用樣本頻率分布估計(jì)總體分布

懷天下，求真知，學(xué)做人2.2.1用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布目前一頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)頻率分布樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，叫做該數(shù)據(jù)的頻率。頻率分布的表示形式有：①樣本頻率分布表②樣本頻率分布圖樣本頻率分布條形圖樣本頻率分布直方圖③樣本頻率分布折線圖所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布。目前二頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)1、拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果：35964反面向上36124正面向上頻率頻數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果0.50110.4989頻率分布條形圖0.10.20.30.40.50.60.701試驗(yàn)結(jié)果頻率“正面向上”記為0“反面向上”記為1頻率分布表：

注意：①各長(zhǎng)方形長(zhǎng)條的寬度要相同。②相鄰長(zhǎng)條的間距要適當(dāng)。

結(jié)論：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，兩種試驗(yàn)結(jié)果的頻率大致相等。③長(zhǎng)方形長(zhǎng)條的高度表示取各值的頻率。目前三頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)例1.

為檢測(cè)某種產(chǎn)品的質(zhì)量，抽取了一個(gè)容量為30的樣本，檢測(cè)結(jié)果為一級(jí)品5件，二級(jí)品8件，三級(jí)品13件，次品4件．(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出表示樣本頻率分布的條形圖；(3)根據(jù)上述結(jié)果，估計(jì)此種產(chǎn)品為二級(jí)品或三級(jí)品的概率約是多少．

解：（1）樣本的頻率分布表為：

0.134次品0.4313三級(jí)品0.278二級(jí)品0.175一級(jí)品頻率頻數(shù)產(chǎn)品解：（2）樣本頻率分布的條形圖為：

0.10.20.30.40.50.60.7一級(jí)品二級(jí)品產(chǎn)品頻率三級(jí)品次品(3)此種產(chǎn)品為二級(jí)品或三級(jí)品的概率約為0.27＋0.43＝0.7．

目前四頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)知識(shí)探究（一）：頻率分布表【問(wèn)題】

我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問(wèn)題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過(guò)a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).通過(guò)抽樣調(diào)查，獲得100位居民2013年的月均用水量如下表（單位：t）：目前五頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)3.12.52.02.01.51.01.61.81.91.63.42.62.22.21.51.20.20.40.30.43.22.72.32.11.61.23.71.50.53.83.32.82.32.21.71.33.61.70.64.13.22.92.42.31.81.43.51.90.84.33.02.92.42.41.91.31.41.80.72.02.52.82.32.31.81.31.31.60.92.32.62.72.42.11.71.41.21.50.52.42.52.62.32.11.61.01.01.70.82.42.82.52.22.01.51.01.21.80.62.2顯然：這個(gè)例子與前面拋擲硬幣的問(wèn)題是不同的，這里的總體可以在一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間取值，稱為連續(xù)型總體。樣本的頻率分布表示形式有：

頻率分布表和頻率分布直方圖目前六頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)1.極差：樣本數(shù)據(jù)中的最大值和最小值的差稱為極差2.確定組距，組數(shù)：.如果將上述100個(gè)數(shù)據(jù)按組距為0.5進(jìn)行分組，那么這些數(shù)據(jù)共分為多少組？0.2～4.3（）÷0.5=8.2畫頻率分布直方圖的步驟目前七頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)

3將數(shù)據(jù)分組，決定分點(diǎn)：以組距為0.5進(jìn)行分組，上述100個(gè)數(shù)據(jù)共分為9組，各組數(shù)據(jù)的取值范圍可以如何設(shè)定？4畫頻率分布表：如何統(tǒng)計(jì)上述100個(gè)數(shù)據(jù)在各組中的頻數(shù)？如何計(jì)算樣本數(shù)據(jù)在各組中的頻率？你能將這些數(shù)據(jù)用表格反映出來(lái)嗎？[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），…，[4，4.5].目前八頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)

分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率

[0，0.5）40.04[0.5，1）正80.08[1，1.5）正正正150.15[1.5，2）正正正正220.22[2，2.5）正正正正正250.25[2.5，3）正正140.14[3，3.5）正一60.06[3.5，4）40.04[4，4.5]20.02

