2020-2021學年北京市101中學高二（上）期末數學試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學年北京市101中學高二（上）期末數學試卷一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1．（5分）將2封不同的信投入3個不同的信箱，不同的投法種數為（）A． B． C．32 D．232．（5分）已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同，現需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率（）A． B． C． D．3．（5分）若直線2x﹣y﹣4＝0在x軸和y軸上的截距分別為a和b，則a﹣b的值為（）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣64．（5分）若直線y＝kx+1與圓x2+y2＝1相交于P、Q兩點，且∠POQ＝90°（其中O為原點），則k的值為（）A． B．1 C．或 D．﹣1或15．（5分）將標號為1，2，3，4，5的五個小球放入三個不同的盒子中，每個盒子至少放一個小球，則不同的放法總數為（）A．150 B．300 C．60 D．906．（5分）的展開式中的常數項為（）A．32 B．34 C．36 D．387．（5分）過三點A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|＝（）A．2 B．8 C．4 D．108．（5分）雙曲線的右焦點為F，點P在雙曲線C的一條漸近線上．O為坐標原點，則下列說法錯誤的是（）A．該雙曲線離心率為 B．雙曲線與雙曲線C的漸近線相同 C．若PO⊥PF，則△PFO的面積為 D．|PF|的最小值為9．（5分）某省新高考方案規(guī)定的選科要求為：學生先從物理、歷史兩科中任選一科，再從化學、生物、政治、地理四門學科中任選兩科．現有甲、乙兩名學生按上面規(guī)定選科，則甲、乙恰有一門學科相同的選科方法有（）A．24種 B．30種 C．48種 D．60種10．（5分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0），點M，N，F分別為橢圓C的左頂點、上頂點、左焦點，若∠MFN＝∠NMF+90°，則橢圓C的離心率是（）A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）如果橢圓的離心率為，那么雙曲線的離心率為．12．（5分）已知直線l1：4x﹣3y+6＝0和直線l2：x＝﹣1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是．13．（5分）如圖所示，已知一個系統(tǒng)由甲、乙、丙、丁4個部件組成，當甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作時，系統(tǒng)就能正常工作．若每個部件的可靠性均為r（0＜r＜1），而且甲、乙、丙、丁互不影響，則系統(tǒng)的可靠度為．14．（5分）甲、乙兩人對同一目標各射擊一次，甲命中的概率為，乙命中的概率為，且他們的結果互不影響，若命中目標的人數為ξ，則E（ξ）＝．15．（5分）已知點A（2，4）在拋物線y2＝2px（p＞0）上，直線l交拋物線于B，C兩點，且直線AC與AB都是圓N：x2+y2﹣4x+3＝0的切線，則B，C兩點縱坐標之和是，直線l的方程為．三、解答題共5小題，共45分。解答題應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（10分）從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（Ⅰ）設X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望；（Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．17．（10分）已知橢圓，過點（0，﹣1），離心率．（1）求橢圓的標準方程；（2）過右焦點F的直線l與橢圓交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0），設直線AM和BM的斜率分別為kAM和kBM，求kAM+kBM的值．18．（10分）某不透明紙箱中共有4個小球，其中1個白球，3個紅球，它們除了顏色外均相同．