理論力學(xué)課件八

第十六章虛位移原理在第一篇靜力學(xué)中，我們從靜力學(xué)公理出發(fā)，通過力系的簡(jiǎn)化，得出剛體的平衡條件，用來研究剛體及剛體系統(tǒng)的平衡問題。在這一章里，我們將介紹普遍適用于研究任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題的一個(gè)原理，它從位移和功的概念出發(fā)，得出任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件。該原理叫做虛位移原理。它是研究平衡問題的最一般的原理，不僅如此，將它與達(dá)朗伯原理相結(jié)合，就可得到一個(gè)解答動(dòng)力學(xué)問題的動(dòng)力學(xué)普遍方程。動(dòng)力學(xué)2§16–1約束及其分類§16–2自由度廣義坐標(biāo)§16–3虛位移和虛功§16–4理想約束§16–5虛位移原理第十六章虛位移原理3

§16-1約束及其分類動(dòng)力學(xué)

一、約束及約束方程

限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的各種條件稱為約束。將約束的限制條件以數(shù)學(xué)方程來表示，則稱為約束方程。

平面單擺例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)4動(dòng)力學(xué)根據(jù)約束的形式和性質(zhì)，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：二、約束的分類1、幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束。如前述的平面單擺和曲柄連桿機(jī)構(gòu)例子中的限制條件都是幾何約束。當(dāng)約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行限制時(shí)，這種約束條件稱為運(yùn)動(dòng)約束。例如：車輪沿直線軌道作純滾動(dòng)時(shí)。5動(dòng)力學(xué)幾何約束：運(yùn)動(dòng)約束：當(dāng)約束條件與時(shí)間有關(guān)，并隨時(shí)間變化時(shí)稱為非定常約束。約束條件不隨時(shí)間改變的約束為定常約束。前面的例子中約束條件皆不隨時(shí)間變化，它們都是定常約束。2、定常約束和非定常約束例如：重物M由一條穿過固定圓環(huán)的細(xì)繩系住。初始時(shí)擺長(zhǎng)l0,勻速v拉動(dòng)繩子。x2+y2=(l0-vt)2

約束方程中顯含時(shí)間t6動(dòng)力學(xué)如果在約束方程中含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（例如運(yùn)動(dòng)約束）而且方程中的這些導(dǎo)數(shù)不能經(jīng)過積分運(yùn)算消除，即約束方程中含有的坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)不是某一函數(shù)全微分，從而不能將約束方程積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束。一般地，非完整約束方程只能以微分形式表達(dá)。3、完整約束和非完整約束如果約束方程中不含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中雖有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，但這些導(dǎo)數(shù)可以經(jīng)過積分運(yùn)算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束。7在兩個(gè)相對(duì)的方向上同時(shí)對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系進(jìn)行運(yùn)動(dòng)限制的約束稱為雙面約束。只能限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系單一方向運(yùn)動(dòng)的約束稱為單面約束。動(dòng)力學(xué)例如：車輪沿直線軌道作純滾動(dòng)，是微分方程，但經(jīng)過積分可得到（常數(shù)），該約束仍為完整約束。

4、單面約束和雙面約束幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。非完整約束一定是運(yùn)動(dòng)約束，但運(yùn)動(dòng)約束未必是非完整約束。剛桿x2+y2=l2繩x2+y2l28動(dòng)力學(xué)雙面約束的約束方程為等式，單面約束的約束方程為不等式。我們只討論質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系受定常、雙面、完整約束的情況，其約束方程的一般形式為（s為質(zhì)點(diǎn)系所受的約束數(shù)目，n為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)）9動(dòng)力學(xué)

§16-2自由度廣義坐標(biāo)一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置：（x,y,z)3個(gè)一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)系在空間的位置：(xi

,yi

,

zi)(i=1,2……n)3n個(gè)對(duì)一個(gè)非自由質(zhì)點(diǎn)系，受s個(gè)完整約束，（3n-s)個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)。其自由度為k=3n-s。

確定一個(gè)受完整約束的質(zhì)點(diǎn)系的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，稱為該質(zhì)點(diǎn)系的自由度的數(shù)目，簡(jiǎn)稱為自由度。

