信號(hào)與線性系統(tǒng)分析-(吳大正-第四版)習(xí)題答案

第一章信號(hào)與系統(tǒng)

1-5判別下列各序列是否為周期性的。如果是，確定其周期。

(2)=cos(=^k+^)+cos(yZ:+(4)f￡k)=”k(5)人⑺=3cosf+2sin(")

⑵該序列的周期應(yīng)為cos(爭(zhēng)十日和cos信A+旬的最小公倍數(shù)

cos廿雙十；■產(chǎn)周期為8,c叫/+春產(chǎn)周期為6

???該序列的周期為24。

(4),由益=6為有理數(shù),可推知￡(￡)為周期信號(hào)，其周期為乙=6.

7T

T

(5)3cosz為周期信號(hào)，其周期為2a2sinGr。也是周期信號(hào)，其周期為2.但由于2汗與2之間不

存在最小公倍數(shù),故凡⑺=3cosc+2sin(7rt)為非周期信號(hào).

1-6已知信號(hào)/Q)的波形如圖1-6所示，畫出下列各函數(shù)的波形。

(5)/(1-20(7)dt

解:

(5)f(￡+D波形如解1.6圖(e】)所示;將其波形沿橫軸壓縮至原

來(lái)的春，即得到了⑵+1)的波形,如解1.6圖值)所示;將此波形反轉(zhuǎn).

則得到〃一2x+D的波形，如解1.6圖(e)所示.

(7)對(duì)八力求一階導(dǎo)數(shù)時(shí)'值得注意的是在躍變時(shí)間點(diǎn)將出現(xiàn)沖激函數(shù),華的波形如解1.6

圖(g)所示.

(8)[/(x)dz波形如解1.6圖(h)所示.

JOO

1-7已知序列/(左)的圖形如圖1-7所示，畫出下列各序列的圖形。

（1）f（k-2）￡（k）（3）/（左—2）［￡（2）-￡（左一4）］

解（1）將八々）右移2,得到/（々-2）的波形，如解1.7圖

3）所示;然后將/（左一2）與￡&）相乘，即將/（左一2）波形中々V0

部分截去,得到/（々一2）式幻的波形，如解1.7圖（a?）所示.

（ai）（a2）

（3）將/（4一2）波形的以外部分截去.

即得到/（￡一2）［￡柒）一￡（氏—4）］的波形，如解1.7圖

（c）所示.

1-10計(jì)算下列各題。

⑸￡[r2+sinAw+2)^⑹[。2+2)*)力⑺J(r+2t2—2/+l)b'Q—1)力

(5)根據(jù)延時(shí)沖激函數(shù)的取樣特性，有

J[/+sin(竿)])(1+2)山=t2+sin

(6)根據(jù)沖激函數(shù)的尺度變換性質(zhì)，有

外支)=+次力=28⑺

，2?

貝!1(尸+2)“合)dz=2(d+2)8(力白=2(產(chǎn)+2)=4

J-OO\乙)J-OO,=0

(7)根據(jù)延遲沖激偶的取樣特性，有

g(d+2產(chǎn)―21+1)-?—1)山一一「名(/+2產(chǎn)―2E+1)1I

J-codZ11…i

=—(3*+4t—2)|,-1=-5

1-23設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x(0),激勵(lì)為/(?),各系統(tǒng)的全響應(yīng))(.)與激勵(lì)和初始狀態(tài)的關(guān)系如下,

試分析各系統(tǒng)是否是線性的。

(1)y⑺=/%(0)+“inV(x)dx(2)

1-23設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為了（0）,激勵(lì)為/（?）,各系統(tǒng)的全響應(yīng)，（.）與激勵(lì)和初始狀態(tài)的關(guān)系如下,

試分析各系統(tǒng)是否是線性的。

(1)y?)=e-%(0)+Isinxf(x)dx(2)yQ)=

解（D系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為

*r

^i（z）—e-zx（0）?以（力=siaz/（jr）clz

Jo

顯然,系統(tǒng)滿足分解特性.

