高考立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(詳細(xì))2118

高考立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、知識(shí)點(diǎn)<一>常用結(jié)論1．證明直線與直線的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.2．證明直線與平面的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.3．證明平面與平面平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.4．證明直線與直線的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5．證明直線與平面垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.6．證明平面與平面的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.7.夾角公式：設(shè)a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)，則cos〈a，b〉=ababab.1122a2aa2b2bb23321231232rr123123rr8．異面直線所成角：cos|cosa,b|=12|a||b|x2yzx2|xxyyzz||ab|rr12121z2y222r1r122290o）為異面直線（其中（,a,bab所成角，a,b分別表示異面直線的方向向量）0oABm9.直線AB與平面所成角：arcsin(m為平面的法向量).|AB||m|10、空間四點(diǎn)A、B、C、P共面OPxOAyOBzOC，且x+y+z=111.二面角l的平面角mnmnarccosarccos或（m，n為平面，的法向量）.|m||n||m||n|12.三余弦定理：設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所1成的角為，AO與AC所成的角為．則coscoscos.213.空間兩點(diǎn)間的距離公式若A(x,y,z)，B(x,y,z)，則12111222d=|AB|ABABA,B(xx)2(yy)2(zz)2.212121|CDn|14.異面直線間的距離：d(是兩異面直線，其公垂向量為l,l、n，CD分別是上任一點(diǎn)，l,l12|n|12d為l,l間的距離).12|ABn|B到平面的距離：d（n為平面的法向量，AB是經(jīng)過面的一條斜線，A）.|n|15.點(diǎn)16.三個(gè)向量和的平方公式：(abc)2aabc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,al的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為lll，夾角分別為,則有、、、、123123bc2ab2bc2ca22222217.長(zhǎng)度為sin2sin2sin22.l2l2l2l2cos2cos2cos21123（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.123123S'18.面積射影定理S.(平面多邊形及其射影的面積分別是S、S'，它們所在平面所成銳二面角的).19.球的組合體(1)球與長(zhǎng)方體的組合體:長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(2)球與正方體的組cos合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng),正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng),正方體的a外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(3)球與正四面體的組合體:棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑66aa為,外接球的半徑為.12420.求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、體積法）21.求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補(bǔ)法、等積變換法）〈二〉溫馨提示：1.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時(shí)，你是否注意到它們各自的取值范圍及義？①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次.②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是③反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是．．〈三〉解題思路：1、平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥線∥線線∥面面∥面判定線⊥線線線∥線線⊥面面∥面a性質(zhì)⊥面面⊥面O線面平行的判定：αbca∥b，b面，aa∥面面面垂直：aba⊥面，a面⊥面⊥面，l，，aaa⊥l⊥線面平行的性質(zhì)：αa∥面，面，ba∥bl三垂線定理（及逆定理）：βPA⊥面，AO為PO在內(nèi)射影，面，a則a⊥面，b⊥面∥aba⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO面⊥，面⊥∥aaabPOa線面垂直：（四）空間幾何體的類型1多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。2旋轉(zhuǎn)體：把一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。（五）幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1、棱柱的結(jié)構(gòu)特征1.1棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。1.2棱柱的分類圖1-1棱柱底面是四邊形底面是平行四邊形側(cè)棱垂直于底面棱柱四棱柱平行六面體直平行底面是矩形底面是正方形六面體長(zhǎng)方體正四棱柱棱長(zhǎng)都相等正方體性質(zhì)：Ⅰ、側(cè)面都是平行四邊形，且各側(cè)棱互相平行且相等；Ⅱ、兩底面是全等多邊形且互相平行；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3棱柱的面積和體積公式（是底周長(zhǎng)，是高）chcSh直棱柱側(cè)S=c·h+2S底直棱柱表面V=S·h棱柱底2、棱錐的結(jié)構(gòu)特征2.1棱錐的定義（1）棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。（2）正棱錐：如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。32.2正棱錐的結(jié)構(gòu)特征Ⅰ、平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；Ⅱ、正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；1ch'（為底周長(zhǎng)，h'為斜高）P正棱錐側(cè)面積：Sc2正棱椎體積：V1Sh（S為底面積，h為高）3棱椎DCOHAB正四面體：2對(duì)于棱長(zhǎng)為正四面體的問題可將它補(bǔ)成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體問題。