例如,前述曲柄連桿機(jī)構(gòu)例子中,確定曲柄連桿機(jī)構(gòu)位置的四個(gè)坐標(biāo)xA、yA、xB、yB須滿足三個(gè)約束方程,因此有一個(gè)自由度。10動(dòng)力學(xué)一般地，受到s個(gè)約束的、由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其自由度為通常，n與s很大而k很小。為了確定質(zhì)點(diǎn)系的位置，用適當(dāng)選擇的k個(gè)參數(shù)（相互獨(dú)立），要比用3n個(gè)直角坐標(biāo)和s個(gè)約束方程方便得多。用來確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)的選擇不是唯一的。廣義坐標(biāo)可以取線位移（x,y,z,s等）也可以取角位移（如,,,等）。在完整約束情況下，廣義坐標(biāo)的數(shù)目就等于自由度數(shù)目。11動(dòng)力學(xué)例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，可取曲柄OA的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，則：廣義坐標(biāo)選定后，質(zhì)點(diǎn)系中每一質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)都可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。12動(dòng)力學(xué)

例如：雙錘擺。設(shè)只在鉛直平面內(nèi)擺動(dòng)。兩個(gè)自由度取廣義坐標(biāo)，13動(dòng)力學(xué)

一般地，設(shè)有由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，具有k個(gè)自由度，取q1、q2、……、qk為其廣義坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)及矢徑可表為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。14動(dòng)力學(xué)§16-3虛位移和虛功在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)過程的某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的為約束允許的任意的無限小位移，稱為質(zhì)點(diǎn)系（在該瞬時(shí)）的虛位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號(hào)表示虛位移。M15動(dòng)力學(xué)

虛位移與真正運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)生的實(shí)位移不同。實(shí)位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運(yùn)動(dòng)而實(shí)際發(fā)生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發(fā)生的。實(shí)位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。實(shí)位移是在一定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時(shí)間無關(guān)。在定常約束下，微小的實(shí)位移必然是虛位移之一。而在非定常約束下，微小實(shí)位移不再是虛位移之一。16動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的虛位移之間存在著一定的關(guān)系,確定這些關(guān)系通常有兩種方法：(一)幾何法。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)的位移與速度成正比，即因此可以用分析速度的方法分析各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。17動(dòng)力學(xué)