對(duì)于零輸入響應(yīng),設(shè)初始狀態(tài)為工1（0）、12（0）時(shí)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)分別為

-f

%】（￡）=e-'z】（0）,?應(yīng)（力=ej:2（0）

則當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為馬（0）=。與（0）+6%（0）時(shí),系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為

%（力=6一工（0）=e-'[g（0）+3（0）1

=a[e一3]（0）]+6|>-々2（0）1

=”用（力+6?或（力

故系統(tǒng)滿足零輸入線性.

下面判別零狀態(tài)特性：

設(shè)輸入為力(力、人?)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)分別為

必(￡)=sinr/i⑺也，以2(力=sirir/2(z)&r

J0Jo

當(dāng)系統(tǒng)輸入為/3(力=。力(￡)+6/2(。時(shí)，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為

?/fr

yasW=sinr/(x)cLr=siar[a(x)+bf(x)]dr

Jo3J02

=asinx/i(x)dr-F6sinr/(x)dr

JoJ02

=

ay?](t)'i-bya2(t)

故系統(tǒng)滿足零狀態(tài)線性.

綜上,系統(tǒng)滿足分解特性,零輸入線性及零狀態(tài)線性,故系統(tǒng)為線性系統(tǒng).

(2)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為

*/

以(力=0，以(八=f(x)dr

J0

則系統(tǒng)的全響應(yīng)y(z)=/a)z(0)+/(%)五彳%(力+%(力

J0

即系統(tǒng)不滿足分解特性，故系統(tǒng)為非線性.

1-27某LTI連續(xù)系統(tǒng)，其初始狀態(tài)一定。

已知當(dāng)激勵(lì)為必⑴時(shí)，其全響應(yīng)為必⑺=e-，+cos（R）t>0

若初始狀態(tài)不變，當(dāng)激勵(lì)為2/⑺時(shí)，其全響應(yīng)為為⑺=2COS（M?>0,

若初始狀態(tài)不變，當(dāng)激勵(lì)為3/（。時(shí)，求其全響應(yīng)。

解設(shè)給定初始狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為％（力；激勵(lì)為"E）時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

以（力,則根據(jù)LTI系統(tǒng)的分解特性，可得

V（力=1yti（￡）+以$（￡）=5,+cos（7rt）①

初始狀態(tài)不變，當(dāng)激勵(lì)為2fQ）時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)仍為的（力，而系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

2%（力?則由題意，可得

"a）=wa）+2y18a）=2cos（7rt）,￡，0②

①、②兩式聯(lián)立，有

yM=2e-*

?=（￡）=—eT+cos（nt）

所以，當(dāng)初始狀態(tài)不變,激勵(lì)為3fG）時(shí)系統(tǒng)的全響應(yīng)為

==,-/

^3（^）3ri^）~^3^zs（f）=-eH-3cos（7ri）

第二章

2-1已知描述系統(tǒng)的微分方程和初始狀態(tài)如下，試求其零輸入響應(yīng)。

(1)⑺+5y⑺+6y⑺=/(r),y(0)=1,y'Q)=-1

(3)y\t)+2y\t)+y(t)=/?),y(0_)=l,y'(0_)=1

(5)/(力+4義2)+5,⑺+2y(￡)=f3,y(0一)=0"(0一)=1,』'(0一)=一1

解(D微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為

A2+5A-F6=0

其特征根為尢=-2,九=一工系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可寫為

%a)=Ge~&+C2。-"

又綣(。-)=3(0-)=1,%'(0-)=：/(0-)=—1,則有

1=G+G

—1=-2G—3c2

以上兩式聯(lián)立，解得

G=2,C2=—1

即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為

(3)微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為

M+2A+1=O

其特征根為為,2=-L系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可寫為

山(力=0+。2”'

又%(0_)=)(0_)=1,%'(0_)=3/(0一)=1,則有

%(o_)=G=l

%'(0-)=一弓+。2=1

以上兩式聯(lián)立，解得.