（1）一次從紙箱中摸出兩個小球，求恰好摸出2個紅球的概率；（2）每次從紙箱中摸出一個小球，記錄顏色后放回紙箱，這樣摸取4次，記取到紅球的次數為ξ，求ξ的分布列；（3）每次從紙箱中摸取一個小球，記錄顏色后放回紙箱，這樣摸取20次，取得幾次紅球的概率最大？（只需寫出結論）．19．（10分）設橢圓為左、右焦點，B為短軸端點，長軸長為4，焦距為2c，且b＞c，△BF1F2的面積為．（Ⅰ）求橢圓C的方程（Ⅱ）設動直線l：y＝kx+m橢圓C有且僅有一個公共點M，且與直線x＝4相交于點N．試探究：在坐標平面內是否存在定點P，使得以MN為直徑的圓恒過點P？若存在求出點P的坐標，若不存在．請說明理由．20．（5分）（1）設i為虛數單位，則的實部為．（2）計算：＝．

2020-2021學年北京市101中學高二（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1．（5分）將2封不同的信投入3個不同的信箱，不同的投法種數為（）A． B． C．32 D．23【分析】直接利用分步原理的應用求出結果．【解答】解：根據分步原理的應用，所以：第一封信的投法有3種，第二封信的投法有3種，故一共有3×3＝32種投法．故選：C．【點評】本題考查的知識要點：分步原理的應用，主要考查學生的運算能力和思維能力，屬于基礎題型．2．（5分）已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同，現需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率（）A． B． C． D．【分析】利用條件概率公式，設“第一次拿到白球”為事件A，“第二次拿到紅球”為事件B，分別求出P（A），P（AB），根據條件概率公式求得即可．【解答】解：設“第一次拿到白球”為事件A，“第二次拿到紅球”為事件B∴P（A）＝，P（A?B）＝則所求概率為P（B|A）＝＝故選：B．【點評】本題主要考查條件概率的求法，熟練掌握條件概率的概率公式是關鍵．3．（5分）若直線2x﹣y﹣4＝0在x軸和y軸上的截距分別為a和b，則a﹣b的值為（）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣6【分析】先將直線的方程化成截距式，結合在x軸和y軸上的截距分別為a和b，即可求出a，b的值，問題得以解決．【解答】解：直線2x﹣y﹣4＝0化為截距式為+＝1，∴a＝2，b＝﹣4，∴a﹣b＝2﹣（﹣4）＝6，故選：A．【點評】本題考查直線的截距式，直線的一般式方程，考查計算能力，是基礎題．4．（5分）若直線y＝kx+1與圓x2+y2＝1相交于P、Q兩點，且∠POQ＝90°（其中O為原點），則k的值為（）A． B．1 C．或 D．﹣1或1【分析】由題意，根據直線經過定點（0，1），可得P、Q中有一個點的坐標為（0，1），故另一個點的坐標為（1，0）或（﹣1，0），由此求得直線的斜率k的值．【解答】解：直線y＝kx+1與圓x2+y2＝1相交于P、Q兩點，且∠POQ＝90°（其中O為原點），直線經過定點（0，1），故P、Q中有一個點的坐標為（0，1），故另一個點的坐標為（1，0）或（﹣1，0），故直線的斜率k＝1或k＝﹣1，故選：D．【點評】本題主要考查直線經過定點問題、直線和圓的位置關系，直線的斜率公式，屬于基礎題．5．（5分）將標號為1，2，3，4，5的五個小球放入三個不同的盒子中，每個盒子至少放一個小球，則不同的放法總數為（）A．150 B．300 C．60 D．90【分析】根據題意，分2步進行分析：①將5個小球分成3組，②將分好的三組放入三個不同的盒子中，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①將5個小球分成3組，若分為1、2、2的三組，有＝15種分組方法，若分為1、1、3的3組，有C53＝10種分組方法，則有15+10＝25種分組方法，②將分好的三組放入三個不同的盒子中，有A33＝6種情況，則有25×6＝150種放法，故選：A．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．6．（5分）的展開式中的常數項為（）A．32 B．34 C．36 D．38【分析】利用二項展開式的通項公式分別求出和的展開式中的常數項，從而可得結論．【解答】解：的展開式的通項公式為Tr+1＝（x3）4﹣r＝（﹣2）rx12﹣4r，令12﹣4r＝0，可得r＝3，所以的展開式的常數項為（﹣2）3＝﹣32，的展開式的通項公式為Tk+1＝x8﹣k＝x8﹣2k，令8﹣2k＝0，可得k＝4，所以的展開式的常數項為＝70，所以的展開式中的常數項為﹣32+70＝38．故選：D．