2020-2021學(xué)年北京市清華附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京市清華附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）已知i是虛數(shù)單位，＝（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1+i D．﹣1﹣i2．（4分）在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．33．（4分）如圖所示，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，則＝（）A．﹣ B．﹣+ C．﹣﹣ D．+4．（4分）已知函數(shù)，則（）A．y'＝ex B． C． D．5．（4分）已知，是平面向量，“是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（4分）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，記a＝2f'（2），b＝2f'（4），c＝f（4）﹣f（2），則a，b，c數(shù)值排序正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a(chǎn)＜c＜b7．（4分）已知平面向量，滿足，，＜，＞＝120°，則＝（）A．2 B． C．4 D．128．（4分）如圖，AD是某防汛抗洪大壩的坡面，大壩上有一高為20米的監(jiān)測塔BD，∠C＝90°．若某科研小組在壩底A點(diǎn)測得∠BAD＝30°，壩底至塔頂距離AB＝30米，則大壩的坡角（∠DAC）的余弦值為（）A． B． C． D．9．（4分）在R上可導(dǎo)的函數(shù)f（x）的圖形如圖所示，則關(guān)于x的不等式x?f′（x）＜0的解集為（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）10．（4分）已知O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且，則的最大值為（）A． B． C． D．4二、填空題：（共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）若復(fù)數(shù)（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝．12．（5分）已知，，．若，則實(shí)數(shù)λ的值為．13．（5分）小明用A＝（a1，a2，?，a30）記錄2020年4月份30天中每天乘坐公交車是否半小時內(nèi)到家，方法為：當(dāng)?shù)趉天半小時內(nèi)到家時，記ak＝1，當(dāng)?shù)趉天不能半小時內(nèi)到家時，記ak＝﹣1（1≤k≤30）；用B＝（b1，b2，?，b30）記錄某交通軟件預(yù)測該月每天乘坐公交車是否半小時內(nèi)到家，方法為：當(dāng)預(yù)測第k天半小時內(nèi)到家時，記bk＝1，當(dāng)預(yù)測第k天不能半小時內(nèi)到家時，記bk＝﹣1（1≤k≤30）；記錄完畢后，小明計(jì)算出A?B＝22，其中A?B＝a1b1+a2b2+?+a30b30，那么該交通軟件預(yù)測準(zhǔn)確的總天數(shù)是．14．（5分）若函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．15．（5分）定義域?yàn)镽的函數(shù)y＝f（x），如果存在x0∈R，使得f（x）在（﹣∞，x0]上單調(diào)遞增，在[x0，+∞）上單調(diào)遞減，則稱f（x）為單峰函數(shù)．那么下列函數(shù)是單峰函數(shù)的有．①y＝2x﹣ex；②；③；④y＝x3（1﹣3x+3x2﹣x3）．三、解答題：（共6小題，共85分）16．已知，，是同一平面內(nèi)的三個向量，，．（Ⅰ）若與的方向相反，求的坐標(biāo)；（Ⅱ）若，求與的夾角θ．17．已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值和最小值，并求取得最值時相應(yīng)的x的值．18．已知函數(shù)f（x）＝x3+x2﹣x+1．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅲ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象與直線y＝a僅有一個公共點(diǎn)，直接寫出實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．如圖，在四邊形ABCD中，CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．20．已知函數(shù)f（x）＝x+b﹣alnx在x＝1處的極值為2，其中a＞0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）對任意的x∈[1，+∞），證明恒有x[2﹣f（x）]≤x2﹣2x+1．21．對任意給定的不小于3的正整數(shù)n，n元集合A＝{a1，a2，?，an}，B＝{b1，b2，?，bn}均為正整數(shù)集的子集，若滿足：①a1+a2+?+an＝b1+b2+?+bn，②a12+a22+?+an2＝b12+b22+?+bn2，③A∩B＝?，則稱A，B互為等矩集．（Ⅰ）若集合A＝{1，5，6}與B＝{2，x，y}互為等矩集，求x，y的值；（Ⅱ）證明：如果集合A＝{a1，a2，?，an}，B＝{b1，b2，?，bn}互為等矩集，那么對于任意的k∈N*，集合A'＝{a1+k，a2+k，?，an+k}，B'＝{b1+k，b2+k，?，bn+k}也互為等矩集；（Ⅲ）對于任意給定的正整數(shù)n≥4，是否存在兩個n元正整數(shù)集A，B互為等矩集？請說明理由．

