分式重點(diǎn)難點(diǎn)例題、練習(xí)題、自測題

分式重點(diǎn)、難點(diǎn)例題解析

【重點(diǎn)、難點(diǎn)例題解析】

例1下列各分式，當(dāng)X取何值時，分式有意義？當(dāng)X取何值時，分式的值為零？

人、K-2,八X1-K-2

⑴■，⑵F-

解，（D令加+5=0.得*=-g

，當(dāng).#一5時，景有有意義

令x—2=0,得x=2

又當(dāng)x=2時,3x+5W0

，當(dāng)K=2時，景有的值為零.

（2）令x?一1=0,得x】=Lx2=-1

，當(dāng)月時，匕:2有意叉

令x—2=0,得xi=2,x2=—1

又當(dāng)x==2時,X2—1:^0,當(dāng)x=-1時，X2—1=0

.?.當(dāng)”2時，.了了瞳沖

注：（1）分式的有無意義取決于分母中字母的取值，所以只需討論分母中字母的取值

情況，討論分式的值必須在分式有意義的前提下進(jìn)行，因此在討論何時分式的值為零時須同

時考慮以下兩點(diǎn)：①字母取值使得分子值為零；②字母取值使得分母值不為零.

（2）求分式中字母的取值范圍時，切不可將原分式的分子，分母進(jìn)行約分，否則字母

的取值范圍可能會被擴(kuò)大.

如s：當(dāng)x取何值時，分式

亍溫有意義?

幅原式Cr+D(x-7)

(x+D(x+?

i-7

<4-6

令x+6=0,得x=-6

???當(dāng)xN—6時，分式有意義.

在上面的解題過程中，分子、分母約去了（x+1）,原分式變形為

當(dāng)==-1時，蛇分式有意天麗分式無意義.

例2不改變分式的值，求解.

1aI+三

CD把分武胃[”幕的分子與分/中各瞰累數(shù)都化為拄

-If+-M—一

236

數(shù)；

（2）便分k-Z的分子.分母均不含"一”號j

（3）使分武丁翌丁的分子?分母的岫吠項(xiàng)的系數(shù)為汨配

2-J*-x

分析：本題都是有關(guān)分式的恒等變形，不改變分式的值是變形的前提與關(guān)鍵，變形的

依據(jù)是分式的基本性質(zhì)和符號法則，在運(yùn)用符號法則時要注意，一個分式三處有符號（分式

本身、分子、分母），要同時改變兩處的符號，才能保證分式的值不變.

4--加+5

M+Sx-lO

(2)

-3x,3x

(3)/J=■…—

、’2-%-矛

x-2

3+*-2

例3約分.

8a%Y(x+W-b)，

CD34aW(x+Tg-b)

--4x+3

xa-1-6

解：(1)分析：此分式的分子、分母均為單項(xiàng)式，約去分子、分母中相同字母的最低

次幕，系數(shù)約去最大公約數(shù).

8aJbJc4_8a2b>3,ac_ac

24aab,c,=SaSV?3b=%

(2)分析：可以把(x+y)、(a-b)看做一個整體.

-

(x+y)a(a-b)-x*y

(3)分析：當(dāng)分式的分子、分母是多項(xiàng)式時，需通過因式分解將其轉(zhuǎn)化為因式乘積的

形式，再進(jìn)行約分，且約分的結(jié)果可以是整式.

1+力1-。+/

，-4x+3X-1

(4)?a-?-6=(?-3X?+2)=?4-2

注：一個分式的最后形式必須是最簡分式.

例4通分.

