課題平面幾何圖形面積的求解與應(yīng)用

課題：平面幾何圖形面積的求解與應(yīng)用（二）授課目標：知識與技術(shù)：會應(yīng)用函數(shù)思想表示幾何圖形的面積；已知面積(比)求函數(shù)關(guān)系式中的待定系數(shù).過程與方法：讓學生經(jīng)歷觀察、交流、計算等過程，培養(yǎng)學生觀察、思慮、歸納的優(yōu)異思想習慣和合作與交流的能力感神態(tài)度與價值觀：經(jīng)過觀察、交流、歸納等學習活動，感覺合作交流的學習方式，增強學生學習數(shù)學的信心.授課重點與難點：重點是掌握切割幾何圖形求面積的方法，難點是求函數(shù)解析式中自變量的取值范圍.授課用具：直尺、多媒體授課內(nèi)容：一、引入

.在平面直角坐標系中，一次函數(shù)和反比率函數(shù)內(nèi)容豐富、涉及的數(shù)學知識很多，是初中函數(shù)的重要內(nèi)容之一．特別是與函數(shù)圖象相關(guān)的面積問題，已成為近來幾年中考園中一支嬌艷的奇葩．下面舉例說明．二、例題例1、如圖1中正比率函數(shù)和反比率函數(shù)的圖象訂交于A、B兩點，分別以A、B兩點為圓心，畫與y軸相切的兩個圓，若點A的坐標為（1，2），求圖中兩個陰影面積的和.解析：由反比率函數(shù)的對稱性可求點B的坐標,可得兩部分陰影圖形和正好拼接為一個圓,再由坐標軸與圓相切可求得兩圓的半徑,從而求得陰影的面積.解：∵⊙A與y軸相切，且坐標為（1，2），∴⊙A的半徑等于1.又∵反比率函數(shù)函數(shù)關(guān)于原點中心對稱,∴點B坐標為（-1，-2），兩陰影的面積和為一個圓的面積.圖1∴S陰影12.設(shè)計妄圖：讓學生認識到求解與反比率函數(shù)圖象相關(guān)的面積問題時,平時都要用到反比率函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱這一特點.別的,領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想是解決和函數(shù)相關(guān)問題的常用方法.例2、已知：如圖，直線1與x軸交于點A，與yyx2P(x,y)在直線yx6上運動，且x0,y0.2軸交于點B，點（求四邊形AOBP的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．解析：此題要求四邊形的面積，可以用△O的面積與△O的面積之和來表AOBPSAPBP1示，還可以過P點作x軸或y軸的垂線，將這個不規(guī)則的四邊形拆成一個梯形和一個直角2y=xy2三角形的和或差的方法來解決．求自變量x的取值范圍時應(yīng)注意結(jié)合函數(shù)圖象思慮．OA解：解法一：連接OP．x∵直線y1x2與x軸、y軸分別交于點A、B，B2P∴A(4，0)，B(0，-2)．y=x6設(shè)P(x,y)，x0,y0，SSVOBPSVOAP1OBx1OAy2211x12．2x4(x6)2x0,y0，即x60，∴x6．∴自變量x的取值范圍是0x6．解法二：設(shè)yx6交x軸于M(6，0)，交y軸于N(0，6)，則SSVMONSVBNPSVAMP．解法三：作PGx軸于G，則SS梯形PBOGSVPGA．解法四：作PQy軸于Q，則SS梯形PQOASVPBQ．設(shè)計妄圖：經(jīng)過解此題讓學生領(lǐng)悟在平面直角坐標系中碰上面積問題時，搜尋解決問題的打破口時經(jīng)常要利用點的坐標所起的作用,方法多是采用“靠軸”切割圖形求面積的方法．例3、已知直線yx2與x軸、y軸分別交于點A和點，另素來線ykxb(k0)經(jīng)過點C(1，0)，且把△AOBB分成兩部分．(1)若△AOB被分成的兩部分面積相等，求k和b的值；(2)若△AOB被分成的兩部分面積比為1：5，求k和b的值．解析：直線ykxb與x軸的交點坐標是(b,0)，與y軸的交點坐標是(0，b)，因此可得A(2，0)，B(0，2)．(1)中kC是OA的中點．（如圖），因此可知BC將△AOB分成的兩部分面積相等，設(shè)直線BC的解析式為ykx2，代入點C的坐標即可；(2)中應(yīng)注意對可能出現(xiàn)的情況進行分類談?wù)摚猓?1)直線yx2與x軸交點A(2，0)，與y軸交點B(0，2)，∵直線BC經(jīng)過B(0，2)，C(1，0),∴b2,∴b2,kb0.k2.經(jīng)過B、C兩點的直線解析式為y2x2．∴因此k2,b2．(2)設(shè)yyyykxb與y軸交2B2B2B于M(0，h)，△AOB被分成的兩1M1N1部分面積比為1：5，1222∴SVOMCSVAOB．0C(1,0)0C(1,0)0AxAxC(1,0)Ax6∴1×1×h=1×1×2622×2，可得h=2．3M0,2．3經(jīng)過點M作直線MN∥OA，交AB于Na,2．3∴SVOMCSVCAN．∵Na,2在直線yx2上，3a=4，因此N4,2．333∴ykxb經(jīng)過M0,2、C(1，0)或N4,2、C(1，0)．333k12,k22,解得3或2;b22.b13點撥：C(1，0)恰為OA邊的中點，為應(yīng)用“三角形的中線均分面積”供應(yīng)了條件，“等底同（等）高的兩個三角形面積相等”，“平行線間距離各處相等”都是求解和面積相關(guān)問題常用的知識．例4、已知