2020-2021學(xué)年北京市清華附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）已知i是虛數(shù)單位，＝（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1+i D．﹣1﹣i【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．2．（4分）在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．3【分析】由已知利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：因?yàn)锳C＝2，BC＝3，C＝60°，所以△ABC的面積S＝CB?CA?sinC＝3×2×＝．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）如圖所示，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，則＝（）A．﹣ B．﹣+ C．﹣﹣ D．+【分析】由D為AB的中點(diǎn)，可得＝，再利用三角形法則求解．【解答】解：∵在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，∴＝＝﹣＝﹣＝﹣，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量的基本定理，是基礎(chǔ)題．4．（4分）已知函數(shù)，則（）A．y'＝ex B． C． D．【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：，則＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）已知，是平面向量，“是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】求出||＝|+|的充要條件，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若||＝|+|，則＝+2?+，∴2||?||?cos＜，＞+＝0，∴2||?cos＜，＞+||＝0或||＝0，∴||＝|+|是||＝0的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6．（4分）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，記a＝2f'（2），b＝2f'（4），c＝f（4）﹣f（2），則a，b，c數(shù)值排序正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a(chǎn)＜c＜b【分析】結(jié)合圖像判斷直線的斜率的大小，判斷a，b，c的大小即可．【解答】解：結(jié)合圖像：f′（2）＜＜f′（4），故2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4），即a＜c＜b，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了直線的斜率問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7．（4分）已知平面向量，滿足，，＜，＞＝120°，則＝（）A．2 B． C．4 D．12【分析】利用向量的模的運(yùn)算法則，結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：平面向量，滿足，，＜，＞＝120°，則＝＝＝2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積以及向量的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．8．（4分）如圖，AD是某防汛抗洪大壩的坡面，大壩上有一高為20米的監(jiān)測塔BD，∠C＝90°．若某科研小組在壩底A點(diǎn)測得∠BAD＝30°，壩底至塔頂距離AB＝30米，則大壩的坡角（∠DAC）的余弦值為（）A． B． C． D．【分析】△ABD中利用正弦定理求得sin∠ADB的值，根據(jù)∠ADB＝90°+∠DAC即可求出cos∠DAC的值．【解答】解：因?yàn)椤螧AD＝30°，AB＝30，BD＝20，在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝；由∠ADB＝∠C+∠DAC＝90°+∠DAC，所以sin∠ADB＝sin（90°+∠DAC）＝cos∠DAC＝，所以大壩的坡角（∠DAC）的余弦值為．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．（4分）在R上可導(dǎo)的函數(shù)f（x）的圖形如圖所示，則關(guān)于x的不等式x?f′（x）＜0的解集為（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【分析】討論x的符號，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：若x＝0時，不等式x?f′（x）＜0不成立．