小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之兩差法

------------------------------------------------------------------------小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之兩差法小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之兩差法解應(yīng)用題時(shí)，首先確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)），再根據(jù)已知的兩數(shù)差與倍數(shù)差，用除法求出1倍數(shù)，然后以此為基礎(chǔ)，用乘法求出另一個(gè)數(shù)的解題方法，叫做兩差法。用兩差法一般是解答差倍問題。差倍問題的數(shù)量關(guān)系是：兩數(shù)差÷倍數(shù)差=1倍數(shù)1倍數(shù)×倍數(shù)=幾倍數(shù)較小數(shù)+兩數(shù)差=較大數(shù)例1某廠女職工人數(shù)是男職工人數(shù)的6倍，男職工比女職工少65人。這個(gè)廠男女職工共有多少人？（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)“人數(shù)差÷倍數(shù)差=1倍數(shù)”，有：65÷（6-1）=13（人）那么，這個(gè)廠男女職工共有的人數(shù)是：13×（6+1）=91（人）答略。例2小李買3本日記本，小華買同樣的8本日記本，比小李多用2.75元。小李、小華兩人分別用去多少錢？（適于五年級(jí)程度）解：小華比小李多用2.75元（總價(jià)差），是因?yàn)樾∪A比小李多買（8-3）本（數(shù)量差）日記本，用這兩個(gè)差求出每本日記本的價(jià)錢。小李用的錢數(shù)是：0.55×3=1.65（元）小華的錢數(shù)是：0.55×8=4.40（元）答略。例3甲、乙兩數(shù)的差是28，甲數(shù)是乙數(shù)的3倍。問甲乙兩數(shù)各是多少？（適于四年級(jí)程度）解：甲-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍數(shù)，28所對(duì)應(yīng)的倍數(shù)是3-1=2（倍），則乙數(shù)可以求出。解法是：28÷（3-1）=14……………乙數(shù)14×3=42…………………甲數(shù)答：甲數(shù)是42，乙數(shù)是14。例4一個(gè)植樹小組植樹。如果每人栽5棵，還剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。這個(gè)植樹小組有多少人？一共有多少棵樹苗？（適于五年級(jí)程度）解：把題中的條件簡(jiǎn)要摘錄如下：

