工程力學(xué)2(共81張PPT)

工程力學(xué)EngineeringMechanics

中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力學(xué)系

DepartmentofMechanicsofSchoolofCivilEngineeringandArchitectureofCentralSouthUniversity

第1頁，共81頁。第十一章彎曲應(yīng)力

§11-1引言

·橫力彎曲·純彎曲梁橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。梁橫截面上只有正應(yīng)力無切應(yīng)力。常數(shù)第2頁，共81頁?！?1-2截面（平面圖形）的幾何性質(zhì)

一、截面的靜矩與形心截面對(duì)z軸的靜矩注意：截面對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸過截面形心；反之，軸過截面形心，則截面對(duì)該軸的靜矩為零。所以截面對(duì)形心軸的靜矩恒等于零。

截面對(duì)y軸的靜矩第3頁，共81頁。二、慣性積截面對(duì)y、z軸的慣性積

若y、z軸中有一軸為截面的對(duì)稱軸，則

Iyz

=0主慣性軸：Iyz＝0的一對(duì)y、z軸。形心主（慣性）軸：Iyz＝0且都過形心的一對(duì)y、z軸第4頁，共81頁。三、慣性矩1.截面對(duì)軸的慣性矩截面對(duì)z軸的慣性矩慣性矩與極慣性矩的關(guān)系截面對(duì)y軸的慣性矩第5頁，共81頁。2.慣性半徑分別稱為圖形對(duì)y、z軸的慣性半徑。第6頁，共81頁。3.常見截面對(duì)形心主軸慣性矩的計(jì)算·矩形截面（矩形截面高h(yuǎn)，寬b，z軸過截面形心平行矩形底邊）類似地：第7頁，共81頁?！A形截面（直徑為d，y、z軸過圓心）類似地：第8頁，共81頁?！A環(huán)截面（內(nèi)徑為d

，外徑為D

，y、z軸過圓心）第9頁，共81頁?！そM合截面截面對(duì)軸的慣性矩等于該截面各部分對(duì)同一軸的慣性矩之和。第10頁，共81頁?！ば弯摻孛婵梢圆殚営嘘P(guān)工程手冊(cè)（型鋼表）得到。第11頁，共81頁。§11-2截面（平面圖形）的幾何性質(zhì)為使截面合理，滿足下列條件可以查閱有關(guān)工程手冊(cè)（型鋼表）得到。DepartmentofMechanicsofSchoolofCivilEngineeringandArchitectureofCentralSouthUniversity解：鋼帶的變形狀態(tài)同彎曲，其軸線的曲率半徑(xy平面內(nèi)的彎曲)例：寬度b=6mm、厚度δ=2mm的鋼帶環(huán)繞在直徑D=1400mm的帶輪上，已知鋼帶的彈性模量為E=200GPa。截面對(duì)形心軸yC的慣性矩設(shè)加固鋼板長度為a，當(dāng)小車作用在梁中點(diǎn)位置處，未加固截面的最大彎矩解：⑴計(jì)算簡圖確定⑴試計(jì)算能否起吊F=85kN的重物；改變截面尺寸，使抗彎截面系數(shù)隨彎矩而變化。二、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力四、平行移軸定理截面對(duì)任一坐標(biāo)軸的慣性矩，等于對(duì)與其平行的形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方之乘積。類似地：（yC軸過形心）第12頁，共81頁。例：計(jì)算圖示T形截面對(duì)其形心軸yC的慣性矩。解：確定形心軸的位置，坐標(biāo)系如圖截面對(duì)形心軸yC的慣性矩第13頁，共81頁?！?1-3對(duì)稱彎曲正應(yīng)力