若x＞0，則不等式x?f′（x）＜0等價為f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，由圖象可知，此時0＜x＜1．若x＜0，則不等式x?f′（x）＜0等價為f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由圖象可知，此時x＜﹣1．，故不等式x?f′（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．10．（4分）已知O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且，則的最大值為（）A． B． C． D．4【分析】由向量加減運(yùn)算幾何意義可解決此題．【解答】解：∵，∴⊥，又∵|OA|＝|OB|＝1，∴|+|＝．|+|＝|﹣+﹣|＝|+﹣（+）|，當(dāng)、與+反向時，|+|取得最大值2+，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查向量加減法運(yùn)算幾何意義、向量模、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：（共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）若復(fù)數(shù)（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝2．【分析】利用復(fù)數(shù)Z＝a+bi為純虛數(shù)的條件a＝0，b≠0可得關(guān)于a的方程組，解方程可求結(jié)果，舍去不合題意的結(jié)果即可．【解答】解：∵復(fù)數(shù)（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是純虛數(shù)，所以即得a＝2故答案為：2【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念，本題解題的關(guān)鍵是復(fù)數(shù)Z＝a+bi為純虛數(shù)的條件a＝0，b≠0，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知，，．若，則實(shí)數(shù)λ的值為﹣1．【分析】可求出，然后根據(jù)即可得出2（λ+3）﹣（3﹣λ）＝0，然后解出λ的值即可．【解答】解：∵，，且，∴2（λ+3）﹣（3﹣λ）＝0，解得λ＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）小明用A＝（a1，a2，?，a30）記錄2020年4月份30天中每天乘坐公交車是否半小時內(nèi)到家，方法為：當(dāng)?shù)趉天半小時內(nèi)到家時，記ak＝1，當(dāng)?shù)趉天不能半小時內(nèi)到家時，記ak＝﹣1（1≤k≤30）；用B＝（b1，b2，?，b30）記錄某交通軟件預(yù)測該月每天乘坐公交車是否半小時內(nèi)到家，方法為：當(dāng)預(yù)測第k天半小時內(nèi)到家時，記bk＝1，當(dāng)預(yù)測第k天不能半小時內(nèi)到家時，記bk＝﹣1（1≤k≤30）；記錄完畢后，小明計(jì)算出A?B＝22，其中A?B＝a1b1+a2b2+?+a30b30，那么該交通軟件預(yù)測準(zhǔn)確的總天數(shù)是26．【分析】由題意可得，若akbk＝1（1≤k≤30），則表示第k天預(yù)報正確，若akbk＝﹣1（1≤k≤30），則表示第k天預(yù)報不正確，假設(shè)其中有x天預(yù)報正確，則有30﹣x天預(yù)報不正確，把A?B＝a1b1+a2b2+?+a30b30＝22轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程求解．【解答】解：依題意，若akbk＝1（1≤k≤30），則表示第k天預(yù)報正確，若akbk＝﹣1（1≤k≤30），則表示第k天預(yù)報不正確，由A?B＝a1b1+a2b2+?+a30b30＝22，假設(shè)其中有x天預(yù)報正確，則等式左邊有x個1，30﹣x個（﹣1），則x+（30﹣x）×（﹣1）＝22，解得x＝26．∴該交通軟件預(yù)測準(zhǔn)確的總天數(shù)是26．故答案為：26．【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，考查運(yùn)算求解能力，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．14．（5分）若函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，e]．【分析】求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤x2ex，令g（x）＝x2ex，x∈[1，2]，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的取值范圍即可．【解答】解：∵，x∈[1，2]，∴f′（x）＝ex﹣，∵f（x）在[1，2]單調(diào)遞增，∴f′（x）≥0在x∈[1，2]恒成立，即ex﹣≥0恒成立，即a≤x2ex，令g（x）＝x2ex，x∈[1，2]，則g′（x）＝（x2+2x）ex＞0在[1，2]上恒成立，∴g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，∴g（x）min＝g（1）＝e，故a≤e，故答案為：（﹣∞，e]．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是中檔題．