G=1,。2~2

因此,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為

%Q)=(l+2f)e-,￡)0

(5)微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為

A3H-4A24-5AH-2=0

其特征根為木,2=-1,心=一2.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可寫為

z

^(Z)=(C1z+C2)e-+C3e-^

又以(0-)=y(。一)=0，%'(0-)=，(0-)=1,%"(0一)=，'(0-)=—1,則有

%(0_)=。2+。3=。

八'(0->=G—。2—2。3=1

%〃(0_)=—2G+。2+4C3=—1

以上三式聯(lián)立，解得

G=2,Cz==—1,C3=1

因此,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為

^(z)=(2z-l)e",+e-2/,

2-2已知描述系統(tǒng)的微分方程和初始狀態(tài)如下，試求其。+值y(0+)和>'(。+)。

(l)/(O+3y(r)H-2XO=/(O,y(0-)=l,/(0-)=l,/(i)=e(r)

(3)y(Z)+4y(0+3y(z)=/"(0+/'(0，X0.)=2,y,(o.)=-2,/(r)=8(t}

解（1）輸入人力=式力，則方程右端不含沖激函數(shù)項(xiàng)，則》（力及其導(dǎo)數(shù)在t=0處均不發(fā)生躍

變，即

?（0+）=了（。-）=1‘y（o+）=y（o_）=i

（2）

將代入微分方程，有

丁（，）+4：/（8+3'（力=￡（。+8（￡）①

由于方程右端含有￡（力項(xiàng)，則/（D中含有*（力，設(shè)

力=/（力+4'（力+「8（±）+片（力②

其中門（力不含8（。及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng).

對(duì)②式兩端從一8到Z積分，得

/（￡）=2'（，）+砧?）+廠2。）③

其中々a）=ce（t）+r「D（力，不含3Q）及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng).

對(duì)③式兩邊從一8到t積分，得

）（2）=叭力+。（2）④

其中不含灰。及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng).

將②、③、④式代入①中,整理得

WQ）+（4a+6）a'Q）+（3a+4b+c）8（，）+廠］（力+4廠2（力+3?*3（［）=￡（,）+80）

比較上式兩端8（E）及其導(dǎo)數(shù)前的系數(shù)，有

a=l

4a+6=0

3Q+46+C=I

以上三式聯(lián)立，解得

a=l,b=-4,c=14

對(duì)②、③式兩端從0一到0+積分，得

￡(0+)—y'(0_)=c=14

y(0+)一》(0_)=6=—4

則有7(0+)=/(0-)4-14=12

y(0+)=y(0_)—4=—2

2-4已知描述系統(tǒng)的微分方程和初始狀態(tài)如下，試求其零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。

(Dy〃⑴+4ja)+3y(￡)=f(D,y(0_)=y'(0一)=1,/")=￡⑺

(3)，(力+2da)+2yQ)=/a),y(O_)=O,y'(O_)=l,/a)=ea)

解分別用的(力①式D表示以下各系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng).

(1)由零輸入響應(yīng)的定義，可知

%”(力+4%'(力+3?排)=0、

且有％'(0+)=%'(0-)="(。-)=1

%(0+)=g(0_)=?(0_)=1

該齊次方程的特征根為為=-3,筋=一1,則有

/a）=Gef

代人初始值，得

yn（0+）=G+C2=l

%'（。+）=-3C］一。2=1

解得G=-l,02=2

因此,零輸入響應(yīng)為

%（￡）=一€一"+2?一'

由零狀態(tài)響應(yīng)的定義，可知

%"?）+4y/⑴+3ys（%）=€?）

且有％'（。+）=%（。-）=0

由于方程右端無(wú)沖激項(xiàng)，故

,，，

Jzs（0+）=iy2S（0-）=0,以（0+）=%（0-）=0

該方程的齊次解為

?⑴=。32一"+。?'">0

易求其特解為

%（力=/,230

因此,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

.（力=》處⑴+以（￡）=。30一加十。40一，+[,￡>0

O

代人初始值，得

^?（0+）=C3+C44-^-=0

O

媼（。+）=—3C3—。4=。

以上兩式聯(lián)立，解得。3=4，。4=一4,故系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為