5一X廣1J

?+如+［，X'+M'Ka-I

解：(1)?.?最簡公分母是60a3b2c3,

,c_c?2Qacs_20ac4

*'3aab4=3a4ba?20acJ=60aW

5b_5b?I*-'__75bV

4aJc4aJc,I5baca60aJb,c3

2a2a?12a*b

M-5bc、?I2a、b-60a+'t

(2)把各分母因式分解，得

X2+2X+1=(X+1)2,x2+x=x(x+1),x2—1=(x+1)(x—1).?.最簡公分母是x(x—1)

(x+1)2

.M_______K*K(I-D_13(?-P

**?+2x+l=r+l>??L1)=4-g+T

Ll(”D?(xF〉+D(x+lQx-l>

一+I-M(B+1)?(XFM+9口+1)1

i1?如+94+i)

E=(x+g-I).4+1)=*lXx+l>

注：進(jìn)行分式的通分時，若分母是單項(xiàng)式，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與各字母因式

的最高次塞的乘積，作為公分母，這樣的公分母即最簡公分母，公分母除以原分母所得的商

即為分子、分母所要乘的因式.若分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先把各分母分解因式，以確定最簡公分

母.同約分一樣，分式的通分也是對分式進(jìn)行恒等變形，它的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分

前后的分式值不變.

例5計(jì)算.

?+5?-6.--12

(1)

?a-?-20x1*3k-18

ma-2mm1-8

m3*nsma-mn*ti1

r、一+F+lOyi--4。.，-2xy-3y'

ia-9yaia+?y-6yaia-iy-2y3

，、x*-2xa-4x1-4（x-2）J

⑷3e-T^

分析：分式的乘除法要注意運(yùn)算順序，要按照從左到右的順序進(jìn)行；遇到除法運(yùn)算要

轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算；運(yùn)算的關(guān)鍵是約分，當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時，一般先因式分解，再約分,

使運(yùn)算簡化，注意計(jì)算結(jié)果應(yīng)為最簡分式（或整式）.

g八、/為5n-6./*x-12

晶（D了二三?市口i

(x-IXx+O.。-京

(E*4)(a-3(K-3)(E+Q

1-1

M-5

-2HOLma-mn<-na

m*n3m3-8

-2)m-mn■frn

(m+nXm-mn*n)(m-2)(m*-2m**4)

_m

(m+nXm'+2ni+4)

,、?+7?y+lOy'-一4。.?-2?y-3y’

-9yJ1+”-6?，-?y-2yJ

("初(x+5y).(x-2yXx+3y).(x+y)(x-t)

一(x+M(x-3y)(i<-2y)(i-2y)8+D(x-劭

*Sy

?-2y

工+2+--4B<-4(?-2)a

+(rF

K1-5?+6x*2

*+2.

一K(i-2)a(1+2XK-2)K*2

_x-3

例6計(jì)算.

Q)(-帝'⑵(^?(-？+($

⑶小(-孫

分析：分式的乘方依據(jù)分式乘方的法則，在運(yùn)算中要注意符號，另外不要忘記系數(shù)也

要乘方.

*?Q)(-瞪

27al!>,(：?

⑵鏟(-?”今

____c^_±

=一本'Q?寧

(心+心

=空明」)3

(m-D，m-r

(m+D'.

=一g二;才?(m-Dt=-(m-lXin+lK

例7計(jì)算.

(I)

z*2yx+2y

，八m3knI

⑵一

（3）包-」_+」_

''3*4sy12n

⑷/-3xdf+61-4"3

分析：分式的加減法運(yùn)算，首先要判斷分母是否相同，若是同分母分式相加減，分母

不變，把分子相加減，分子是多項(xiàng)式時，合并成一個分式后，原來的分子要添括號.若各分

母不全相同，則應(yīng)通過通分將其化為同分母分式的加減法，注意運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)是最簡分式（或

整式）.