15．（5分）定義域?yàn)镽的函數(shù)y＝f（x），如果存在x0∈R，使得f（x）在（﹣∞，x0]上單調(diào)遞增，在[x0，+∞）上單調(diào)遞減，則稱f（x）為單峰函數(shù)．那么下列函數(shù)是單峰函數(shù)的有①④．①y＝2x﹣ex；②；③；④y＝x3（1﹣3x+3x2﹣x3）．【分析】依題意，可知單峰函數(shù)只有一個極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，依次對①②③④四個選項(xiàng)逐一分析即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，單峰函數(shù)的概念可知，若f（x）為單峰函數(shù)，則它只有一個極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，對于①y＝2x﹣ex，其導(dǎo)數(shù)為y′＝2﹣ex，在區(qū)間（﹣∞，ln2），y′＞0，函數(shù)為增函數(shù)，在區(qū)間（ln2，+∞）上，y′＜0，函數(shù)為減函數(shù)，則f（x）為單峰函數(shù)；②，其導(dǎo)數(shù)為y′＝sinx﹣，令g（x）＝sinx﹣，則g（）＝1﹣＞0，g（2）＝sin2﹣1＜0，∴?x0∈（，2），使得g（x0）＝sinx0﹣0＝0，又g（﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）為R上的奇函數(shù)，又g（0）＝0，∴的極值點(diǎn)有3個，故f（x）不是單峰函數(shù)；③，其導(dǎo)數(shù)為y′＝＝，令y′＝0，可得x＝±，故f（x）不是單峰函數(shù)；④y＝x3（1﹣3x+3x2﹣x3），其導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2﹣12x3+15x4﹣6x5＝﹣3x2（x﹣1）2（2x﹣1），當(dāng)x≤時，y′≥0，當(dāng)x＞時，y′≤0，∴f（x）在（﹣∞，]上單調(diào)遞增，在[，+∞）上單調(diào)遞減，故f（x）為單峰函數(shù)；故答案為：①④．【點(diǎn)評】本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解“單峰函數(shù)”的概念是解決問題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三、解答題：（共6小題，共85分）16．已知，，是同一平面內(nèi)的三個向量，，．（Ⅰ）若與的方向相反，求的坐標(biāo)；（Ⅱ）若，求與的夾角θ．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，＝（2t，4t），由向量模的計(jì)算公式可求得t的值，從而可得的坐標(biāo)；（Ⅱ）根據(jù)題意，由向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得?（﹣4）＝0，由數(shù)量積運(yùn)算可求得cosθ的值，結(jié)合θ的范圍，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，，若與的方向相反則＝t，t＜0，即＝（2t，4t），又||＝，則4t2+16t2＝5，解可得t＝﹣，則＝（﹣1，﹣2）．（Ⅱ）由，可得||＝＝2，若，則?（﹣4）＝2﹣4?＝20﹣4×2××cosθ＝0，解得cosθ＝，又由0≤θ≤π，則θ＝．【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)以及計(jì)算，涉及向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系以及向量的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．17．已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值和最小值，并求取得最值時相應(yīng)的x的值．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期；（2）利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進(jìn)一步確定函數(shù)的最大和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)＝＝．故函數(shù)的最小正周期為．（Ⅱ）由于，所以，故．故即當(dāng)x＝時，函數(shù)的最小值為，當(dāng)x＝時，函數(shù)的最大值為2．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．18．已知函數(shù)f（x）＝x3+x2﹣x+1．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅲ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象與直線y＝a僅有一個公共點(diǎn)，直接寫出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（I）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線的切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；（II）結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系可求；（III）結(jié)合（II）的單調(diào)性討論即可直接求解．