每人5棵

剩14棵

每人7棵

缺4棵比較兩次分配的情況可看出，由于第二次比第一次每人多栽（7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵樹。根據(jù)兩次每人栽的棵數(shù)差和所栽總棵數(shù)的差，可求出植樹小組的人數(shù)，然后再求出原有樹苗的棵數(shù)。（14+4）÷（7-5）=9（人）……人數(shù)5×9+14=59（棵）……………棵數(shù)答略。例5用一個(gè)杯子向一個(gè)空瓶里倒水。如果倒進(jìn)3杯水，連瓶共重440克；如果倒進(jìn)5杯水，連瓶共重600克。一杯水和一個(gè)空瓶各重多少克？（適于五年級(jí)程度）解：解這類題，要先找出“暗差”的等量關(guān)系，再找解題的最佳方法。這道題的“暗差”有兩個(gè)：一個(gè)是5-3=2（杯），另一個(gè)是600-440=160（克）。這里兩個(gè)暗差的等量關(guān)系是：2杯水的重量=160克。這樣就能很容易求出一杯水的重量：160÷2=80（克）一個(gè)空瓶的重量：440-80×3=200（克）答略。*例6甲從西村到東村，每小時(shí)步行4千米。3.5小時(shí)后，乙因有急事，從西村出發(fā)騎自行車去追甲，每小時(shí)行9千米。問乙需要幾小時(shí)才能追上甲？（適于高年級(jí)程度）解：乙出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)行了（4×3.5）千米，乙每行1小時(shí)便可比甲每小時(shí)多行（9-4）千米，那么（4×3.5）千米中含有幾個(gè)（9-4）千米，乙追上甲就需要多少個(gè)小時(shí)。所以：答：乙需2.8小時(shí)才能追上甲。例6是典型的“追及問題”。由此可知，追及問題也可以利用兩差法來(lái)解答。*例7某電風(fēng)扇廠生產(chǎn)一批電風(fēng)扇。原計(jì)劃每天生產(chǎn)120臺(tái)電風(fēng)扇，實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)30臺(tái)，結(jié)果提前12天完成任務(wù)。這批電風(fēng)扇的生產(chǎn)任務(wù)是多少臺(tái)？（適于高年級(jí)程度）解：在同樣的時(shí)間（計(jì)劃天數(shù)）里，實(shí)際比原計(jì)劃多生產(chǎn)電風(fēng)扇的臺(tái)數(shù)是：（120+30）×12。因?yàn)閷?shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)30臺(tái)，因此：計(jì)劃完成任務(wù)的天數(shù)是60天，那么這批電風(fēng)扇的生產(chǎn)任務(wù)就是：120×60=7200（臺(tái)）答略。*例8甲每小時(shí)走5千米，乙每小時(shí)走4千米，兩人同走一段路，甲比乙少用了3小時(shí)。問這段路長(zhǎng)多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：解答這道題應(yīng)從“差異”入手。因?yàn)榉彩前l(fā)生差異必定有它的道理。題中的差異是“甲比乙少用了3小時(shí)”，抓住它作如下追問，即可發(fā)現(xiàn)解題途徑。為什么會(huì)“甲比乙少用了3小時(shí)”？因?yàn)榧妆纫业乃俣瓤?。?）在3個(gè)小時(shí)里甲比乙多走多少千米的路呢？在3小時(shí)里甲比乙正好多走：4×3=12（千米）（2）甲每小時(shí)可以追上乙多少千米呢？5-4=1（千米）（3）走完這12千米的差數(shù)甲要走幾小時(shí)呢？12÷1=12（小時(shí)）（4）這段路長(zhǎng)多少千米？5×12=60（千米）綜合算式：5×[4×3÷（5-4）]=5×[12÷1]=5×12=60（千米）答略。解：此題是“差倍”問題的變形。答略。兩堆煤原來(lái)各有多少噸？（適于六年級(jí)程度）解：這里已知兩堆煤的總數(shù)和運(yùn)走的總數(shù)，不知道兩堆煤在總數(shù)中占多大比率，也無(wú)法把運(yùn)走的煤分為甲堆運(yùn)走的和乙堆運(yùn)走的。雖然知道甲堆運(yùn)知道，無(wú)法發(fā)生聯(lián)系，因此這兩個(gè)分率無(wú)法參加運(yùn)算。本題的難點(diǎn)在于兩堆煤運(yùn)走的分率不同，若分率相同，分析就會(huì)有所進(jìn)展。