在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)作用一對(duì)等值反向的力偶，梁處于純彎曲狀態(tài)。一、純彎曲時(shí)的正應(yīng)力1.變形幾何關(guān)系實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象(1)縱向線由直線變成曲線，且ab伸長、cd縮短。(2)橫向線仍為直線，且仍垂直于變形后的軸線，但相對(duì)其原方位有一微小的偏轉(zhuǎn)。第14頁，共81頁。平面假設(shè)變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，但繞截面的某一軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)小角度。中性層：在彎曲變形時(shí)梁中既不伸長也不縮短的一層纖維中性軸：中性層與橫截面的交線。由于載荷作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，故中性軸z與橫截面對(duì)稱軸y垂直。第15頁，共81頁。距離中性層為y處的纖維ab變形前長度纖維縱向線應(yīng)變?yōu)榫嚯x中性層為y處的纖維ab變形后長度變形規(guī)律設(shè)中性層的曲率半徑為變形規(guī)律：第16頁，共81頁。2.物理關(guān)系公式中中性層的曲率半徑ρ未知，其與內(nèi)力、材料、截面的尺寸、形狀有關(guān)。時(shí)橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律圖第17頁，共81頁。中性軸z必過截面形心，同時(shí)中性軸z與截面縱向?qū)ΨQ軸y垂直，故中性軸位置可確定。y、z軸之交點(diǎn)為形心，x軸即為軸線，且軸線在中性層內(nèi)。3.靜力關(guān)系(1)第18頁，共81頁。應(yīng)力最大，B點(diǎn)壓應(yīng)力最大材料分布越遠(yuǎn)離中性軸，截面的Wz越大。同一橫截面上距離中性軸最遠(yuǎn)處正應(yīng)力最大。DepartmentofMechanicsofSchoolofCivilEngineeringandArchitectureofCentralSouthUniversity⑴試計(jì)算能否起吊F=85kN的重物；解：⑴求支座約束力，作彎矩圖§11-6梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)(xy平面內(nèi)的彎曲)(1)縱向線由直線變成曲線，且ab伸長、cd縮短。(xy平面內(nèi)的彎曲)xz平面內(nèi)的彎曲，中性軸為y§11-6梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)不同截面形式的等直梁，其最大切應(yīng)力計(jì)算公式：解：梁的最大剪力、最大彎矩為解：當(dāng)載荷位于梁中點(diǎn)時(shí)，梁截面的彎矩My、Mz在中點(diǎn)位置同時(shí)有最大值

y、z軸為截面的形心主慣性軸.(2)第19頁，共81頁?？箯潉偠龋航孛娴挚箯澢冃蔚哪芰?3)第20頁，共81頁。純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式橫截面上的彎矩橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩所求應(yīng)力的點(diǎn)距中性軸的垂直距離上述公式適用于任何截面形式的梁發(fā)生平面彎曲的情形。第21頁，共81頁。梁彎曲變形凸出一側(cè)為拉應(yīng)力凹入一側(cè)為壓應(yīng)力第22頁，共81頁。二、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力彎曲平面假設(shè)不成立應(yīng)用時(shí)肯定有誤差，但誤差在允許范圍內(nèi)。特別是對(duì)于細(xì)長梁，誤差更小。橫力彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式：第23頁，共81頁。三、最大彎曲正應(yīng)力同一橫截面上距離中性軸最遠(yuǎn)處正應(yīng)力最大。·矩形截面·實(shí)心圓截面·空心圓截面抗彎截面系數(shù)第24頁，共81頁。

例：圖所示懸臂梁，承受的集中力偶M=20kN·m作用。梁采用No.18工字鋼，鋼的彈性模量E=200GPa。計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力與梁軸的曲率半徑。解：截面的彎矩查型鋼表梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力梁軸的曲率半徑第25頁，共81頁。

例：寬度b=6mm、厚度δ=2mm的鋼帶環(huán)繞在直徑D=1400mm的帶輪上，已知鋼帶的彈性模量為E=200GPa。試求鋼帶內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力與鋼帶承受的彎矩。解：鋼帶的變形狀態(tài)同彎曲，其軸線的曲率半徑橫截面離中性軸最遠(yuǎn)距離第26頁，共81頁?！?1-4對(duì)稱彎曲切應(yīng)力

