2020-2021學(xué)年北京市順義區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年北京市順義區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（4分）設(shè)集合M＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，N＝{x|x≥﹣1}，則M∩N＝（）A．（﹣2，1） B．[﹣1，1） C．[﹣1，+∞） D．（﹣1，1）2．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1），則＝（）A． B． C． D．3．（4分）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A．15 B．30 C．20 D．404．（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C．1 D．5．（4分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)論著中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四，請(qǐng)問(wèn)底層幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的底層共有燈（）A．32盞 B．64盞 C．128盞 D．196盞6．（4分）設(shè)雙曲線C的方程為，若C的一條漸近線的斜率為，則C的離心率為（）A． B． C． D．7．（4分）已知a，b∈R，且a＞|b|，則下列不等式中不恒成立的是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)+b＞0 C． D．a(chǎn)2＞b28．（4分）已知兩條直線m，n和平面α，且n∥α，則“m⊥n”是“m⊥α”的（）A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件9．（4分）在△ABC中，，則cosC＝（）A． B． C． D．10．（4分）已知函數(shù)．若存在x0∈（﹣∞，﹣1），使得f（x0）＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C．（﹣∞，0） D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）＝．12．（5分）設(shè)拋物線y2＝mx的焦點(diǎn)為F（1，0），則m＝；若點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|＝3，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c，能說(shuō)明f（x）既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減的一組整數(shù)a，b，c的值依次是．14．（5分）已知單位向量，滿足＝，則與夾角的大小為；|﹣x|（x∈R）的最小值為．15．（5分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線x＝m（﹣4＜m＜4）與橢圓C相交于點(diǎn)A，B．給出下列三個(gè)命題：①存在唯一一個(gè)m，使得△AF1F2為等腰直角三角形；②存在唯一一個(gè)m，使得△ABF1為等腰直角三角形；③存在m，使△ABF1的周長(zhǎng)最大．其中，所有真命題的序號(hào)為．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．16．（13分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，E是A1C1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB⊥CE；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣A的余弦值．17．（14分）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的部分圖象如圖所示．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．18．（14分）為了解顧客對(duì)五種款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度，廠家隨機(jī)選取了2000名顧客進(jìn)行回訪，調(diào)查結(jié)果如表：運(yùn)動(dòng)鞋款式ABCDE回訪顧客（人數(shù)）700350300250400滿意度0.30.50.70.50.6注：1．滿意度是指：某款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值；2．對(duì)于每位回訪顧客，只調(diào)研一種款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度．假設(shè)顧客對(duì)各款式運(yùn)動(dòng)鞋是否滿意相互獨(dú)立，用顧客對(duì)某款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度估計(jì)對(duì)該款式運(yùn)動(dòng)鞋滿意的概率．（Ⅰ）從所有的回訪顧客中隨機(jī)抽取1人，求此人是C款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客且對(duì)該款鞋滿意的概率；（Ⅱ）從A、E兩種款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)其中滿意的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）用“ξ＝1”和“ξ＝0”分別表示對(duì)A款運(yùn)動(dòng)鞋滿意和不滿意，用“η＝1”和“η＝0”分別表示對(duì)B款運(yùn)動(dòng)滿意和不滿意，試比較方差D（ξ）與D（η）的大?。ńY(jié)論不要求證明）19．（14分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1）和．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l：y＝kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)O．20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a＝2，求曲線y＝f（x）的斜率等于3的切線方程；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．21．（15分）已知{an}是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于{an}中任意兩項(xiàng)ai，aj（i＞j），在{an}中都存在一項(xiàng)am，使得2ai﹣aj＝am；②對(duì)于{an}中任意項(xiàng)an（n≥3），在{an}中都存在兩項(xiàng)ak，al（k＞l），使得an＝2ak﹣al．（Ⅰ）若，判斷數(shù)列{an}是否滿足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；（Ⅱ）若an＝n（n＝1，2，…），判斷數(shù)列{an}是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；（Ⅲ）若{an}是遞增數(shù)列，a1＝0，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：{an}為等差數(shù)列．