a22a（正方體的邊長(zhǎng)）2對(duì)棱間的距離為6正四面體的a（2l）3正方體體對(duì)角線高32134VV正四面體的體積為a3（V）12正方體小三棱錐正方體11：1:3正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為（ll）62正方體體對(duì)角線正方體體對(duì)角線3、棱3.1棱臺(tái)的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱為棱臺(tái)。3.2正棱（1）各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；（2）正棱臺(tái)的兩個(gè)底面和平行于底面的截面都是正多邊形；臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義：用一個(gè)平行于底面的臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征（3）正棱臺(tái)的對(duì)角面也是等腰梯形；（4）各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)。4、圓柱的結(jié)構(gòu)特征4.1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。4.2圓柱的性質(zhì)4（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圓；（2）過軸的截面(軸截面)是全等的矩形。4.3圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長(zhǎng)和母線長(zhǎng)為鄰邊的矩形。4.4圓柱的面積和體積公式SSV=2π·r·h(r為底面半徑，h為圓柱的高)圓柱側(cè)面=2πrh+2πr2圓柱全=Sh=πr2h圓柱底5、圓錐的結(jié)構(gòu)特征5.1圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。5.2圓錐的結(jié)構(gòu)特征（1）平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；（2）軸截面是等腰三角形；（3）母線的平方等于底面半徑與高的平方和：圖1-5圓錐l2=r2+h25.3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點(diǎn)為圓心，以母線長(zhǎng)為半徑的扇形。6、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征6.1圓臺(tái)的的部分稱為圓6.2圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征⑴圓臺(tái)的上下底面和平行于底面的截面都是圓；⑵圓臺(tái)的截面是等⑶圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓6.3圓臺(tái)的面積和體積公式定義：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間臺(tái)。腰梯形；錐，然后利用相似三角形進(jìn)行研究。SSV=π·(R+r)·l(r、R為上下底面半徑)臺(tái)側(cè)圓=π·r2+π·R2+π·(R+r)·l圓臺(tái)全=1/3(πr2+πR2+πrR)h(h為圓臺(tái)的高)圓臺(tái)7球的結(jié)構(gòu)特征7.1球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體?？臻g中，與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。57-2球的結(jié)構(gòu)特征⑴球心與截面圓心的連線垂直于截面；⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2=R2–d2★7-3球與其他多面體的組合體的問題球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類型，解決此類問題的基本思路是：⑴根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形；⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對(duì)球的合適的切割面，然后做出剖面圖；⑶將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題；⑷注意圓與正方體的兩個(gè)關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對(duì)角線；球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長(zhǎng)。7-4球的面積和體積公式S球面V=4/3πR3球=4πR2(R為球半徑)（六）空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和圓柱的表面積：S2rl2r2圓錐的表面積：Srlr2圓臺(tái)的表面積：SrlrRlR22S4R2球的表面積：SnR21lr=12r2（其中l(wèi)表示弧長(zhǎng)，r表示半徑，表示弧度）扇形的面積公式3602扇形空間幾何體的體積柱體的體積：VSh底錐體的體積：V1Sh底3V1（SSS上下下S)h臺(tái)體的體積：3上4球體的體積：VR33（四）空間幾何體的三視圖和直觀圖6正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖?！锂嬋晥D的原則：正俯長(zhǎng)相等、正側(cè)高相同、俯側(cè)寬一樣注：球的三視圖都是圓；長(zhǎng)方體的三視圖都是矩形直觀圖：斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法的步驟：（1）平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；（2）平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于x，z軸的線長(zhǎng)度不變；（3）畫法要寫好用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖二、點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系（一）、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：⑹⑴⑵⑷公理4線線平行線面平行面面平行⑶⑸⑾⒀⑿⒁⑺三垂線定理⑼⒂線線垂直⑽線面垂直面面垂直⒃三垂線逆定理⑻1、線線平行的判斷：（1）、平行于同一直線的兩直線平行。（3）、如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。（6）、如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（12）、垂直于同一平面的兩直線平行。2、線線垂直的判斷：（7）、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（8）、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。（10）、若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。