??CD

K+2JFx+2yz*2y

2g+3y+x

i+2y

3?+-4y

z+2y

m-m?3mI

⑵g+E-g

m—n?3m1

m,-1ma-l-1

m-ma-3m-I

--I

—_.2m+D

二

"(m+lXm-D

__m+1

一m-l

2y工.y

（3）

3k4“I2n

=生一當(dāng)工

12s7c12^xL2^FS

8yaz-3tJ*ya

12zyz

(小4)-i----I-----+-i----I-----+-5----I------

x-3H+2x-5K+6z-4x+3

1II

=-------------+--------------+--------------

(B-D(K-2)(7(7(m

(K-1)(K-2X?-3)(?-lX?-2)(?-3)'(I-1X?-2)(?

i-3+x-l+s-2

(x-D(x-2)(x-3)

_3K-6

=(?-lXx-2X?-3)

3fr-2)

~(a-lX?-2X?-3)

3

=(x-lXx-3)

例8計(jì)算.

(3)--------------1----------------+---------------

x+2?-2(K*2X*+D(X-2)(?-D

⑷三十-3…E

解：（1）分析：如果四個分式一起通分，每個分子都將是三個整式的乘積，運(yùn)算量較

大，不妨適當(dāng)分組，兩兩組合，通分化簡后再計(jì)算，較為簡單.

1212

----+--■--

z-lX+2K+1K-2

=Jt-----■I)、+…2fI-，1)、

z+r失+2

-Q-W+DQ+雙7

_K-FI-K+1K-2-x-2

=(?-D(H*l)+-+2)(7

28

=(?-1)(?4-1)-(M+2)(?-2)

2(?3-4)-8(B3-0

=(B-1XX*1X?*25(?-2)

2BJ-8-8M1*8

=(?4-IXM-IXB+2)(B-2)

___

="(M*1X?-1XB+2)(B-2)

(2)分析：觀察每個分母，發(fā)現(xiàn)(x—y)(x+y)=x2—y2,而(x——y?)(x2+y2)=x'

-y,(xl-y1)(xV)=x8-y8,所以不妨從左到右依次通分.

112K4—

-----+-------+-5----5-+-I----T

K-y?：+y—+/K**y*

_s+y+i-y2z4M1

一(x-力(-X+y)、+/+?*+y*

-2K2K4一

-ya*1+/+B4*y4

一-y4)(?4+y4)+?4*/

_M4?3

_4BJ(?*+y4<-?*-y4)_8KY

--Y-y*.

(3)Mb對于后兩個分武，可以依據(jù)公式7二='-二7，

n(ii/DnQ*1

將其拆成兩個分式，可與前兩個分式合并，以簡化原式.

II,1,1

K+2K-2(E+2X>+D(X-29(K-1)

1

=lL+J____1_.□____

x+2i-2i+l1*21-21-l

IIx-l-(i+l)

=(M+IXX-1)

?-l-M-12

=(?4-1)(K-1)=_(M4-1)(?-1)

(4)分析：可先將每個分式化簡，再計(jì)算，可將每個分式化成一

個捶式與一個真分式的和，加口=1一人.瑛這樣的化1%蜷,

1-11-1

可使運(yùn)算更簡便.

—i-^2――K-3.——I*4%—i+5

1-11-2K*3K*4

為一(“貴心擊)

_x-lr+2x+3-x-4

=g-&(x-D+(x+$(K+4)

=11

?+7x+12-p-3k*2)

=(?-9(?-2XB*3J(?*4)

?+7x+12--<-3B-2

=3)(…

10x4-10

=(?-D(X-2)(?*3XB+4)

例9計(jì)算.

Q）…普）.要A當(dāng)

,、II21tXs-f

⑵丁產(chǎn)

r、x-2?-1-—5K-4.

（3）-------------x-------------+-----------------?（2+M）2

''K+2?+4*+4*2'>

分析：分式的混合運(yùn)算中，要注意運(yùn)算順序，對于每個分式，能約分時要先約分，可

使后面的運(yùn)算較為簡單.

+2y，.”一力.x+y

a+y(?a+尸)8+y)(?-y)夷'

p1

a+y(s1*ya)(?*y)至

1

一詠"醇

心力’

心力

一。*可+7

C3)?(2+貨

z**2+4x+4?+2

K-2s-1.x*2)

K-2M+2

x+2x-4

a

(?-2)(z-4)-(K4-2)

(x+雙x-4)~~

_--6i+8-1-4i-4

U*2)(?-4)-

-llh+4

=(?4-2X?-4)

lOx-4

="(?+2)(?-4)

例10化簡下列繁分式.