【點評】本題主要考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式及特定項的求法，屬于中檔題．7．（5分）過三點A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|＝（）A．2 B．8 C．4 D．10【分析】設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代入點的坐標，求出D，E，F，令x＝0，即可得出結論．【解答】解：設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，則，∴D＝﹣2，E＝4，F＝﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0，令x＝0，可得y2+4y﹣20＝0，∴y＝﹣2±2，∴|MN|＝4．故選：C．【點評】本題考查圓的方程，考查學生的計算能力，確定圓的方程是關鍵．8．（5分）雙曲線的右焦點為F，點P在雙曲線C的一條漸近線上．O為坐標原點，則下列說法錯誤的是（）A．該雙曲線離心率為 B．雙曲線與雙曲線C的漸近線相同 C．若PO⊥PF，則△PFO的面積為 D．|PF|的最小值為【分析】先根據雙曲線的方程，寫出a，b，c的值，再判斷選項A和B中涉及的雙曲線幾何性質；不妨取點P在漸近線y＝x上，利用點到直線的距離公式求出|PF|的長，可判斷選項D；結合勾股定理和三角形的面積公式可判斷選項C．【解答】解：由題意知，a＝2，b＝，∴c＝＝，F（，0），∴離心率e＝＝，即選項A正確；雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，而雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即選項B錯誤；不妨取點P在漸近線y＝x上，∵PO⊥PF，∴|PF|＝＝，∴|PO|＝＝＝2，∴△PFO的面積為S＝|PO|?|PF|＝＝，即選項C正確；當PF垂直漸近線時，|PF|最小，由上可知，|PF|min＝，即選項D正確．故選：B．【點評】本題考查雙曲線的方程和幾何性質，主要包含漸近線方程和離心率，還涉及點到直線的距離公式，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．9．（5分）某省新高考方案規(guī)定的選科要求為：學生先從物理、歷史兩科中任選一科，再從化學、生物、政治、地理四門學科中任選兩科．現有甲、乙兩名學生按上面規(guī)定選科，則甲、乙恰有一門學科相同的選科方法有（）A．24種 B．30種 C．48種 D．60種【分析】以甲，乙所選相同學科是否在物理、歷史兩科中分為兩類，每類中由排列組合公式和基本原理可求．【解答】解：分為兩類，第一類物理、歷史兩科中是相同學科，則有C21C42C22＝12種選法；第二類物理、歷史兩科中沒相同學科，則有A22C41A32＝48種選法，所以甲、乙二人恰有一門學科相同的選法有12+48＝60種，故選：D．【點評】本題考查排列組合與基本原理的應用，屬于基礎題．10．（5分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0），點M，N，F分別為橢圓C的左頂點、上頂點、左焦點，若∠MFN＝∠NMF+90°，則橢圓C的離心率是（）A． B． C． D．【分析】由題意畫出圖形，結合已知可得a，b，c的關系，進一步結合隱含條件可得關于離心率e的方程求解．【解答】解：如圖，tan∠NMF＝，tan∠NFO＝，∵∠MFN＝∠NMF+90°，∴∠NFO＝180°﹣MFN＝90°﹣∠NMF，即tan∠NFO＝，∴，則b2＝a2﹣c2＝ac，∴e2+e﹣1＝0，得e＝．故選：A．【點評】本題考查橢圓的簡單性質，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）如果橢圓的離心率為，那么雙曲線的離心率為．【分析】橢圓的離心率e＝，雙曲線的離心率e'＝，進行運算即可得解．【解答】解：因為橢圓的離心率e＝＝＝，所以＝，所以雙曲線的離心率e'＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查橢圓與雙曲線的離心率，掌握這兩種圓錐曲線中a、b、c的關系，以及離心率的定義是解題的關鍵，屬于基礎題．12．（5分）已知直線l1：4x﹣3y+6＝0和直線l2：x＝﹣1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是2．