然后再看假設(shè)引出了什么差異。已知條件告訴我們共運(yùn)走180噸，與方才算得的162噸相差180-162=18（噸），為什么會(huì)產(chǎn)生這18噸的差異呢？270-120=150（噸）……甲堆答略。*例11祖父給兄弟二人同樣數(shù)目的零花錢，祖母給了哥哥1100日元，給了弟弟550日元，這樣兄弟二人所得到的零花錢數(shù)的比為7∶5。求祖父給兄弟二人的錢數(shù)都是多少日元？（適于六年級(jí)程度）解：因?yàn)樽娓附o兄弟二人的錢數(shù)相同，所以祖母給兄弟二人的錢數(shù)之差，就是他們分別得到的所有零花錢錢數(shù)之差。1100-550=550（日元）由兄弟二人所得到的零花錢錢數(shù)的比為7∶5可知，把哥哥的錢看成是7份的話，弟弟的錢數(shù)就是5份，它們相差：7-5=2（份）所以，每一份的錢數(shù)是：550÷2=275（日元）哥哥有零花錢：275×7=1925（日元）其中祖父給的是：1925-1100=825（日元）答：祖父給兄弟二人的錢都是825日元。*例12一位牧羊人趕著一群羊走過(guò)來(lái)，小明問他：“你的羊群里有山羊、綿羊各幾只？”牧羊人說(shuō)：“山羊的只數(shù)加上99只就是綿羊的只數(shù)，綿羊的只數(shù)加上99只就是山羊的3倍，你去算吧?！闭?qǐng)你幫助小明算一算。（適于五年級(jí)程度）解：由“山羊的只數(shù)加上99只就是綿羊的只數(shù)”知道，綿羊比山羊多99只。由“綿羊的只數(shù)加上99只就是山羊的3倍”知道，綿羊的只數(shù)加上99只后，綿羊的只數(shù)比山羊多（99+99）只。此時(shí)，如果把山羊只數(shù)看作1倍，綿羊只數(shù)就是3倍，比山羊多（3-1）倍，這（3-1）倍正好是（99+99）只（圖22-1）。用除法可以求出1倍數(shù)（山羊只數(shù)），再用加法就可以求出綿羊只數(shù)。（99+99）÷（3-1）=198÷2=99（只）…山羊只數(shù)99+99=198（只）…………綿羊只數(shù)答略。*例13某工廠有大、小兩個(gè)車間。如果從小車間調(diào)10人到大車間，則大車間的人數(shù)是小車間的3倍；如果從大車間調(diào)30人到小車間，則兩個(gè)車間的人數(shù)相等。求大、小兩個(gè)車間各有多少人？（適于高年級(jí)程度）解：根據(jù)“如果從大車間調(diào)30人到小車間，則兩個(gè)車間的人數(shù)相等”知道，大車間比小車間多30×2人；根據(jù)“如果從小車間調(diào)10人到大車間，則大車間的人數(shù)是小車間的3倍”知道，這樣調(diào)動(dòng)后，大車間比小車間多（30×2+10×2）人。把調(diào)動(dòng)后小車間的人數(shù)看作1倍數(shù)，則大車間的人數(shù)就是3倍數(shù)，比小車間的人數(shù)多（3-1）倍數(shù)，這（3-1）倍數(shù)正好是（30×2+10×2）人。用除法可以求出1倍數(shù)（調(diào)動(dòng)后，小車間人數(shù)），加上10就得小車間原有人數(shù)。（30×2+10×2）÷（3-1）+10=80÷24+10=50（人）………………（小車間原有人數(shù)）50+30×2=110（人）…（大車間原有人數(shù)）答略。在差倍問題中，有一類比較特殊，這就是年齡問題。年齡問題一般用差倍問題的解題思路、計(jì)算公式來(lái)分析、解答。但要注意年齡問題所單獨(dú)具有的“定差”特點(diǎn)，即大、小兩個(gè)年齡，相當(dāng)于大、小兩個(gè)數(shù)，無(wú)論現(xiàn)在、過(guò)去、將來(lái)，這兩個(gè)年齡的差不變。抓住這個(gè)特點(diǎn)，再利用差倍問題的數(shù)量關(guān)系和解題方法，便可解答年齡問題。*例14今年哥哥18歲，弟弟8歲。問幾年前哥哥的年齡是弟弟的3倍？（適于高年級(jí)程度）解：作圖22-2。哥哥和弟弟年齡之差（18-8）歲始終不變。把幾年前弟弟的年齡看作1倍數(shù)，哥哥的年齡就是3倍數(shù)，比弟弟多（3-1）倍數(shù)，這（3-1）倍數(shù)正好對(duì)應(yīng)于（18-8）歲。用除法可以求出1倍數(shù)，就是幾年前弟弟的年齡，再用減法便可求出幾年前哥哥的年齡是弟弟的3倍。8-（18-8）÷（3-1）=3（年）答略。*例15今年父親40歲，兒子4