2020-2021學(xué)年北京市順義區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（4分）設(shè)集合M＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，N＝{x|x≥﹣1}，則M∩N＝（）A．（﹣2，1） B．[﹣1，1） C．[﹣1，+∞） D．（﹣1，1）【分析】可求出集合M，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：∵M(jìn)＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|x≥﹣1}，∴M∩N＝[﹣1，1）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了描述法和區(qū)間的定義，一元二次不等式的解法，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1），則＝（）A． B． C． D．【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得＝，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則能求出結(jié)果．【解答】解：∵在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1），∴＝＝＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的求法，考查復(fù)數(shù)的幾何意義、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．（4分）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A．15 B．30 C．20 D．40【分析】求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，求得r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1＝6﹣r＝，令3﹣r＝0，得r＝2，所以常數(shù)項(xiàng)為＝15．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，以及特定性的求法，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C．1 D．【分析】判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．【解答】解：由題意可知幾何體是三棱錐，是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，所以幾何體的體積為：＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀，是基礎(chǔ)題．5．（4分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)論著中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四，請(qǐng)問(wèn)底層幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的底層共有燈（）A．32盞 B．64盞 C．128盞 D．196盞【分析】由題意可知，每層的燈數(shù)形成等比數(shù)列{an}，公比q＝2，S7＝254，由等比數(shù)列的求和公式列式求解a1，再求a7得結(jié)論．【解答】解：由題意可得，每層的燈數(shù)形成等比數(shù)列{an}，公比q＝2，且S7＝254，則，解得a1＝2．∴a7＝2×26＝128．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（4分）設(shè)雙曲線C的方程為，若C的一條漸近線的斜率為，則C的離心率為（）A． B． C． D．【分析】利用雙曲線的漸近線的斜率，推出a、b關(guān)系，然后求解離心率即可．【解答】解：雙曲線C的方程為，若C的一條漸近線的斜率為，可得＝，所以e＝＝＝＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線方程的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．7．（4分）已知a，b∈R，且a＞|b|，則下列不等式中不恒成立的是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)+b＞0 C． D．a(chǎn)2＞b2【分析】由不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)閍＞|b|，所以a＞b恒成立；對(duì)于B，因?yàn)閍＞|b|，所以a＞0，當(dāng)b＞0，則a+b＞0；當(dāng)b≤0，則a＞﹣b，即a+b＞0，綜上，a+b＞0恒成立；對(duì)于C，當(dāng)b＞0，則a＞|b|，即a＞b＞0，則＜，故C不恒成立；對(duì)于D，因?yàn)閍＞|b|，所以a2＞b2恒成立．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）已知兩條直線m，n和平面α，且n∥α，則“m⊥n”是“m⊥α”的（）A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)n∥α，m⊥n，則m與α可能平行，也可能相交，故“m⊥n”不能推出“m⊥α”，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義可得結(jié)論．【解答】解：因?yàn)閚∥α，m⊥n，所以m與α可能平行，也可能相交，故“m⊥n”不能推出“m⊥α”，而m⊥α，則m垂直平面內(nèi)任一直線，而n∥α，所以m⊥n．所以兩條直線m，n和平面α，且n∥α，則“m⊥n”是“m⊥α”的必要而不充分條件．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間線面位置關(guān)系，以及充分條件、必要條件的判定，同時(shí)考查了學(xué)生邏輯推理的能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）在△ABC中，，則cosC＝（）A． B． C． D．【分析】由已知利用余弦定理可求a，c的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求cosC的值．【解答】解：因?yàn)?