7補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。3、線面平行的判斷：（2）、如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。（5）、兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。判定定理：性質(zhì)定理：★判斷或證明線面平行的方法⑴利用定義(反證法l∥α(用于判斷)；)：lI，則⑵利用判定定理：線線平行線面平行(用于證明)；(用于證明)；(用于判斷)。⑶利用平面的平行：面面平行線面平行⑷利用垂直于同一條直線的直線和平面平行2線面斜交和線面角：l∩α=A2.1直線與平面所成的角(簡(jiǎn)稱線面角θ。)：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角2.2線面角的范圍：θ∈[0°，90°]注意：當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時(shí)，θ=0°；當(dāng)直線垂直于平面時(shí)，θ=90°圖2-3線面角4、線面垂直的判斷：⑼如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。⑾如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。⒁一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。⒃如果兩個(gè)平面垂直，那么在—個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另—個(gè)平面。判定定理：性質(zhì)定理：（1）若直線垂直于平面，8則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。即：（2）垂直于同一平面的兩直線平行。即：★判斷或證明線面垂直的方法⑴利用定義，用反證法證明。⑵利用判定定理證明。⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。⑷一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則也垂直于另一個(gè)。⑸如果兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面?！?.5三垂線定理及其逆定理⑴斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的所有線段中，斜線相等則射影相等，斜線越長(zhǎng)則射影越長(zhǎng)，垂線段最短。如圖：⑵三垂線定理及其逆定理已知PO⊥α，斜線PA在平面α內(nèi)的射影為OA，a是平面圖2-7斜線定理α內(nèi)的一條直線。①三垂線定理：若a⊥OA，則a⊥PA。即垂直射影則垂直斜線。②三垂線定理逆定理：若a⊥PA，則a⊥OA。即垂直斜線則垂直射影。⑶三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用①證明異面直線垂直；圖2-8三垂線定理②作出和證明二面角的平面角；③作點(diǎn)到線的垂線段。5、面面平行的判斷：⑷一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。⒀垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。6、面面垂直的判斷：⒂一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。判定定理：性質(zhì)定理：⑴若兩面垂直，則這兩個(gè)平面的二面角的平面角為90°；9（2）（3）圖2-10面面垂直性質(zhì)2（4）（二）、其他定理：圖2-11面面垂直性質(zhì)3（1）確定平面的條件：①不公線的三點(diǎn)；②直線和直線外一點(diǎn)；③相交直線；（2）直線與直線的位置關(guān)系：相交；平行；異面；直線與平面的位置關(guān)系：在平面內(nèi)；平行；相交（垂直是它的特殊情況）；平面與平面的位置關(guān)系：相交；；平行；（3）等角定理：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等；如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；（4）射影定理（斜線長(zhǎng)、射影長(zhǎng)定理）：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等；射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；反之，斜線段相等的射影相等；斜線段較長(zhǎng)的射影也較長(zhǎng)；垂線段比任何一條斜線段都短。（5）最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角。（6）異面直線的判定：①反證法；②過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線。（7）過已知點(diǎn)與一條直線垂直的直線都在過這點(diǎn)與這條直線垂直平面內(nèi)。（8）如果—直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于兩個(gè)平面的交線。（三）、唯一性定理：10（1）過已知點(diǎn)，有且只能作一直線和已知平面垂直。（2）過已知平面外一點(diǎn)，有且只能作一平面和已知平面平行。（3）過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。四、空間角的求法：（所有角的問題最后都要轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，尤其是直角三角形）（1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角。異面直線所成角的范圍：090o；o（2）線面所成的角：①線面平行或直線在平面內(nèi)：線面所成的角為0；②線面o垂直：線面所成的角為90o；③斜線與平面所成的角：范圍o090o；即也就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。線面所成的角范圍090oo（3）二面角：關(guān)鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；二面角的平面角的范圍：0180o；o五、距離的求法：（1）點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面距離：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)、點(diǎn)與線、面間的距離是點(diǎn)到線、面垂足間線段的長(zhǎng)。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計(jì)算。注意：求點(diǎn)到面的距離的方法：①直接法：直接確定點(diǎn)到平面的垂線段長(zhǎng)（垂線段一般在二面角所在的平面上）；②轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離（利用線面平行的性質(zhì)）；③體積法：利用三棱錐體積公式。（2）線線距離：關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：①定義法，關(guān)鍵是確定出a,b的公垂線段；②轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為與過ab而平