U乙

060

根據(jù)線性系統(tǒng)的分解特性,得系統(tǒng)的完全響應(yīng)為

=gQ）+%（￡）=--7-e-3z+%r+[,

040

（3）由零輸入響應(yīng)定義，可知

）石"（￡）+2了￡'（￡）+23^（￡）=0

且有的（。+）=%（。-）=。

%'（0+）=山'（0-）=1

設(shè)該齊次方程的解為

,==zr

5?(^)C1e~cos^4-C2esinz

代人初始值，得%（0+）=G=。

%'(o+)=—G+Cz=i

解得G=o，Cz=1,故系統(tǒng)零輸入響應(yīng)為

%(力=片，sinz,￡)0

由零狀態(tài)響應(yīng)定義，可知

y“〃(力+2y/(力+2Vzs(力=占")

且有％/（0-）=%（0-）=0

由于方程右端有沖激項(xiàng)灰力，且不含其導(dǎo)數(shù)，易推知

媼(0+)=y/(0_)+l=l

乂＜0+)=%(。-)=0

因此當(dāng)2>0時(shí)，有

了勿'々￡)+'(￡)+21yxs(t)=0

此方程的解為

丁晨力=。3。'esz+C4e-'siw〉。

代入初始值，得y5（。+）=?3=0

y「（0+）=—C3+G=l

解得C3=0，C=l,故系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為

由線性系統(tǒng)的分解特性,得系統(tǒng)的完全響應(yīng)為

y（力）=Vzi（Z）+y2S（￡）=2e—'sinz,E20

2.7計(jì)算題2.4中各系統(tǒng)的沖激響應(yīng).

版（D系統(tǒng)的微分方程為

?"（力+4,⑺+3》（。=/（八

由沖激響應(yīng)力G）的定義.有

九”（八+4/（￡）+3/1（力=》（力①

/i，（O_）=A（O_）=O

首先求初始值九'（0+）和灰。+）.

由于①式右端含沖激項(xiàng)次力，可設(shè)

九〃（力=?；摇辏?廠1（力，廠】》）中不含8G）及其導(dǎo)數(shù)②

顯然泊'(力和九(力中不含沖激項(xiàng)，并且AQ)在E=0處連續(xù)，將其代入①式，利用臺(tái)(力系數(shù)匹配

去可求得。=1,且無(wú)(0+)=力(0-)=0

對(duì)②式從。一到0+積分，得

，(0+)一九'(0_)=。=1

因此有〃(0+)=//(0一)+1=1

當(dāng)00時(shí)，力(力滿足

/1〃(力+4//(力+3萬(wàn)(八=0

該齊次方程的解為

無(wú)(￡)=”—'+c2e-女,2>0

代人初始值，得

/l(0+)=C]+02=0

無(wú)'(0+)=-Cl—3c2=1

解得Q=0,5,C2=-O.5,故當(dāng)t>Q時(shí),從。=0.5C-e-").

由人(力的定義，當(dāng)2V0時(shí)/Q)=0.因此系統(tǒng)的沖激響應(yīng)可寫為

九⑺=0.5(e-'-ei)￡Q)

（2）系統(tǒng)的微分方程為

，（力+4y'a）+4ya）=，Q）+3fa）

由沖激函數(shù)從力的定義，可知從力滿足

，（￡）+4，（￡）+4從力=*（力+3田￡）①

，（0一）=%（0一）=0

首先求初始值1（0+）和無(wú)（0+）.

由于①式中含，⑴，則，⑺中含，⑺，設(shè)

*（力=。3'（。+砧（，）+，］（力②

上式中廠《）不含3⑴及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，對(duì)上式兩端從一8到t積分，得

//?）=。灰力+々（力③

其中廠2（力=a。）+47）（力，不含6（力及其導(dǎo)數(shù).