【解答】解：（I）f′（x）＝3x2+2x﹣1，所以f′（1）＝4，f（1）＝2，故曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y﹣2＝4（x﹣1），即y＝4x﹣2；（II）f′（x）＝3x2+2x﹣1＝（3x﹣1）（x+1），易得當(dāng)x或x＜﹣1時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)﹣1＜x＜時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（﹣∞，﹣1），（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（﹣1，），當(dāng)x＝﹣1時函數(shù)取得極大值f（﹣1）＝2，當(dāng)x＝時，函數(shù)取得極小值；（III）由（II）知，a＞2或a＜時，y＝a與y＝f（x）只有一個交點(diǎn)．故a的范圍{a|a＞2或a＜}．【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，考查了函數(shù)交點(diǎn)的應(yīng)用，屬于中檔題．19．如圖，在四邊形ABCD中，CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．【分析】（I）由已知結(jié)合正弦定理即可直接求解；（II）結(jié)合同角平方關(guān)系及兩角差余弦公式可求cos∠ABD，然后結(jié)合余弦定理求出BD，進(jìn)而可求AD．【解答】解：（I）CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，，由正弦定理得，即，所以sin∠DBC＝；（II）由題意得∠DBC為銳角，結(jié)合（I）得cos∠DBC＝，因?yàn)?，所以sin∠ABC＝，cos∠ABD＝cos（∠ABC﹣∠DBC）＝﹣＝，由余弦定理得，cos∠BDC＝＝＝，解得BD＝3，由余弦定理得cos∠ABD＝＝＝，所以AD＝．【點(diǎn)評】本題主要考查了同角平方關(guān)系，和差角公式，正弦定理，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．20．已知函數(shù)f（x）＝x+b﹣alnx在x＝1處的極值為2，其中a＞0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）對任意的x∈[1，+∞），證明恒有x[2﹣f（x）]≤x2﹣2x+1．【分析】（I）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合極值存在條件可求；（II）由于x[2﹣f（x）]﹣x2+2x﹣1＝﹣2x2+3x+xlnx﹣1，要證原不等式成立，轉(zhuǎn)化為求解g（x）＝﹣2x2+3x+xlnx﹣1，在x≥1時的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)可求．【解答】解：（I），由題意得，，解得a＝1，b＝1；證明：（II）x[2﹣f（x）]﹣x2+2x﹣1＝﹣2x2+3x+xlnx﹣1，令g（x）＝﹣2x2+3x+xlnx﹣1，x≥1，則g′（x）＝﹣4x+lnx+4，＜0恒成立，所以g′（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減且g′（1）＝0，所以x≥1時，g（x）≤g（1）＝0，所以x[2﹣f（x）]≤x2﹣2x+1．【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系及利用導(dǎo)數(shù)，函數(shù)性質(zhì)證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．21．對任意給定的不小于3的正整數(shù)n，n元集合A＝{a1，a2，?，an}，B＝{b1，b2，?，bn}均為正整數(shù)集的子集，若滿足：①a1+a2+?+an＝b1+b2+?+bn，②a12+a22+?+an2＝b12+b22+?+bn2，③A∩B＝?，則稱A，B互為等矩集．（Ⅰ）若集合A＝{1，5，6}與B＝{2，x，y}互為等矩集，求x，y的值；（Ⅱ）證明：如果集合A＝{a1，a2，?，an}，B＝{b1，b2，?，bn}互為等矩集，那么對于任意的k∈N*，集合A'＝{a1+k，a2+k，?，an+k}，B'＝{b1+k，b2+k，?，bn+k}也互為等矩集；（Ⅲ）對于任意給定的正整數(shù)n≥4，是否存在兩個n元正整數(shù)集A，B互為等矩集？請說明理由．【分析】（Ⅰ）由等矩集定義，列出關(guān)于x和y的方程組，求解即可；（Ⅱ）利用等矩集的定義，只需證明A'和B'滿足等矩集的三條定義即可；（Ⅲ）通過構(gòu)造3元，4元，5元的等矩集組，證明3k，3k+1，3k+2元等矩集組的存在，結(jié)合等矩集的定義進(jìn)行分析求解即可．【解答】（Ⅰ）解：由等矩集定義，則，①2﹣②2，可得xy＝21③，由①③可知，x，y為方程t2﹣10t+21＝0的兩個根，解得或；（Ⅱ）證明：只需證明A'和B'滿足等矩集的三條定義即可，（a1+k）+（a2+k）+?+（an+k）＝a1+a2+???+an+nk＝b1+b2+???+bn+nk＝（ab+k）+（b2+k）+?+（bn+k），故滿足定義①；（a1+k）2+（a2+k）2+?+（a