，所以由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：9＝a2+3a2﹣2a??，整理可得a＝3，c＝3，可得cosC＝＝＝﹣．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．10．（4分）已知函數(shù)．若存在x0∈（﹣∞，﹣1），使得f（x0）＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C．（﹣∞，0） D．【分析】令f（x）＝0解得a＝3x﹣，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝3x﹣，求出g（x）在定義域（﹣∞，﹣1）的值域，即可求出a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)＝3x﹣﹣a，令f（x）＝0，解得a＝3x﹣；設(shè)g（x）＝3x﹣，其中x∈（﹣∞，﹣1），所以g（x）是定義域（﹣∞，﹣1）上的單調(diào)增函數(shù)，所以0＜g（x）＜g（﹣1）＝．若存在x0∈（﹣∞，﹣1），使得f（x0）＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了特稱(chēng)命題的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）＝﹣1．【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解答】解：＝﹣tan＝﹣1，故答案為：﹣1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．12．（5分）設(shè)拋物線y2＝mx的焦點(diǎn)為F（1，0），則m＝4；若點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|＝3，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．【分析】利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求解m即可；利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求解A的坐標(biāo)．【解答】解：拋物線y2＝mx的焦點(diǎn)為F（1，0），可得＝1，解得m＝4；點(diǎn)A在拋物線y2＝4x上，且|AF|＝3，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，則x+1＝3，x＝2，把x＝2代入拋物線方程，可得A的縱坐標(biāo)為：±2．所以A（2，±2）．故答案為：4；（2，±2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線的定義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c，能說(shuō)明f（x）既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減的一組整數(shù)a，b，c的值依次是﹣1，0，1（答案不唯一）．【分析】根據(jù)題意，a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c，為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得a＜0且b＝0，據(jù)此寫(xiě)出一組符合題意整數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)題意，a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c，為二次函數(shù)，若f（x）是偶函數(shù)，則其對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＝0，則b＝0，又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，必有a＜0，綜合可得：a＜0且b＝0，故滿足題意的一組整數(shù)a，b，c的值依次是﹣1，0，1（答案不唯一）．故答案為：﹣1，0，1（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知單位向量，滿足＝，則與夾角的大小為；|﹣x|（x∈R）的最小值為．【分析】根據(jù)條件可求出的值，進(jìn)而可得出夾角的大?。豢汕蟪?，然后配方即可求出的最小值．【解答】解：∵，且，∴與夾角的大小為；∵＝＝，∴時(shí)，取最小值．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量夾角的余弦公式，向量長(zhǎng)度的求法，向量數(shù)量積的運(yùn)算，配方求二次函數(shù)最值的方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線x＝m（﹣4＜m＜4）與橢圓C相交于點(diǎn)A，B．給出下列三個(gè)命題：①存在唯一一個(gè)m，使得△AF1F2為等腰直角三角形；②存在唯一一個(gè)m，使得△ABF1為等腰直角三角形；③存在m，使△ABF1的周長(zhǎng)最大．其中，所有真命題的序號(hào)為①③．【分析】當(dāng)m＝0時(shí)，∠F1AF2最大，求出△AF1F2為等腰直角三角形即可判斷①；求出△ABF1為等腰直角三角形時(shí)，m的值，即可判斷②；利用橢圓定義可得ABF1的周長(zhǎng)最大值，結(jié)合m的取值范圍即可判斷③．【解答】解：由方程知a＝4，b＝2，c＝＝2，當(dāng)m＝0時(shí)，∠F1AF2最大，此時(shí)∠AF1F2＝∠AF2F1＝45°，所以∠F1AF2的最大值為90°，又AF1＝AF2，所以△AF1F2為等腰直角三角形，即存在唯一一個(gè)m＝0，使得△AF1F2為等腰直角三角形，故①正確；當(dāng)m＝0時(shí)，∠AF1F2＝45°，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得∠BF1F2＝∠AF1F2＝45°，AF1＝BF1，所以∠AF1B＝90°，此時(shí)△ABF1為等腰直角三角形，當(dāng)m≠0時(shí)，若△ABF1為等腰直角三角形，則﹣4＜m＜﹣2，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣2），代橢圓方程，解得m＝﹣∈（﹣4，﹣2），故當(dāng)m＝0或﹣時(shí)，△ABF1為等腰直角三角形，故②錯(cuò)誤；由橢圓的定義得，△ABF1的周長(zhǎng)＝|AB|+|AF1|+|BF1|＝|AB|+（2a﹣|AF2|）+（2a﹣|BEF2）＝4a+|AB|﹣|AF2|﹣|BF2|，因?yàn)閨AF2|+|BF2|≥|AB|，所以|AB|﹣|AF2|﹣|BF2|≤0，當(dāng)AB過(guò)點(diǎn)F2時(shí)取等號(hào)，所以|AB|+|AF1|+|BF1|＝4a+|AB|﹣|AF2|﹣|BF2|≤4a，即直線x＝m過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F2時(shí)，△ABF1的周長(zhǎng)最大，此時(shí)直線AB的方程為x＝m＝c＝2，滿足﹣4＜m＜4，所以存在m，使△ABF1的周長(zhǎng)最大，故③正確．