一、矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力假設(shè)(1)橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力方向平行于剪力.(2)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。第27頁，共81頁。左右兩個(gè)面上由正應(yīng)力引起的軸力：第28頁，共81頁。頂面有切向力由切應(yīng)力互等定理第29頁，共81頁?！ぞ匦谓孛媲袘?yīng)力沿截面高度拋物線分布最外緣處切應(yīng)力等于零中性軸處切應(yīng)力最大第30頁，共81頁。二、工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力1.腹板的切應(yīng)力最大切應(yīng)力在中性軸上腹板內(nèi)切應(yīng)力沿高度拋物線分布最小切應(yīng)力在腹板與翼緣的交界處第31頁，共81頁。2.翼緣的切應(yīng)力翼緣部分切應(yīng)力分布復(fù)雜且數(shù)值很小，一般不作計(jì)算，認(rèn)為翼緣主要承受截面的彎矩。腹板的面積腹板厚度遠(yuǎn)小于翼緣寬度b時(shí)，，，可認(rèn)為腹板上的切應(yīng)力均勻分布第32頁，共81頁。三、圓形、環(huán)形截面梁的彎曲切應(yīng)力圓形截面：環(huán)形截面：第33頁，共81頁。

例：圖所示矩形截面懸臂梁承受均布載荷q作用，比較梁的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。解：梁的最大剪力、最大彎矩為第34頁，共81頁。§11-5梁的彎曲強(qiáng)度條件

一、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件對(duì)于塑性材料的等直梁：對(duì)于塑性材料的變截面梁：對(duì)于脆性材料的梁：第35頁，共81頁。⑴確定危險(xiǎn)截面：充分考慮彎矩、截面尺寸、材料。

⑵當(dāng)材料抗拉、抗壓強(qiáng)度不同（如脆性材料）時(shí)，應(yīng)分別進(jìn)行抗拉、抗壓的強(qiáng)度計(jì)算。

⑶對(duì)于等直梁，當(dāng)中性軸為截面對(duì)稱軸時(shí)，危險(xiǎn)截面在當(dāng)中性軸不為截面對(duì)稱軸時(shí)，危險(xiǎn)截面在處；處（兩個(gè)截面）。根據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可討論三類強(qiáng)度問題（強(qiáng)度校核、截面尺寸設(shè)計(jì)、許可載荷確定）。具體計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：第36頁，共81頁。

例：圖示圓截面軸AD，中段BC承受均布載荷q=10kN/m作用，材料許用應(yīng)力[σ]=140MPa。試確定軸徑。解：⑴確定支座約束力，作彎矩圖⑵確定軸徑AB、CD段最大彎矩確定AB、CD段軸徑第37頁，共81頁。確定BC段軸徑BC段最大彎矩第38頁，共81頁。

例：T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖示。鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力為[σ

t]=30MPa，抗壓許用應(yīng)力為[σ

c]=160MPa，試校核梁的強(qiáng)度。解：⑴求支座約束力，作彎矩圖解得：第39頁，共81頁。⑵截面幾何性質(zhì)形心位置截面對(duì)中性軸的慣性矩第40頁，共81頁。⑶強(qiáng)度校核最大拉應(yīng)力校核，B截面上邊緣和C截面下邊緣可能是最大拉應(yīng)力發(fā)生位置C截面B截面C截面應(yīng)力分布圖B截面應(yīng)力分布圖第41頁，共81頁。最大壓應(yīng)力校核，最大壓應(yīng)力發(fā)生在B截面下邊緣各點(diǎn)B截面所以此梁的強(qiáng)度滿足要求。B截面應(yīng)力分布圖第42頁，共81頁。

例：單梁吊車跨度l=10.5m，由No.45a工字鋼制成，材料的[σ]=140MPa

。⑴試計(jì)算能否起吊F=85kN的重物；⑵若不能，則在上下翼緣各焊接一塊100×10的鋼板，鋼板長a=7m，再校核其強(qiáng)度；⑶求加固鋼板的經(jīng)濟(jì)安全長度。解：⑴校核未加固梁的強(qiáng)度當(dāng)小車位于梁的中點(diǎn)時(shí)，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大查型鋼表所以此梁不能起吊F=85kN的重物。第43頁，共81頁。⑵校核加固梁的強(qiáng)度加固處截面強(qiáng)度校核