△ABC中，

AB

AC

3,

BAC

90

，點

D為BC上一點，把一個足夠大的直角三角板的直角極點放在

D處．（1）如圖1-1，若

BD

CD，將三角板繞點

D逆時針旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊分別交

AB、AC于點

E、點

F

，求出重疊部分的面積（直接寫出結(jié)果）（2）如圖

1-2，若

BD

CD，將三角板繞點

D逆時針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交

AB于點

E、另一條直角邊交

AB的延長線于點F

，設(shè)

AE

x，兩塊三角板重疊部分的面積為

y，求出

y與

x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量

x的取值范圍；（3）若

BD

2CD，將三角板繞點

D逆時針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交

AC于點

F

，另一條直角邊交射線

AB于點

E，設(shè)CF

x(x

1)，兩塊三角板重疊部分的面積為

y，求出

y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量

x的取值范圍．圖1-1圖1-2解析:解此題重點是用含有x的代數(shù)式表示三角形的底和相應(yīng)的高，別的第（3）問中條件“使一條直角邊交AC于點F，另一條直角邊交射線AB于點E”應(yīng)分兩種情況分類談?wù)摚孩?x2,②2x3．解:(1)S四邊形AEDF9．4如圖1-3,過點D作DM⊥AB于M．∵ABAC3,BAC90，∴BC2AB32．∵BDCD，圖1-3∴BD1BC32．22∴y1BEDM1BEBDsin451(3x)33(3x)(0x3)．22224(3)(i)如圖1-4,連接AD,過D點分別作AB、AC的垂線，垂足分別為M、N．∵ABAC3,BAC90，∴BC2AB32．BD2CD，∴BD22,CD2．圖1-4∴DNDCsinC2221，DMBDsinB222．22易證12．∵∠DME=∠DNF=90°，∴△DME∽△DNF．MEDM．FNDN∵CFx(x1)，圖1-5∴ME2FN2(x1)．∴ySVADESVADF11)2131(2x(3x)1x(1x2)．2222(ii)如圖1-5,過D點作AC的垂線，垂足為N．ySVABCSVCDF91x191x(2x3)．22223x1(1x2),∴y2291x(2x3).22三、練習1．函數(shù)ykx(k0)與y2的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直于y軸，垂足為C，則△BOC的面積為多少？x2．求直線y2x4和直線y2x6與y軸圍成的三角形的面積.3．直線y2x8交x軸，y軸于A、B，直線l過原點交AB于點C，分△AOB的面積為1∶3兩部分，求直線l的解析式.4.如圖，點B在直線yx1上，且點B在第四象限，點A(2,0)、O(0,0),△ABO的面y積為2，求點B的坐標.3X5.直線與x軸，yyx1AB,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作3軸分別交點、y等腰直角△ABC,AB=2,∠BAC=90度,點P(a,1)在第二象限，△ABP面積與△ABC面積相等，X2求a的值.O簡要答案：2.25．y6x或y2a33x4.（3,2）5.4.232四、總結(jié)本節(jié)課要修業(yè)生掌握兩種基本技術(shù)：（1）會應(yīng)用函數(shù)思想表示和求解幾何圖形的面積；（2）已知面積(比)求函數(shù)關(guān)系式中的待定系數(shù).在授課中讓學生經(jīng)歷觀察、交流、計算等過程，多著手動腦動口，公布自己的見解，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合、分類談?wù)?、和轉(zhuǎn)變思想的數(shù)學思想.建議例題由教師引導學生完成，練習題學生盡可能獨立完成，必要時也可以小組合作完成，最后教師引導學生進行歸納總結(jié).五、課后反思與函數(shù)相關(guān)的面積問題是觀察學生綜合素質(zhì)和能力的熱點題型，它充分表現(xiàn)了數(shù)學解題中的數(shù)形結(jié)合思想，整體思想和轉(zhuǎn)化思想，求解這類問題的重點是掌握切割幾何圖形求面積的方法，難點是求函數(shù)解析式中自變量的取值范圍．例

4中第（3）問