【分析】設出拋物線上一點P的坐標，然后利用點到直線的距離公式分別求出P到直線l1和直線l2的距離d1和d2，求出d1+d2，利用二次函數求最值的方法即可求出距離之和的最小值．【解答】解：設拋物線上的一點P的坐標為（a2，2a），則P到直線l2：x＝﹣1的距離d2＝a2+1；P到直線l1：4x﹣3y+6＝0的距離d1＝，則d1+d2＝+a2+1＝，當a＝時，P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2故答案為2【點評】此題考查學生靈活運用拋物線的簡單性質解決實際問題，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，是一道中檔題．13．（5分）如圖所示，已知一個系統(tǒng)由甲、乙、丙、丁4個部件組成，當甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作時，系統(tǒng)就能正常工作．若每個部件的可靠性均為r（0＜r＜1），而且甲、乙、丙、丁互不影響，則系統(tǒng)的可靠度為2r2﹣r4．【分析】記甲、乙都正常工作為事件A，記丙、丁都正常工作為事件B，計算出P（A），P（B），利用對立事件的概率公式可求得系統(tǒng)的可靠度．【解答】解：記甲、乙都正常工作為事件A，記丙、丁都正常工作為事件B，則P（A）＝P（B）＝r2，當且僅當事件A或事件B發(fā)生時，系統(tǒng)正常工作，當且僅當事件A和事件B都不發(fā)生時，系統(tǒng)不工作，因此，系統(tǒng)的可靠度為P＝＝2r2﹣r4．故答案為：2r2﹣r4．【點評】本題考查了事件概率的計算，解題的關鍵時確定事件“系統(tǒng)正常運行”的對立事件時“兩條線路都不工作”，屬于基礎題．14．（5分）甲、乙兩人對同一目標各射擊一次，甲命中的概率為，乙命中的概率為，且他們的結果互不影響，若命中目標的人數為ξ，則E（ξ）＝．【分析】求出ξ的可能取值，然后求出對應的概率即可求解．【解答】解：ξ的可能取值為0，1，2，則P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，所以E（ξ）＝0×，故答案為：．【點評】本題考查了離散型隨機變量的期望，考查了學生的運算能力，屬于中檔題．15．（5分）已知點A（2，4）在拋物線y2＝2px（p＞0）上，直線l交拋物線于B，C兩點，且直線AC與AB都是圓N：x2+y2﹣4x+3＝0的切線，則B，C兩點縱坐標之和是﹣8，直線l的方程為15x+15y+22＝0．【分析】將A的坐標代入拋物線的方程求得p，可得拋物線的方程，求得圓N的圓心和半徑，由直線和圓相切的條件可得切線的斜率，聯立切線方程和拋物線的方程求得B，C的縱坐標，可得所求和；由點斜式方程可得所求直線l的方程．【解答】解：點A（2，4）在拋物線y2＝2px（p＞0）上，可得16＝4p，即p＝4，拋物線的方程為y2＝8x，若切線的斜率不存在可得切線方程為x＝2，不成立；設切線的方程為y＝k（x﹣2）+4，圓N：x2+y2﹣4x+3＝0的圓心N（2，0），半徑為1，由直線和圓相切的條件可得＝1，解得k＝±，由可得y2﹣8y+32﹣16＝0，則4+yB＝，即有yB＝﹣4+，同理可得yC＝﹣4﹣，所以B，C兩點縱坐標之和是﹣8；則直線l的斜率為＝＝＝＝﹣1，則直線l的方程為y﹣yB＝﹣（x﹣xB），由xB+yB＝+yB＝（﹣4+）2+（﹣4+）＝﹣，所以直線l的方程為15x+15y+22＝0．故答案為：﹣8，15x+15y+22＝0．【點評】本題考查拋物線的方程和性質，以及直線和圓、直線和拋物線的位置關系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．三、解答題共5小題，共45分。解答題應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（10分）從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（Ⅰ）設X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望；（Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．【分析】（Ⅰ）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，求出對應的概率值，寫出它的分布列，計算數學期望值；（Ⅱ）利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式計算所求事件的概率值．