（2）

1-xa*ba-b

分析：在分子或分母中含有分式的分式叫做繁分式，繁分式的化筒實(shí)際上就是分式的

混合運(yùn)算.化簡繁分式一般采取兩種方法：①可以將繁分式轉(zhuǎn)化為除法進(jìn)行化簡，利用這種

方法，要注意分?jǐn)?shù)線的兩個作用——除號和括號的作用；②可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)約去分

子或分母中的分母，將其化為一一般分式再進(jìn)一步化簡.

解，(I)LaZZ

x-iz7

M+M'

l*r1l+xB-1

?=-----y=—

TX-t-1

l-K1-K

(2)鶴一:a-ba+b

a-ba*b

a1-baa'+b'、a-ba+b

、a-ba+b)、+ba-b，

(a+b)(ab)?+b\一(a-」-，+b)：

一1-a-ba*b,(a+b)(a-b)

a'+bL_4ab

=3a-a+b(a+b)(a-b)

,ka'+b\,(a*b)(a-b)

……F")?一^—

___a'->>ifl.(a+b)(a-b)

a+b4ab

=-2ba(a-IQb(a-b)

4ab2a

解法二:

(正小一筆…一b)

(-rr~-r)(?+b)(a-b)

a*ba-b

(a+bXa-b)'-(a-b)q'+b‘)

(a-b)1-(a*b)a

Ca-b)(aa-ba-aa-ba)

=aa-2**b1-(aJ*2*+bJ)

-2ba(a-b)b(a-b)

=--2a

例11化簡求值.

a-ab+lf1*b-a-ab

>其中*=2,b=3.

l一b-a+ab

a-ab*l-b.l+b-a-ab

a'_a'b'_II-b-a+ab

aG?b)+(l?b).(l+b)-a(l+b)

-a'Q-b')-(l-b')G-b)-aG-b)

—(1-bXa+D.(l+bXl一0

"(a*D(a-1X1+b)(l-b)(1-bXl-a)

1

=(a-lXl-b)

Va=2,b=3

I

(a-Dd-b)(2-l)(l-3)2

例12已知：a+b=3,ab=l

Va+b=3,ab=l

3

baba?aa(a4-b)a-2ab

C2)f

absbah

Va+b=3,ab=l

.bj-2xl

..一土==---：---=7

ab1

例13解下列關(guān)于x的方程.

(1)m(x-m)=n(x—n)(mWn)

(2)空=與配1廿b)

abab

分析：解含有字母系數(shù)的一元一次方程，注意不能用等于零的含字母的式子去乘或除

方程的兩邊，對于字母的取值，通常會在已知條件中直接或間接地給出，如(2)題，除題

目告訴的aWb這一條件外，隱含有aWO,bWO的條件.

解：(1)原方程變形為(m—n)x=m‘一i?

?.,.m—n7^0

m-nm-n

(2)去分母，得ab+ax二bx—ab+ab

整理，得(a—b)x=—ab

VaT^b/.a-b^O

ab

.■?=----

b-a

例14公式［?白+白中，R'瑪已虬且JMl，求即.

解：方程兩邊同乘以RRR,得

RR=RR2+RR1

R1R2—RRFRRZ

RI(R2—R)-RR2

VR^R2,???R2—RHO

RBL

*"■Rl=nK,_一ok

說明：(1)此題是把一個公式從一種形式變成另一種形式，叫做公式變形.

(2)公式變形的實(shí)質(zhì)就是解含字母系數(shù)的方程，這里，R、R?是已知數(shù)，R是未知數(shù),

此方程可以看做是關(guān)于R的分式方程，解時要注意分母不能為零.

例15解方程.