對(duì)③式兩端從一8到1積分，得

A（O=r3（i）④

其中廠3（力不含義力及其導(dǎo)數(shù)，即從力在￡=0處連續(xù)，有

九（0+）=人（0_）=0

將②、③、④式代入①式，得

。,（力+（4。+6力（力+廠】（￡）+40（。+4,3（力="（力+38加

比較上式兩端6（力及導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，有

a-\

4a+b=3

解得a=l,b=—L

對(duì)②、③式兩端從0-到0+積分，得

，（0+）—，（0_）=8=-1,九（0+）一五（0_）=。=1

故1（0%）=九'（0_）—1=-1,%（0+）=無(wú)（0_）+1=1

當(dāng)￡>0時(shí)"（力滿足

力“（力+4無(wú)'（￡）+4%"）=0

該齊次方程的解為

無(wú)⑺=（。述+。2%一為工>0

代人初始值，有

h（0J-）~Cz=1

,

A（O+）=C1-2C2=-1

解得G=1C=1,故當(dāng)￡>0時(shí)"（￡）=a+l）eT.由九⑴的定義，當(dāng)Y0時(shí)跖3=0.因此,

系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

人（力=a+DeT\a）

（3）系統(tǒng)的微分方程為

，（）+2，（￡）+2?（力=，。）

由沖激響應(yīng)從力的定義，知從力滿足

/a）+2//a）+2無(wú)（力=，（力①

A，（0-）=A（0_）=0z

首先求初始值/（0+）和A（0+）.

由于①式右端含，（力，故無(wú)〃（八中含，&）,設(shè)

/（8=。*（力+砧（力+廠1?）②

其中廠1Q）不含我力及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng).

對(duì)②式兩端從一8到t積分，得

，（力=08"）+r2?）③

其中廠2（力=酷（力+公一】〉（力不含灰￡）及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng).

對(duì)③式兩端從一8到t積分，得

/l（t）=Q（力④

其中打（力不含8（力及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng).

將②、③、④式代入①式,經(jīng)整理，得

。，（力+（2々+6）8（力+后（。+2/（力+2門（八=，（力

比較上式兩端沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)前的系數(shù)，得

a=\

2a+6=0

故a=l,b=—2.對(duì)②式兩端從0_到0+積分,得

/(O+)—五'(0_)=6=—2

則有無(wú)'(0+)=五'(0_)—2=—2

對(duì)③式從。-到0+積分，得

九(0+)——無(wú)(0_)=。=1

則有A(0+)=/i(0-)4-l=l

當(dāng)Z>0時(shí)，有

，(力+2無(wú)'?)+2/。=0

該齊次方程的解為

九(力=Ge~'cost+C2e-‘sinz”>0

代人初始值，得

/i(0+)=G=l,，(()+)=—G+C?=-2

解得G=1，C2=-1?故當(dāng)e>0時(shí)"Q)=efcos力一e—sinz.由九(力的定義，當(dāng)￡<0時(shí),從上)=0.

又知h(t)在t=Q處不含沖激項(xiàng)，則可將系統(tǒng)的沖激響應(yīng)寫為

/i(i)=(cosz-sin^)e-fe(z)

2-8如圖電路，若以石⑺為輸入，為輸出，試列出其微分方程，并求出沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。

解根據(jù)KCL及元件伏安特性，有

—（￡）=—（￡）+^^（力

且ic?）=C誓,如（力=由（力

由以上各式,可推知

運(yùn)⑺=C〃'R（￡）+

K

代人已知數(shù)值，并整理，得以isU）為輸入、以（力為輸出的微分方程

,

uR（^）+2uR（r）=2：s（r）

根據(jù)階躍響應(yīng)g（D的定義，知gQ）滿足

g，（Z）+2g（O=2e（O

^（0-）=0

由于方程右端不含沖激項(xiàng)，故g(O+)=g(O_)=O.又方程特征根為入=一2,故方程的齊次解為

gK￡)=ce-".

易求得方程特解為g2(E)=l，故此方程的解可寫為

g(i)=Ce-2,+l,f>0

代入初始值，有

g(O+)=C+l=O

解得c=-l.由于i<0時(shí),g(￡)=0,因此系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為

g⑴=(一ef+DeQ)

系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

/iQ)=g'(￡)=2e-"￡⑴

2T6各函數(shù)波形如圖2-8所示，圖2-8(b)、(c)、(d)均為單位沖激函數(shù)，試求下列卷積，并畫出波形圖。

(2)-”)*力(。(4)/iW*/2W*/2W

(a)(b)

(c)

(2)由題中AQ)波形圖，得力(力表達(dá)式為

A(r)=Mi+l)+Mz-D

因此，根據(jù)卷積的性質(zhì)，有

力⑺*力。)