【解答】解：（Ⅰ）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3；則P（X＝0）＝（1﹣）×（1﹣）（1﹣）＝，P（X＝1）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，P（X＝2）＝（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）＝，P（X＝3）＝××＝；所以，隨機變量X的分布列為X0123P隨機變量X的數學期望為E（X）＝0×+1×+2×+3×＝；（Ⅱ）設Y表示第一輛車遇到紅燈的個數，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數，則所求事件的概率為P（Y+Z＝1）＝P（Y＝0，Z＝1）+P（Y＝1，Z＝0）＝P（Y＝0）?P（Z＝1）+P（Y＝1）?P（Z＝0）＝×+×＝；所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為．【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是中檔題．17．（10分）已知橢圓，過點（0，﹣1），離心率．（1）求橢圓的標準方程；（2）過右焦點F的直線l與橢圓交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0），設直線AM和BM的斜率分別為kAM和kBM，求kAM+kBM的值．【分析】（1）由題意知，，解之即可；（2）分直線l的斜率為0和不為0兩種情況討論，當kl＝0時，易知kAM＝kBM＝0；當kl≠0時，設其方程為x＝ty+1，并將之與橢圓的方程聯立，然后結合韋達定理和直線的斜率公式，即可得解．【解答】解：（1）由題意知，，解得a＝，b＝1，∴橢圓的標準方程為＝1．（2）①當直線l的斜率為0時，kAM＝kBM＝0，∴kAM+kBM＝0；②當直線l的斜率不為0時，設其方程為x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯立，得（t2+2）y2+2ty﹣1＝0，∴，∴kAM+kBM＝+＝＝＝＝0，綜上所述，kAM+kBM＝0．【點評】本題考查直線與橢圓的位置關系中的定值問題，考查學生的分類討論思想、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．18．（10分）某不透明紙箱中共有4個小球，其中1個白球，3個紅球，它們除了顏色外均相同．（1）一次從紙箱中摸出兩個小球，求恰好摸出2個紅球的概率；（2）每次從紙箱中摸出一個小球，記錄顏色后放回紙箱，這樣摸取4次，記取到紅球的次數為ξ，求ξ的分布列；（3）每次從紙箱中摸取一個小球，記錄顏色后放回紙箱，這樣摸取20次，取得幾次紅球的概率最大？（只需寫出結論）．【分析】（1）設“一次從紙箱中摸出兩個小球，恰好摸出2個紅球”為事件A，由組合數公式求出從4個球中摸出2個以及兩個球都是紅球的取法數目，由古典概型的計算公式計算可得答案；（2）根據題意，分析可得ξ可能取0，1，2，3，4；求出變量ξ對應的概率，據此求出其分布列即可得答案；（3）根據題意，分析取出紅球的數目的期望值，分析可得答案．【解答】解：（1）設“一次從紙箱中摸出兩個小球，恰好摸出2個紅球”為事件A，則從4個球中摸出2個，有C42種取法，都是紅球的取法有C32種，則P（A）＝＝．（2）ξ可能取0，1，2，3，4，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝．所以ξ的分布列為ξ01234P（3）根據題意，紙箱中共有4個小球，其中1個白球，3個紅球，每次從紙箱中摸出一個小球，取出紅球的概率為，若連續(xù)摸取20次，摸到紅球次數的期望為20×＝15，則摸到15次紅球的概率最大．【點評】本題主要考查隨機變量的分布列的計算，涉及隨機事件的概率計算以及隨機變量期望的意義，屬于綜合題．19．（10分）設橢圓為左、右焦點，B為短軸端點，長軸長為4，焦距為2c，且b＞c，△BF1F2的面積為．（Ⅰ）求橢圓C的方程（Ⅱ）設動直線l：y＝kx+m橢圓C有且僅有一個公共點M，且與直線x＝4相交于點N．試探究：在坐標平面內是否存在定點P，使得以MN為直徑的圓恒過點P？若存在求出點P的坐標，若不存在．請說明理由．【分析】（Ⅰ）由橢圓長軸長為4，焦距為2c，且b＞c，△BF1F2的面積為，列出方程組，求出a，b，c，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）由，得（4k2+3）