故答案為：①③．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想，考查分析問(wèn)題與求解問(wèn)題的能力，是中檔題．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．16．（13分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，E是A1C1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB⊥CE；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）證明CC1⊥AB，結(jié)合AB⊥AC，推出AB⊥平面AA1C1C，然后證明AB⊥CE．（Ⅱ）說(shuō)明AB，AC，AA1兩兩垂直．以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，求出平面BCE的法向量，平面BCE的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角B﹣CE﹣A的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）證明：因?yàn)镃C1⊥平面ABC，所以CC1⊥AB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又AB⊥AC，AC∩CC1＝C，AC?平面AA1C1C，CC1?平面AA1C1C，所以AB⊥平面AA1C1C．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）因?yàn)镃E?平面AA1C1C，所以AB⊥CE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥AA1，因?yàn)橛蒀C1⊥平面ABC，所以AA1⊥平面ABC．所以AB，AC，AA1兩兩垂直．如圖，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，2）．設(shè)平面BCE的法向量為，因?yàn)?，，所以．即．令z＝1，則x＝2，y＝2．所以平面BCE的一個(gè)法向量為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）因?yàn)锳B⊥平面AA1C1C，所以平面ACE的一個(gè)法向量為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以二面角B﹣CE﹣A的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，邏輯推理能力，以及計(jì)算能力，是中檔題．17．（14分）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的部分圖象如圖所示．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【分析】（Ⅰ）由函數(shù)圖象可求A，可求周期，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求g（x）＝，由題意可求，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最小值．【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)圖象知，周期，因?yàn)?，所以，而由題意知A＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)，所以．所以．所以又因?yàn)椋裕屎瘮?shù)f（x）的解析式為．（Ⅱ）＝＝，＝＝，因?yàn)?，所以．所以?dāng)時(shí)，即x＝0時(shí)，g（x）取到最小值，且最小值為﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，考查了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．18．（14分）為了解顧客對(duì)五種款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度，廠家隨機(jī)選取了2000名顧客進(jìn)行回訪，調(diào)查結(jié)果如表：運(yùn)動(dòng)鞋款式ABCDE回訪顧客（人數(shù)）700350300250400滿意度0.30.50.70.50.6注：1．滿意度是指：某款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值；2．對(duì)于每位回訪顧客，只調(diào)研一種款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度．假設(shè)顧客對(duì)各款式運(yùn)動(dòng)鞋是否滿意相互獨(dú)立，用顧客對(duì)某款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度估計(jì)對(duì)該款式運(yùn)動(dòng)鞋滿意的概率．（Ⅰ）從所有的回訪顧客中隨機(jī)抽取1人，求此人是C款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客且對(duì)該款鞋滿意的概率；（Ⅱ）從A、E兩種款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)其中滿意的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）用“ξ＝1”和“ξ＝0”分別表示對(duì)A款運(yùn)動(dòng)鞋滿意和不滿意，用“η＝1”和“η＝0”分別表示對(duì)B款運(yùn)動(dòng)滿意和不滿意，試比較方差D（ξ）與D（η）的大?。ńY(jié)論不要求證明）【分析】（Ⅰ）求出C款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客且對(duì)該款鞋滿意的人數(shù)，然后求解顧客是C款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客且對(duì)該款鞋滿意的概率．（Ⅱ）X的取值為0，1，2，設(shè)事件M為“從A款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中隨機(jī)抽取的1人對(duì)該款式運(yùn)動(dòng)鞋滿意”，事件N為“從E款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中隨機(jī)抽取的1人對(duì)該款式運(yùn)動(dòng)鞋滿意”，說(shuō)明事件M與￢N相互獨(dú)立．然后求解X的概率，得到分布列，然后求解期望．（Ⅲ）判斷D（ξ）＜D（η）．