當(dāng)小車位于梁的中點(diǎn)時(shí)，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大第44頁，共81頁。未加固處截面強(qiáng)度校核設(shè)加固鋼板長度為a，當(dāng)小車作用在梁中點(diǎn)位置處，未加固截面的最大彎矩當(dāng)小車作用在加固鋼板邊緣處，未加固截面的最大彎矩所以未加固截面的最大彎矩第45頁，共81頁。未加固截面所以加固以后該梁是安全的。⑶計(jì)算加固鋼板的經(jīng)濟(jì)安全長度，設(shè)加固鋼板為x第46頁，共81頁。二、彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件不同截面形式的等直梁，其最大切應(yīng)力計(jì)算公式：矩形截面：工字型截面：圓形截面：環(huán)形截面：注意：若為變截面梁，則還要考慮截面尺寸對(duì)最大切應(yīng)力的影響第47頁，共81頁。一般情況下，梁的強(qiáng)度主要由正應(yīng)力控制，切應(yīng)力一般會(huì)滿足要求，但以下情況必須復(fù)核切應(yīng)力強(qiáng)度：1.梁的最大彎矩較小，而最大剪力卻很大時(shí)（粗短梁、支座附近有很大集中力作用）。3.各向異性材料（木梁順紋、組合截面梁膠粘層抗剪強(qiáng)度計(jì)算）。2.在焊接或鉚接的組合截面鋼梁中，橫截面腹板部分的寬度與梁高之比小于型鋼截面的相應(yīng)比值。

第48頁，共81頁。

例：圖示起重機(jī)梁用工字鋼制成，已知荷載F=20kN，并可沿梁軸移動(dòng)，梁的跨度l=6m，許用正應(yīng)力[σ]=100MPa，許用切應(yīng)力[τ]=60MPa。試選擇工字鋼型號(hào)。解：⑴按梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件初步選擇工字鋼型號(hào)當(dāng)小車位于梁的中點(diǎn)時(shí)，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大查型鋼表選擇No.22a工字鋼第49頁，共81頁。查型鋼表選擇No.22a工字鋼⑵按梁彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件復(fù)核初步選擇的工字鋼型號(hào)當(dāng)小車位于支座位置時(shí)，在此位置剪力最大所以選擇工字鋼滿足彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。第50頁，共81頁。

例：圖示左端嵌固，右端用螺栓聯(lián)結(jié)的懸臂梁，在自由端作用一集中力F。不考慮上下層梁的摩擦，試分析螺栓的受力。

解：螺栓聯(lián)結(jié)后，兩根梁看成一個(gè)整體（高2a，寬b）在F作用下整體彎曲，兩根梁的接觸面相當(dāng)于整個(gè)梁的中性層各橫截面中性軸處切應(yīng)力中性層面上切應(yīng)力第51頁，共81頁。中性層面上的剪力實(shí)際中性層間的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力中性層面上切應(yīng)力第52頁，共81頁?！?1-6梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)

一、梁的合理截面形狀1.合理的截面形狀應(yīng)該是截面面積較小，抗彎截面系數(shù)較大。·定量分析矩形矩形比方形合理方形比圓形合理方形圓形假設(shè)矩形、方形和圓形的面積相同，即：第53頁，共81頁?！ざㄐ苑治?/p>

Wz與截面面積對(duì)于中性軸的分布有關(guān)。材料分布越遠(yuǎn)離中性軸，截面的Wz越大。梁橫截面上正應(yīng)力沿高度線性分布，中性軸附近正應(yīng)力值很小，該處的材料未發(fā)揮作用，可以將材料移置距中性軸較遠(yuǎn)處，使之充分利用。第54頁，共81頁。2.考慮材料的特性來選擇截面的合理形狀⑴抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料，宜采用中性軸為對(duì)稱軸的截面（如矩形、工字形、圓形等）。⑵抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料，宜采用中性軸偏向一側(cè)（許用應(yīng)力較小的一側(cè)）的截面，使y1