(二)解析法。質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)（q1,q2,……,qk），廣義坐標(biāo)分別有變分，各質(zhì)點(diǎn)的虛位移在直角坐標(biāo)上的投影可以表示為18動(dòng)力學(xué)[例1]分析圖示機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，點(diǎn)C、A與B的虛位移。(已知OC=BC=a，OA=l)解：此為一個(gè)自由度系統(tǒng)，取OA桿與x軸夾角為廣義坐標(biāo)。1、幾何法19動(dòng)力學(xué)將C、A、B點(diǎn)的坐標(biāo)表示成廣義坐標(biāo)的函數(shù)，得2、解析法對(duì)廣義坐標(biāo)求變分，得各點(diǎn)虛位移在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影：20動(dòng)力三學(xué)力在質(zhì)三點(diǎn)發(fā)三生的三虛位三移三上所三作的三功稱三為虛功，記三為三。21動(dòng)力三學(xué)§1三6-三4理想三約束如果三在質(zhì)三點(diǎn)系三的任三何虛三位移三上，三質(zhì)點(diǎn)三系的三所有三約束三反力三的虛三功之三和等三于零三，則三稱這三種約三束為理想三約束三。質(zhì)點(diǎn)三系受三有理三想約三束的三條件三：22動(dòng)力三學(xué)理想三約束三的典三型例三子如三下：1、光三滑支三承面2、光三滑鉸三鏈3、無三重剛?cè)龡U4、不三可伸三長(zhǎng)的三柔索5、剛?cè)w在三粗糙三面上三的純?nèi)凉L動(dòng)23動(dòng)力三學(xué)§1三6-三5虛位三移原三理一、三虛位三移原三理具有三定常三、理三想約三束的三質(zhì)點(diǎn)三系，三平衡三的必三要與三充分三條件三是：三作用三于質(zhì)三點(diǎn)系三的所三有主三動(dòng)力三在任三何虛三位移三上所三作的三虛功三之和三等于三零。三即解析三式：24動(dòng)力三學(xué)證明：(1)必要性：即質(zhì)點(diǎn)系處于平衡時(shí)，必有∵質(zhì)三點(diǎn)系三處于三平衡三∴三選取三任一三質(zhì)點(diǎn)Mi也平三衡。對(duì)質(zhì)點(diǎn)Mi的任一虛位移，有由于三是理三想約三束所以對(duì)整三個(gè)質(zhì)三點(diǎn)系三：25動(dòng)力三學(xué)(2三)充分三性：三即當(dāng)三質(zhì)點(diǎn)三系滿三足三，質(zhì)三點(diǎn)系三一定三平衡三。若三，三而質(zhì)三點(diǎn)系三不平三衡，三則至三少有三第i個(gè)質(zhì)三點(diǎn)不三平衡三。在方向上產(chǎn)生實(shí)位移，取，則對(duì)質(zhì)點(diǎn)系：(理想約束下，)與前三題條三件矛三盾故時(shí)質(zhì)點(diǎn)系必處于平衡。26動(dòng)力三學(xué)二、三虛位三移原三理的三應(yīng)用1、系統(tǒng)三在給三定位三置平三衡時(shí)三，求三主動(dòng)三力之三間的三關(guān)系三；2、求系三統(tǒng)在三已知三主動(dòng)三力作三用下三的平三衡位三置；3、求系三統(tǒng)在三已知三主動(dòng)三力作三用下三平衡三時(shí)的三約束三反力三；4、求平三衡構(gòu)三架內(nèi)三二力三桿的三內(nèi)力三。27動(dòng)力三學(xué)例1圖示三橢圓三規(guī)機(jī)三構(gòu)，三連桿AB長(zhǎng)l，桿重三和滑三道摩三擦不三計(jì)，三鉸鏈三為光三滑的三，求三在圖三示位三置平三衡時(shí)三，主三動(dòng)力三大小P和Q之間三的關(guān)三系。解：研三究整三個(gè)機(jī)三構(gòu)。三系統(tǒng)三的所三有約三束都三是完三整、三定常三、理三想的三。28動(dòng)力三學(xué)1、幾何法：使A發(fā)生虛位移，B的虛位移，則由虛位移原理，得虛功方程：由的任意性，得29動(dòng)力三學(xué)2、解三析法由于三系統(tǒng)三為單三自由三度，可取為廣三義坐三標(biāo)。由于任意，故30動(dòng)力三學(xué)解：這三是一三個(gè)具三有兩三個(gè)自三由度三的系三統(tǒng)，三取角及為廣三義坐三標(biāo)，三現(xiàn)用三兩種三方法三求解三。例2均質(zhì)三桿OA及AB在A點(diǎn)用三鉸連三接，三并在O點(diǎn)用三鉸支三承，三如圖三所示三。兩三桿各三長(zhǎng)2a和2b，各重P1及P2，設(shè)在B點(diǎn)加三水平三力F以維三持平三衡，三求兩三桿與三鉛直三線所三成的三角及。y31動(dòng)力三學(xué)應(yīng)用三虛位三移原三理，代入(a)式，三得：解法三一：32動(dòng)力三學(xué)由于是彼此獨(dú)立的，所以：由此三解得三：33動(dòng)力三學(xué)而代入三上式三，得解法三二：先使保持不變，而使獲得變分，得到系統(tǒng)的一組虛位移，如圖所示。34動(dòng)力三學(xué)再使保持三不變?nèi)公@得三變分三，得三到系三統(tǒng)的三另一三組虛三位移三，如三圖所三示。而代入三上式三后，三得：圖示三中：35動(dòng)力三學(xué)例3多跨三靜定三梁，三求支三座B處反三力。解：將支座B除去，代入相應(yīng)的約束反力。36動(dòng)力三學(xué)37動(dòng)力三學(xué)例4滑套D套在三光滑三直桿AB上，三并帶三動(dòng)桿CD在鉛三直滑三道上三滑動(dòng)三。已三知=0o時(shí)，三彈簧三等于三原長(zhǎng)三，彈三簧剛?cè)认等龜?shù)為三5(k三N/三m)，求在三任意三位置三（角）三平衡三時(shí)，三加在AB桿上三的力三偶矩M？解：這三是一三個(gè)已三知系三統(tǒng)平三衡，三求作三用于三系統(tǒng)三上主三動(dòng)力三之間三關(guān)系三的問三題。三將彈三簧力三計(jì)入三主動(dòng)三力，三系統(tǒng)三簡(jiǎn)化三為理三想約三束系三統(tǒng)，三故可三以用三虛位三移原三理求三解。38動(dòng)力三學(xué)選擇AB桿、CD桿和三滑套D的系三統(tǒng)為三研究三對(duì)象三。由虛三位移三原理三，得三：39動(dòng)力三學(xué)以不三解除三約束三的理三想約三束系三統(tǒng)為三研究三對(duì)象三，系三統(tǒng)至三少有三一個(gè)三自由