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，是C款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客且對(duì)該款鞋滿意的人數(shù)為300×0.7＝210﹣﹣﹣﹣﹣（2分）故此顧客是C款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客且對(duì)該款鞋滿意的概率是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）X的取值為0，1，2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）設(shè)事件M為“從A款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中隨機(jī)抽取的1人對(duì)該款式運(yùn)動(dòng)鞋滿意”，事件N為“從E款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中隨機(jī)抽取的1人對(duì)該款式運(yùn)動(dòng)鞋滿意”，且事件M與￢N相互獨(dú)立．根據(jù)題意，P（M）估計(jì)為0.3，P（N）估計(jì)為0.6．則﹣﹣﹣﹣（6分）＝0.3×0.4+0.7×0.6＝0.54﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）P（X＝2）＝P（MN）＝P（M）P（N）＝0.3×0.6＝0.18﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以X的分布列為：X012P0.280.540.18﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）X的期望是：E（X）＝0×0.28+1×0.54+2×0.18＝0.9．﹣﹣﹣﹣（12分）（Ⅲ）D（ξ）＜D（η）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．19．（14分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1）和．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l：y＝kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)O．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意可得所以b＝1，+＝1，解得a＝2，進(jìn)而可得橢圓的方程．（Ⅱ）聯(lián)立直線l與橢圓的方程可得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由韋達(dá)定理得x1+x2，x1x2，由點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)O到直線l的距離，解得5m2＝4（1+k2），計(jì)算?＝x1x2+y1y2為0，即可得出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），所以b＝1，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得a＝2，所以橢圓的方程為，（Ⅱ）證明：由，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由題意，Δ＝（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝﹣16k2+16+64m2＞0，即1+4k2﹣m2＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），所以，，因?yàn)樵c(diǎn)O到直線l的距離為，所以，即5m2＝4（1+k2），因?yàn)?＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝＝＝，所以O(shè)A⊥OB．因此以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問(wèn)題，定點(diǎn)問(wèn)題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a＝2，求曲線y＝f（x）的斜率等于3的切線方程；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，由題意可求得x0，從而可得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可求得切線方程；（Ⅱ）令f′（x）＝0，得．對(duì)分類(lèi)討論，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再由零f（x）在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即可求解a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝x2﹣2lnx，，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得x0＝2或（舍），所以f（2）＝4﹣2ln2．切點(diǎn)為（2，4﹣2ln2），所以所求切線方程為y﹣4+2ln2＝3（x﹣2），即3x﹣y﹣2﹣2ln2＝0．（Ⅱ）因?yàn)?，由a＞0及定義域?yàn)椋?，+∞），令f′（x）＝0，得．①當(dāng)，即時(shí)，在上f′（x）＞0，所以f（x）在上單調(diào)遞增．此時(shí)f（x）在上不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)，即a≥2e2時(shí)，在上f′（x）＜0，所以f（x）在上單調(diào)遞減．此時(shí)f（x）在上不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)，即時(shí)，要使f（x）在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，此時(shí)2e＜a≤e2．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2e，e2]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查方程思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．21．（15分）已知{an}是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于{an}中任意兩項(xiàng)ai，aj（i＞j），在{an}中都存在一項(xiàng)am，使得2ai﹣aj＝am；②對(duì)于{an}中任意項(xiàng)an（n≥3），在{an}中都存在兩項(xiàng)ak，al（k＞l），使得an＝2ak﹣al．（Ⅰ）若，判斷數(shù)列{an}是否滿足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；（Ⅱ）若an＝n（n＝1，2，…），判斷數(shù)列{an}是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；（Ⅲ）若{an}是遞增數(shù)列，a1＝0，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：{an}為