=/1Q)*bQ+l)+bQ—1)]

=力。)*5。+1)+力⑺*bQ—1)

=力0+1)+力Q—1)

(4)由￡(八表達(dá)式，可寫出

力⑺*力(力*/2a)=[/\a+2)+f】Q—2)[*[也+2)+也-2)]

=fla+4)+2八(E)+力(Z-4)

2-17求下列函數(shù)的卷積積分

(2)根據(jù)卷積性質(zhì)，有

-2r2r

/i(0*/2(O=ee(O*€(/)=fe-e(r)dr

J-co

=e-2rdre(0=一~^-e~21e(t)

=」(1一《一力式力

乙

(4)fi(t)*fz(t)—e-2/e(r)*e-3,e(r)=e_2re-r)dr

J-oo

=e-3/ere(r)e(i—r)dr=e_3tEere(i)*e(^)]

J-<50

*oo

=e-3/ere(r)e(^—r)dr

J-eo

e-3/e4~|e(￡)

J0

=(e-2z—e-39e(^)

⑹/⑴*力（E）=￡Q+2）*EQ-3）

由卷積的遲延特性，設(shè)/Q）=EQ）*€（￡）?則有

HQ）*/（力=/4+2—3）=八2—1）

而e（z）*￡（力=力（力，則

*/2（z）=<z-l）e（i-D

⑻設(shè)人力=作（￡）*￡“），由卷積的延遲特性，有

fi（t）*力（2）=氏（￡）*［晨：）-￡（7—2）］=拄（￡）*￡（￡）—氏（七）*€（￡—2）

根據(jù)奇異信號(hào)的卷積特性，有

/（［）=?€（￡）*￡（力=f比（2）改=「rdr"|e（Z）=4-^2e（Z）

J-co。_乙

故力（力*/2（力=/（力一/（E—2）

=~1■/式力—1-（r--2）2e（^—2）

(10)設(shè)f(￡)=e—%(E+D*￡(D,由卷積的延遲特性，有

2/

*/2(r)=e-e(^+l)*e(z-3)=/(^-3)

根據(jù)奇異信號(hào)的卷積特性，有

y(r)=e_2ze(r+l)*e(i)=fe-2re(rH-l)ciT=[JieT&}(E+l)

J-OQ

y(e2—e-2/)e(z+l)

2.27如題2.27圖所示的系統(tǒng)，試求當(dāng)輸入，")=￡(力一NL4冷時(shí).系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng).

刖

1

由系統(tǒng)框圖，得知左邊積分器的輸入為y'a),右邊積分器的輸出為y(T>a).則由加法器的輸

入輸出關(guān)系，有

")+97?)=八￡)

兩邊求導(dǎo)，得y〃a)+?Q)=，(力

則當(dāng)輸入/(力=€⑴-￡(2—43時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)以⑺滿足

以"(力+%(力=8(加一6(，一4五)

y“(0一)==?'0(0_)=。

設(shè)沖激響應(yīng)后a)滿足

小〃(力+兒(力=3(力①

h\(0-)=A］，(0—)=0

則有?(O-/i)(￡—4K)②

對(duì)微分方程①求解得到

h\(t)=sinre(r)

代人②式，得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

2.30如題2.30圖所示的系統(tǒng)，它由幾個(gè)子系統(tǒng)所組成,各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)分別為

hi(z)=e(t)（積分器）

殳⑴=8?—1)（單位延時(shí)）

九3(￡)=—8(E)（倒相器）

求復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng).

-----------------------------------------3

U與瓦—H-（”）I—*

設(shè)/（。=5?）,則有復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)九Q）為

入（力=8（，）興兒Q〉+6Q）*員（0*吊（力*尼（力

=①（八+九（力*力2。）*九3（力

=￡（力+式力*此-1）*[-8（力

=￡(￡)-￡(/-1)

2.31求函數(shù)/(力=6一”力￡(力(￡>0)的自相關(guān)函數(shù).