合計(jì)1001.00目前九頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)知識(shí)探究（二）：頻率分布直方圖5畫頻率分布直方圖為了直觀反映樣本數(shù)據(jù)在各組中的分布情況，我們將上述頻率分布表中的有關(guān)信息用下面的圖形表示：月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O目前十頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)上圖稱為頻率分布直方圖，其中橫軸表示月均用水量，縱軸表示頻率/組距.頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的寬度和高度在數(shù)量上有何特點(diǎn)？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O寬度：組距高度：頻率組距2圖形的意義目前十一頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)圖形的意義：頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積表示什么？各小長(zhǎng)方形的面積之和為多少？各小長(zhǎng)方形的面積=頻率各小長(zhǎng)方形的面積之和=1月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O寬度：組距高度：頻率組距目前十二頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)頻率分布的條形圖和頻率分布直方圖的區(qū)別兩者是不同的概念；橫軸：兩者表示內(nèi)容相同思考：頻率分布條形圖和頻率分布直方圖是兩個(gè)相同的概念嗎？有什么區(qū)別？縱軸：兩者表示的內(nèi)容不相同頻率分布條形圖的縱軸（長(zhǎng)方形的高）表示頻率頻率分布直方圖的縱軸（長(zhǎng)方形的高）表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組距上長(zhǎng)方形的面積。目前十三頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)3分析例題：頻率分布直方圖非常直觀地表明了樣本數(shù)據(jù)的分布情況，使我們能夠看到頻率分布表中看不太清楚的數(shù)據(jù)模式，但原始數(shù)據(jù)不能在圖中表示出來(lái).你能根據(jù)上述頻率分布直方圖指出居民月均用水量的一些數(shù)據(jù)特點(diǎn)嗎？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O目前十四頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)（1）居民月均用水量的分布是“山峰”狀的，而且是“單峰”的；（2）大部分居民的月均用水量集中在一個(gè)中間值附近，只有少數(shù)居民的月均用水量很多或很少；（3）居民月均用水量的分布有一定的對(duì)稱性等.月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O目前十五頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)頻率分布直方圖如下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn),得到頻率分布折線圖目前十六頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)利用樣本頻分布對(duì)總體分布進(jìn)行相應(yīng)估計(jì)（2）樣本容量越大，這種估計(jì)越精確。（1）上例的樣本容量為100，如果增至1000，其頻率分布直方圖的情況會(huì)有什么變化？假如增至10000呢？目前十七頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)總體密度曲線頻率組距月均用水量/tab（圖中陰影部分的面積，表示總體在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的百分比）。當(dāng)樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布折線圖就會(huì)無(wú)限接近一條光滑曲線——總體密度曲線．總體密度曲線目前十八頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)

用樣本分布直方圖去估計(jì)相應(yīng)的總體分布時(shí)，一般樣本容量越大，頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近總體密度曲線，就越精確地反映了總體的分布規(guī)律，即越精確地反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值百分比。

總體密度曲線反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比,精確地反映了總體的分布規(guī)律。是研究總體分布的工具.總體密度曲線目前十九頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)1、求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)

知道這組數(shù)據(jù)的變動(dòng)范圍4.3-0.2=4.12、決定組距與組數(shù)（將數(shù)據(jù)分組）3、將數(shù)據(jù)分組(8.2取整,分為9組)畫頻率分布直方圖的步驟4、列出頻率分布表.(填寫頻率/組距一欄)5、畫出頻率分布直方圖。組距：指每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)的距離，組距組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個(gè)以內(nèi)時(shí)，按數(shù)據(jù)多少常分5-12組。

小結(jié)目前二十頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)1、一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù).分組后.組距與頻數(shù)如下：(0,20]2;(20,30]3,(30,40]4;(40,50]5;(50,60]4;(60,70]2。則樣本在(－∞,50]上的頻率為：

，7/10目前二十一頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)2．為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲－18歲的男生體重(kg),得到頻率分布直方圖如下：C0.030.050.07體重(kg)頻率/組距54.558.562.566.570.574.5根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在[56.5,64.5]的學(xué)生人數(shù)是()A.20B.30C.40D.50目前二十二頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)240027003000330036003900X體重y0.0013、觀察新生嬰兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生嬰兒體重(2700,3000)的頻率為：

；0.3目前二十三頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)4.為了了解小學(xué)生的體能情況，抽取了某小學(xué)同年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行跳繩測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖如圖，已知圖中從左到右前三個(gè)小組的頻率分別是0.1，0.3,0.4，第一小組的頻數(shù)為5.(1)求第四小組的頻率；(2)問(wèn)參加這次測(cè)試的學(xué)生人數(shù)是多少？(3)問(wèn)在這次測(cè)試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第幾小組內(nèi)？目前二十四頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)【解】

(1)第四小組的頻率＝1－(0.1＋0.3＋0.4)＝0.2.(2)n＝第一小組的頻數(shù)÷第一小組的頻率＝5÷0.1＝50.(3)因?yàn)?.1×50＝5,0.3×50＝15,0.4×50＝20,0.2×50＝10.即第一、第二、第三、第四小組的頻數(shù)分別為5,15,20,10.所以學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第三小組內(nèi)．解本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握頻率、頻數(shù)、樣本容量(數(shù)據(jù)總數(shù))之間的關(guān)系及中位數(shù)的概念．目前二十五頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)

變式訓(xùn)練為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，繪制出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶10∶2，第二小組頻數(shù)為12.1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？解：(1)第二小組的頻率是10×0.008＝0.08，樣本容量是12÷0.08＝150.(2)達(dá)標(biāo)率為(0.034＋0.030＋0.020＋0.004)×10＝0.088×10＝88%.目前二十六頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)莖葉圖目前二十七頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)目前二十八頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)012348050571153莖葉目前二十九頁(yè)\總數(shù)三十四頁(yè)\編于十六點(diǎn)

甲運(yùn)動(dòng)員得分：13，51，23，8，26，38，16，

33，14，28，39；乙運(yùn)動(dòng)員得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.甲

乙

8463368389

10123454616

7990