分析：解分式方程的思路是：用最簡公分母乘方程的兩邊，從而將分式方程轉(zhuǎn)化為整

式方程，再解這個整式方程，注意分式方程的根?定要檢驗(yàn).

解：(1)方程兩邊都乘以(x+1)(x-1)

-ri(?+o0--7(<+o(M—i)=；.A-

z+lK-I+

(x+1)(x—1)(x—1)J—(x+1)=4

整理，得x?—3x—4=0

(x+1)(x-4)=0

Xi——1,X2=4

檢驗(yàn)：當(dāng)Xi=-1忖，(x+1)(X-1)=0

當(dāng)X2=4時，(x+1)(x-1)=5X3=1570

???x=4是原方程的根.

"、gI-I*1r-2+1r-4+1r-5*1

（2）解，----——-----=---—―-----

1-1i-21-4z-4

壯;一［_-=11—^--1-^-

K-lK-2?-4一一5

z-2-（z-l）x-5-（x-4）

I1

―揚(yáng)逸”吟。

兩邊乘以（X—1）（X—2）（X—4）（X—5）

（X—4）（X—5）=（X—1）（X—2）

x‘一9x+20=x'一3x+2

-6x=-18

x=3

檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時，（x-1）（x-2）（x-4）（x-5）WO

Ax=3是原方程的根.

例16甲、乙兩隊(duì)合作一項(xiàng)工程，原計(jì)劃12天完成，他們共同合作了6天之后，乙隊(duì)

被調(diào)走，甲隊(duì)又單獨(dú)做了18天才全部完成.問甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)工作，各需多少天完成工程？

分析：此題是工程問題，設(shè)工作總量為1,設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需x天，

乙單獨(dú)做新天，耳甲每天的工作效率為乙每天的工作效率為;.

解：設(shè)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)工作，分別需要X天、y天完成工程，根據(jù)題意，得到方程組:

(x=36

&=18

64-186

答：甲單獨(dú)工作需36天完成工程,

乙單獨(dú)工作需18天完成工程.

分式重點(diǎn)難點(diǎn)練習(xí)題

【重點(diǎn)、難點(diǎn)練習(xí)題】

一、當(dāng)X取何值時，下列分式有意義？分式的值為零?

2K-t-4

1.——r2.———

?-lx+2

x-2-9M*20

'I*s-84'?a-7i+12

二、計(jì)算

l?.------+—1.-8-----

m*4ma-16

5a-82

,aa-2a-8a-4

三、解下列分式方程

c4-8K,2z-l

3.-j--1=--

z—42-K

I6K-l

4.X-l+I*1

xK+7K+2_?*5

5.

z+1B+6K+3K*4

重點(diǎn)、難點(diǎn)練習(xí)題

1.當(dāng)*/時.分支有童叉，當(dāng)X與時，分式的值為零，

2.當(dāng)x#-2時，分式有意義，當(dāng)x=2時，分式的值為零；

3.當(dāng)x#2時，分式有意義；x取任何實(shí)數(shù)，分式的值均不為零;

4.當(dāng)xW3且xW4忖，分式有意義；當(dāng)x=5時，分式的值為零.

分式自測題

(-)填空

??當(dāng)A—分武昌財(cái)童叉.

2.若分食WttW,Xk=.

3.在分式札1=時，分再熠毒心i=

分母幡是零.

4.當(dāng)^=時,分或腳的值是零.

5.當(dāng)==時，分式年^無意叉.

---------------IM-z

時，分式需無意義，3

6.K為葉，這個分式的

值為零.

7?審吩武舟的值為零,用施聯(lián)值應(yīng)為一

8.事=時,分.廣.的卻序&=時,

----------K*1-4------------

分武碧無意義.

九已知—4那么B?

10.若、一誓吧的值為零,?a=

a+z-----------

ll-3i=或*=時.分式」y無意義.

i+-

X

12.若2K=為，M—=

y-----------

B.當(dāng)*/,筆?7?