解根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義，得

R(r)=「/(r)/(z-r)dz=「e-染”注一3)￡?一「)山

J-OO'JTXJ

**

~eaTe'l(x—r)dz

J0

由于當(dāng)■時(shí),eU—r)=l,否則￡(E-D=0,則

當(dāng)rCO時(shí),氏(-=6皿

0

*cof001

當(dāng)r>0時(shí),=T(Z—r)dE=e"e-2"d￡=77-e0r

J0JrZQ

綜上，得自相關(guān)函數(shù)為

第三章習(xí)題

0,

3.1、試求序列/(k)=]]_J的差分紂(k)、Vf(k)和⑴。

i=-oc

解⑴/(￡)的閉式表達(dá)式為f(k)=(?￡?)

△f(k)=/a+i)—f(k)=(4產(chǎn)屋"+1)—

乙乙

0,k<-1

=(《)*[《€(為+1)-￡(5=11'k1

LL1

-(*產(chǎn)，。0

11

▽/(氏)=fCk)-fik-1)=(/)%(氏)-(+)1晨4-1)

0,E<0

=(《)”[￡(￡)—2e(6-1)]=<I'

N1

￡/⑴=s(3)、出=(4

=_ooi=-oo乙t=O

0,<0

=[2—(y)*]e(^)=,1卜

2一(彳)，3°

3.6、求下列差分方程所描述的LTI離散系統(tǒng)的零輸入相應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。

1)義攵)-2)，伏-1)==2e(k),y(-l)=-1

3)y(幻+2y(k-1)=f(k),f(k)=(3k+4)-儲(chǔ),y(-l)=-l

5)

y(k)+2y(k-1)+y(k-2)=f(k),f(k)=3(g)%⑹,j(-l)=3,y(-2)=-5

由差分方程得到系統(tǒng)的齊次方程，求得含有待定系數(shù)的零輸入響應(yīng)，由初始條件

求得待定系數(shù)，對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng)，由“(幻=0/V0，以及激勵(lì)/(3可確定零狀

態(tài)響應(yīng)的初始值.進(jìn)而求解差分方程求得零狀態(tài)響應(yīng)，至此可得到系統(tǒng)的全

響應(yīng)。

(1)零輸入響應(yīng)滿足方程

yx(k)-2yAk-l)=0

特征根為義=2,其齊次解為

yAk)=C?24次)0

將初始值代人得

y,(—1)=y(.—1)—C?2'=-1

解上式可得C=-2?于是得該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

=-2?2%(4)=—2*+%(無(wú))

零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程

力々)一2〃(￡-1)=f(k)

和初始條件=0。由上式可得

力(8=fCk)+2yfCk-D

則有

37(0)=/(0)+2^(-1)=2

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是齊次差分方程的全解,分別求出方程的齊次解和特解,得

k

力必)=Cf2+yp(k)=Cz2*+(-2)

將〃(歸)的初始值代入，得

y/(0)=Cf—2=2

解得Cz=4,于是得零狀態(tài)響應(yīng)

)/(B)=[4?2”—21￡(4)

系統(tǒng)的全響應(yīng)為

y（k）=%（々）+y,（6）=（2Z，1—2）e（k）

(3)零輸入響應(yīng)滿足方程

y.r(k')+2y,,Ck—1)=0

特征根為義=-2,其齊次解為

y,(Q=C?(-2)人次30

將初始值代入，得

^(―1)=C*(-2)1=—1

解上式可得，C=2,于是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為

yAk)=2(—2)%(￡)

零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程

y/(k)-\-2yf(.k—1)=f(k~)

和初始條件37(—1)=0。由上式可得

則有

力0)=/(0)—2yf(—1)=4

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是非齊次差分方程的全解，分別求出差分方程的齊次解和

特解，得

y/(k)=C/(—2)/+%(￡)=。/(一2尸+?+2)

將37”)初始值代入，得

〃(0)=Cz(-2)°+2=4

解上式得C/=2,于是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

yj<k)=[2(-2)*+-+2ka)

系統(tǒng)的全響應(yīng)為

（5）零輸入響應(yīng)滿足方程

(4)+2乂(氏-1)十%(4-2)=0

特征根為儲(chǔ)=兀=-1,其齊次解為

y,Ck)=G(—1)*+C2^(-1)*/>(

將初始值代人?得

%(-1)=-C4-C2=3

y,(-2)=Ci—2c2=—5

解以上兩式得Ci=-l,C2=2,于是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為

=E(2Z?-1)(-l)*]e(Z?)

