣ第94頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月95(b)對于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點代入中得：所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的整個圓（順時針）。所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的右半圓。第95頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月96[結論]用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應用于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)。[例5-9]設Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：顯然這是1型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。從圖上看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)一圈，逆時針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第96頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月97[例5-10]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：從圖上可以看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)兩圈。因，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第97頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月98[特殊情況]：1、若開環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點，這時應將奈氏路徑做相應的改變。如下圖：以極點為圓心，做半徑為無窮小的右半圓，使奈氏路徑不通過虛軸上極點（確保滿足柯西幅角定理條件），但仍能包圍整個s右半平面。映射情況，由于較復雜，略。2、如果開環(huán)頻率特性曲線通過(-1,j0)點，說明閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點。第98頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月99通常，只畫出的開環(huán)奈氏圖，這時閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點數(shù)為：。式中，為變化時，開環(huán)奈氏圖逆時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)。不包圍(-1,j0)點，0型系統(tǒng)包圍(-1,j0)點，Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)對應的奈魁斯特路徑分別為：第99頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月100這時奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半平面的極點為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當從 時，頻率特性曲線在實軸段的正負穿越次數(shù)差為。

頻率特性曲線對(-1,j0)點的包圍情況可用頻率特性的正負穿越情況來表示。當增加時，頻率特性從上半s平面穿過負實軸的段到下半s平面，稱為頻率特性對負實軸的段的正穿越（這時隨著的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時針包圍(-1,j0)點。反之稱為負穿越。正穿越負穿越第100頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月101四、在對數(shù)坐標圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

開環(huán)系統(tǒng)的極坐標圖（奈氏圖）和對數(shù)坐標圖（波德圖）有如下的對應關系：1、奈氏圖上單位圓對應于對數(shù)坐標圖上的零分貝線； 。2、奈氏圖上的負實軸對應于對數(shù)坐標圖上的-180度相位線。

奈氏圖頻率特性曲線在上的正負穿越在對數(shù)坐標圖上的對應關系：在對數(shù)坐標圖上的范圍內，當增加時，相頻特性曲線從下向上穿過-180度相位線稱為正穿越。因為相角值增加了。反之稱為負穿越。第101頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月102對照圖如下：正穿越負穿越正穿越負穿越相角方向為正

增加時，相角增大對數(shù)坐標圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下：

設開環(huán)頻率特性在s右半平面的極點數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：對數(shù)坐標圖上幅頻特性的所有頻段內，當頻率增加時，對數(shù)相頻特性對-180度線的正負穿越次數(shù)差為P/2。閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點數(shù)為：，式中為正負穿越次數(shù)差。若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z>0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第102頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月103小結

柯西幅角定理。滿足該定理的條件。輔助方程。其極點為開環(huán)極點，其零點為閉環(huán)極點。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。幾種描述形式；Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)的奈氏路徑極其映射；最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)；對數(shù)坐標圖上奈氏判據(jù)的描述。對數(shù)頻率特性圖和奈奎斯特頻率特性圖的關系。第103頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月104練習5-14(1),(4),(7)5-16第104頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月105第六節(jié)穩(wěn)定裕度第105頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月106穩(wěn)定裕度的概念使用穩(wěn)定裕度概念綜合系統(tǒng)本節(jié)主要內容：第106頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月107控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面的極點且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點越遠，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高。開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低，這就是通常所說的相對穩(wěn)定性。通過奈氏曲線對點(-1,j0)的靠近程度來度量，其定量表示為相角裕量和幅值裕度。第107頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月108

當頻率特性曲線穿過(-1,j0)點時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這時： 。對于最小相位系統(tǒng)，可以用 和來表示頻率特性曲線接近(-1,j0)點的程度，或稱為穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度越大，穩(wěn)定性越好。[定義]：和為幅值穩(wěn)定裕度和相位穩(wěn)定裕度。在對數(shù)坐標圖上，用表示的分貝值。即截止頻率穿越頻率第108頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月109顯然，當時，即和時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。對于最小相位系統(tǒng)，和是同時發(fā)生或同時不發(fā)生的，所以經常只用一種穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。常用相角裕度。[幅值穩(wěn)定裕度物理意義]：穩(wěn)定系統(tǒng)在相角穿越頻率處將幅值增加倍（奈氏圖）或增加分貝（波德圖），則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。若增加的倍數(shù)大于倍（或分貝），則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。比如，若增加開環(huán)放大系數(shù)K，則對數(shù)幅頻特性曲線將上升，而相角特性曲線不變?？梢?，開環(huán)放大系數(shù)太大，容易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。[相位穩(wěn)定裕度的物理意義]：穩(wěn)定系統(tǒng)在幅值穿越頻率處將相角減小度，則系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定；再減小，就會變?yōu)椴环€(wěn)定。第109頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月110[例]設控制系統(tǒng)如下圖所示k=10和k=100時，試求系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度。-[解]：相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度可以很容易地從波德圖中求得。當k=10時，開環(huán)系統(tǒng)波德圖如右所示。這時系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度大約是8dB和21度。因此系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益可以增加8dB.第110頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月111相位裕度和幅值裕度的計算：

相位裕度：先求穿越頻率在穿越頻率處，，所以，解此方程較困難，可采用近似解法。由于較?。ㄐ∮?），所以：穿越頻率處的相角為：相角裕度為：第111頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月112

幅值裕度：先求相角穿越頻率相角穿越頻率處的相角為：由三角函數(shù)關系得：所以，幅值裕度為：第112頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月113當增益從k=10增大到k=100時，幅值特性曲線上移20dB，相位特性曲線不變。這時系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度分別是-12dB和-30度。因此系統(tǒng)在k=10時是穩(wěn)定的，在k=100時是不穩(wěn)定的。第113頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月114[例5-11]某系統(tǒng)結構圖如下所示。試確定當k=10時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其使相位穩(wěn)定裕度為30度時的開環(huán)放大系數(shù)k。-[解]：當k=10時，開環(huán)傳遞函數(shù)為：手工繪制波德圖步驟：1、確定轉折頻率：10、40，在(1,20log200)點畫斜率為-20的斜線至；2、在之間畫斜率為-40的斜線；3、后畫斜率為-60的斜線。第114頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月115上圖藍線為原始波德圖。，顯然閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為了使相位穩(wěn)定裕度達到30度，可將幅頻曲線向下平移。即將開環(huán)放大系數(shù)減小，這時相頻特性不變。截止頻率左移至，移到哪里？第115頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月116

，從圖中看出：。所以原始幅頻曲線向下移動的分貝數(shù)為:所以當開環(huán)放大系數(shù)下降到15時，閉環(huán)系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度是30度，這時的幅頻穩(wěn)定裕度為：由圖中看出，所以設新的開環(huán)放大系數(shù)為，原始的開環(huán)放大系數(shù)為k=200，則有 （討論時較明顯）。解得：第116頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月117[穩(wěn)定裕度概念使用時的局限性]：1、在高階系統(tǒng)中，奈氏圖中幅值為1的