14.把含鹽15%的鹽水m千克與含鹽25%的鹽水n千克混合，則混合后鹽水的濃度是

15_.如果a個同學(xué)在b小時內(nèi)搬磚100塊，那么以同樣的速度，x個同學(xué)搬100塊磚需

小時.

16.把a(bǔ)千克鹽溶在b千克水里，那么在m千克這種鹽水里含鹽是.

17.

18.I郵島+與+含.

2x*6，十,-6

19.W.

/-4r*4+(T*+3

20.牝1$

21.若a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，m的絕對值為2,則

a+b_i

—：+n>24-de

a+b+c

22.若海，則空的《是

b，b

23.當(dāng)*=1.y=4時.詠0-2+口^^

zxy----------

24.若1減去（卜x）的倒數(shù)的差等于（1-x）的倒數(shù)，則x=.

25.A,B兩個水桶的容量之比為3：4,A桶內(nèi)有水56升，B桶內(nèi)有水49升，如果把B

桶內(nèi)的水倒入A桶并加滿，那么B桶內(nèi)剩下的水是它的容量的-半，求兩個水桶的容量.

解設(shè)A,B兩個水桶的容量分別為x升，y升.根據(jù)題意，得方程組

（二）選擇

分食等于零，曲誨為

4s*U

A.1；B.±1；

c.D.

2

27.分點(diǎn)里的值為零葉，峋醍[]

K-3

A.x=3；B.x=-3；

C.x=±3；D.x=0.

28.曲〉y＞。，那么:的結(jié)果是[]

M+1x

A.零；B.正數(shù)；

C.負(fù)數(shù)；D.整數(shù).

29.下列等式中正確的

是[]

g2dbb-2a(aW(l-a)，

'(a-b)a(b-a)21-(b-a)3-(a-b)31

一a_ba*b_a-bb-a

C.------------------jD.-------..........-.

na-nm*ni+b-a-b

如.如就分武含中的迪g倍'那么分式的值

[]

A.擴(kuò)大兩倍;B.不變;

C.縮小兩倍.

31.去分號解岫方程三■含時產(chǎn)生增福M如等于

[]

A.-2；B.-1；

C.1；D.2.

32.某人打靶，有m次是每次中靶a環(huán)，有n次每次中靶b環(huán)，則平均每次中靶的環(huán)

數(shù)是[]

A.=3B.岸丹

m*Q211nnJ

am*bmI

C.-----------1D.—(am-i-bn).

m-*-■>2

(三)計(jì)算

_x2-3*.K-3

33.-------<--2——.

ia-4

y”4….-1，+5x-6

ia1-i<-t4-4i2-a

35-

23

a1-7a*10.a*1+a*L

a-a+la+4&+4a+2

3

?+2x+4■?-8■I

z2<-4B*43x+61-4

a+55

5a-20a2-9a*20

（四）求值

其中&==.

61.

4

62.已知x：y：z=3：4：5,x+y-z=6,求x,y,z的值.

先化順再求值,其中“=」?

（五）應(yīng)用題

64.甲、乙二人分別從相距36千米的A,B兩地同時相向而行，甲從A地出發(fā)行至1

千米時，發(fā)現(xiàn)有物件遺忘在A地，便立即返回，取了物件又立即從A地向B地行進(jìn)，這樣甲、

乙二人恰在A,B中點(diǎn)處相遇.又知甲比乙每小時多走0.5千米，求甲、乙二人的速度.

65.甲、乙兩個工程隊(duì)合做一項(xiàng)工程，乙隊(duì)單獨(dú)做一天后，山甲、乙兩隊(duì)合做兩天就

完成了全部工程，已知甲隊(duì)單獨(dú)做所需的天數(shù)是乙隊(duì)

單獨(dú)做所需天數(shù)的多求甲,乙兩隊(duì)單獨(dú)做各需多少天.

66.某班學(xué)生利用星期天到離學(xué)校a千米的農(nóng)場參加勞動，男同學(xué)騎自行車先出發(fā)1

小時30分鐘后，女同