零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程

yi(k)+2yf{k—1)+，/(歸-2)=f(k)

由上式得

y,(k)—f(,k)—2yf{k—1)—y/(k—2)

由初始條件"(-1)=必(-2)=0

得

37(0)=7(0)—2力(-1)—yf(-2)=3

,9

”(1)=/(1)-2^(0)-j/z(-l)=-y

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是非齊次方程的全解，分別求出非齊次方程的齊次解和特

解，得

y,(k)=Cj(-+C"(-1)*+』(3)"'

732

將371)的初始值代入，得

”0)=C+J=3

O

19

%⑴=-G-C2+^=-f

oZ

解以上兩式得G=1-,C2=2,于是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

37(￡)=[.(—D*+26(—1)*+(4)

系統(tǒng)的全響應(yīng)為

yCk)=%(4)+〃⑻=[(.+不叮e(A)

O13乙

3.8、求下列差分方程所描述的離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。

2)y(k)-y(k-2)=f(k)

5)yQ4)，(k-l)+8y(k-2)=/(k)

(2)當(dāng)系統(tǒng)激勵(lì)JXk)=3(k)時(shí)，原差分方程可化為

h(k)—h(k—2)=8(h)

則有/?(-1)=〃(-2)=0,方程的解為

h(k)=C,+。2(—DY>0

又

h(k)=臺(tái)(￡)+力(￡-2)

則

h(0)=8(0)+/】(-2)=1

A(1)=3(l)+/i(—1)=0

將初始值代入，得

h(0)=Ci+C2=1

7K1)=Ci-C2=0

解以上兩式得，G=C2=則系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為

h(k)=y[l+(-1)打￡(￡)

(5)當(dāng)系統(tǒng)激勵(lì)f(k)=8(k)時(shí)，原差分方程可化為

/i(^)-4A(^-l)+8A(^-2)=臺(tái)(4)

則有A(-l)=A(-2)=0.方程的解為

h(k)=(2⑶-[Ceos(牛)+Czsin(竽)]花>0

又h(k)=8(k)-\-4h(k-1)-87i(^-2)

則/i(0)=(5(0)+4A(-1)-8A(-2)=1

A(l)=^(1)+4A(0)-8A(-1)=4

將初始值代入，得

A(0)=C)=1

A(l)=(2⑶(C?暫+C2凈=4

解以上兩式得3=hC2=1,則系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為

67t_7T

〃(￡)=用2⑸%osT-Z￡（左）

3.9、求圖所示各系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。

(c)

系統(tǒng)輸出即為左端加法器的輸出，因此易得系統(tǒng)的差分方程，令/")=3(幻，則

系統(tǒng)的響應(yīng)為單位序列響應(yīng)/?(8),同時(shí)初始條件為人(-1)=/)(-2)=…=

A(—?+1)=0。

(1)由左端加法器的輸出為yQ)可知，相應(yīng)的遲延單元輸出為)(&-1)。由加法器

的輸出可知系統(tǒng)的方程為

y(k)=f(.k)+-1)

令/(4)=3(無(wú))，則系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)滿足

h(k')=3(A)+;小(%—1)

以及初始條件=0。則有

/l(0)=5(0)+y/l(-1)=1

方程的解為〃(￡)=》0

將初始值代入,得A(0)=C,=1

則系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h(k)=￡)%(k)

o

(3)由左端加法器的輸出為y凌)可知.相應(yīng)的遲延單元輸出為y(4一—2)。

由加法器的輸出可知系統(tǒng)的方程為

y(k')=—(出一1)+5?。-2)

00

令f(k)=貿(mào)歸)，則系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)滿足

h(k)=3(h)--\-h(k—1)H—7~/?(k—2)

66

以及初始條件以一1)=〃(-2)=0。則有

/】(0)=3(0)一《力(-1)+《/，(-2)=1