和y2

之比接近于下列關(guān)系第55頁，共81頁。

例：圖示梯形截面承受正彎矩作用。已知材料的許用拉應(yīng)力[σ

t]=45MPa，許用壓應(yīng)力[σ

c]=80MPa

，為使梁重量最輕，試確定截面的頂邊寬度a與底邊寬度b的最佳比值。解：截面形心距底邊距離是為使截面合理，滿足下列條件解得：第56頁，共81頁。二、變截面梁和等強(qiáng)度梁1.變截面梁2.等強(qiáng)度梁改變截面尺寸，使抗彎截面系數(shù)隨彎矩而變化。變截面梁各橫截面的最大正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力。第57頁，共81頁。

例：圖示集中力F作用下的簡支梁，截面為矩形，設(shè)寬度b不變，設(shè)計(jì)等強(qiáng)度梁。解：

在支座附近，按切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面最小高度第58頁，共81頁。三、梁的合理受力1.合理布置梁的支座2.盡量將載荷分散作用第59頁，共81頁?！?1-7平面彎曲組合

·斜彎曲彎矩作用平面與慣性主軸平面不重合的彎曲。外力都作用在通過梁軸線的兩個(gè)不同的主軸平面內(nèi)外力作用在通過軸線的非慣性主軸平面內(nèi)斜彎曲為若干平面彎曲的組合變形

第60頁，共81頁。一、內(nèi)力與應(yīng)力的計(jì)算xy平面內(nèi)的彎曲，中性軸為z

xz平面內(nèi)的彎曲，中性軸為y

任意截面x上的內(nèi)力第61頁，共81頁。(xy平面內(nèi)的彎曲)

(xz平面內(nèi)的彎曲）任取截面x上任意點(diǎn)，坐標(biāo)為(y,z)第62頁，共81頁。中性軸方程第63頁，共81頁。二、最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件設(shè)危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)（正應(yīng)力最大點(diǎn)）的坐標(biāo)為(y0

,z0)

第64頁，共81頁。1.矩形截面第65頁，共81頁。2.圓截面正應(yīng)力分布規(guī)律同前，離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)應(yīng)力最大。對(duì)于圓形截面兩個(gè)最大正應(yīng)力值的位置不重合在一點(diǎn)，但圓截面對(duì)于任意直徑軸的抗彎截面系數(shù)是一樣的，同時(shí)有一根直徑軸必為截面中性軸，所以截面的最大正應(yīng)力可求出截面的合彎矩后采用上述公式計(jì)算。第66頁，共81頁。

例：圖所示一矩形截面懸臂梁，截面寬度b=90mm，高度h=180mm，兩在兩個(gè)不同的截面處分別承受水平力F1和鉛垂力F2。已知F1=800N，F(xiàn)2=1650N，l=1m，求梁內(nèi)的最大正應(yīng)力并指出其作用位置。解：經(jīng)分析固定端處A點(diǎn)拉應(yīng)力最大，B點(diǎn)壓應(yīng)力最大第67頁，共81頁。

例：圖示吊車梁，跨度l=4m，用No.20a工字鋼制成。當(dāng)起吊時(shí)，由于被吊物體位置偏斜，致使載荷偏離梁截面的鉛垂對(duì)稱軸。若載荷F=20kN，偏斜角α=5o，試計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。第68頁，共81頁。

解：當(dāng)載荷位于梁中點(diǎn)時(shí)，梁截面的彎矩My、Mz在中點(diǎn)位置同時(shí)有最大值查型鋼表第69頁，共81頁?！?1-8彎拉（壓）組合

軸向力與橫向力同時(shí)作用·拉（壓）與彎曲的組合不通過截面形心的縱向力，即偏心拉伸與壓縮第70頁，共81頁。一、軸向力與橫向力同時(shí)作用引起的彎拉（壓）組合1.內(nèi)力與應(yīng)力的計(jì)算軸向力橫向力（對(duì)實(shí)心截面引起切應(yīng)力很小，忽略）第71頁，共81頁。2.最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件軸力為拉力