無窮級數(shù)疑難分析講座

關于無窮級數(shù)疑難分析講座第1頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

無窮級數(shù)主要內容一、常數(shù)項無窮級數(shù)二、冪級數(shù)三、傅立葉級數(shù)（三角級數(shù)）第2頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）正項級數(shù)收斂的充分必要條件:1、正項級數(shù)的判斂法:一.常數(shù)項無窮級數(shù)正項級數(shù)收斂例如證明:第3頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

設和都是正項級數(shù)，且可找到正數(shù)k和自然數(shù)N，(1)如果級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂。(2)如果級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散。(2).比較判別法(一般形式)：(大的收斂，小的必收斂)(小的發(fā)散，大的必發(fā)散)則第4頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月應用比較判別法：(一般形式)（1）由觀察初步估計級數(shù)的斂散性；（2）對一般項進行放縮。說明：一般項的“放縮”是比較麻煩的！而比較判別法的極限形式，則可避免“放縮”。收斂,發(fā)散,第5頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

比較判別法的極限形式

設和都是正項級數(shù)，如果則級數(shù)和同時收斂或同時發(fā)散。說明：比較法的極限形式避免了一般項的“放縮”！但仍需要確定比較對象.收斂,第6頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月(3).比值判別法(達朗貝爾判別法)

設是正項級數(shù)，如果(1)當時，則級數(shù)收斂；(2)當時，則級數(shù)發(fā)散；(3)當時，斂散性無法確定。優(yōu)點：不必借助其他級數(shù)，根據(jù)自身的結構進行判別。(需用其它方法)第7頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月(4).根值判別法(柯西判別法)

設是正項級數(shù)，如果(1)當時，則級數(shù)收斂；(2)當時，則級數(shù)發(fā)散；(3)當時，斂散性無法確定。優(yōu)點：不必借助其他級數(shù)，根據(jù)自身的結構進行判別。(需用其它方法)第8頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月(4).積分判別法(柯西積分判別法)

設是正項級數(shù)，級數(shù)和廣義積分同時收斂或同時發(fā)散。第9頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月2、交錯級數(shù)的斂散性

若交錯級數(shù)滿足如下條件：則交錯級數(shù)收斂。萊布尼茲判別法：第10頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

任意項級數(shù)發(fā)散非用正項級數(shù)判別法收斂絕對收斂用萊氏準則、定義或級數(shù)性質判別收斂條件收斂發(fā)散是發(fā)散發(fā)散(附注)3.任意項級數(shù)的判斂法：注:若用比值或根值判別法判得發(fā)散，則

必發(fā)散!第11頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月4.記住幾個基本級數(shù)：（1）調和級數(shù)發(fā)散；（3）P-級數(shù)：（2）幾何（等比）級數(shù)第12頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月5.幾個常用結論:第13頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例1填空題第14頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月1.若正項級數(shù)收斂，則有()D例2選擇題第15頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月B(A).(1),(2);(B).(2),(3);(C).(3),(4);(D).(4),(1);第16頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月（A）絕對收斂；（B）條件收斂；（C）發(fā)散；（D）收斂性與a1有關.3.設a1為任意常數(shù)，則級數(shù)

（）C第17頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月B(2003年考研三)第18頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)的本質區(qū)別:

一個絕對收斂級數(shù)的正數(shù)項與負數(shù)項所組成的級數(shù)都是收斂的;

一個條件收斂級數(shù)的正數(shù)項與負數(shù)項所組成的級數(shù)都是發(fā)散的.第19頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例3判別級數(shù)的斂散性：說明：當常數(shù)項級數(shù)的一般項含有字母參數(shù)時，級數(shù)的斂散性通常與參數(shù)的取值范圍有關。解：故原級數(shù)發(fā)散.原級數(shù)收斂.第20頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例4、設(1)求的值(2)試證：對任意常數(shù)，級數(shù)收斂。解：則第21頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月則

或第22頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例5判別下列級數(shù)的斂散性解:故原級數(shù)的絕對值級數(shù)發(fā)散.由比較判別法知,第23頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月發(fā)散.將加括號,得因加括號以后的級數(shù)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.第24頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例6判別下列級數(shù)的斂散性解:由比較判別法知,它是發(fā)散的.所以，原級數(shù)條件收斂?！?.第25頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月(2010級期末考題,7分)例7:設為單調增加的正值數(shù)列,證明:因為單調遞增正值數(shù)列,…….第26頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月收斂.數(shù)列收斂級數(shù)?例8證明:收斂收斂。部分和數(shù)列證:??收斂.數(shù)列連鎖消元第27頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月(2004級期末考題,5分)例9:設為單調遞減正值數(shù)列,求證：級數(shù)

收斂。證明:因為單調遞減正值數(shù)列,故收斂,而…….第28頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月二、冪級數(shù)2、已知，求其收斂區(qū)間及和函數(shù)。1、阿貝爾(Abel）定理。3、已知f(x)，（用間接展開法）將其展開成冪級數(shù)。重點：第29頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月問題1：已知冪級數(shù)，求和函數(shù)：未知和函數(shù)的冪級數(shù)已知和函數(shù)的冪級數(shù)

轉化問題2：已知函數(shù)，求其冪級數(shù)展開式:（用間接展開法）(1)求導與積分（2）變量代換法（3）代數(shù)恒等變形主要用的“轉化”方法如下:未知展開式的函數(shù)已知展開式的函數(shù)

轉化第30頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月應記住的冪級數(shù)展開式:第31頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月2.設冪級數(shù)的收斂半徑為3，則冪級數(shù)

的收斂區(qū)間（）.(不計端點)（-2，4）1.例1填空題1冪級數(shù)在x=2收斂。（1，3]3.當a取值范圍為（）時，第32頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例2選擇題B第33頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例3選擇題C第34頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

例4.將展開成x

的冪級數(shù)。(2006年考研一,12分)解:并求：第35頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月的冪級數(shù)展開式唯一，故其中x6的系數(shù)為：是f(x)的泰勒級數(shù)第36頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月1、狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)；三.傅里葉級數(shù)2、f(x)的歐拉——傅里葉系數(shù)公式；3、常見題型：（1）求傅里葉級數(shù)的和函數(shù)S(x)；（3）將定義在上的函數(shù)f(x)展開成傅里葉級數(shù)。（4）將定義在上的函數(shù)f(x)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)。（2）將以為周期的周期函數(shù)f(x)展開成傅里葉級數(shù)。（6）證明題。(5)將定義在[a,a+2l]上的函數(shù)f(x)展開為以2l為周期的傅里葉級數(shù)。需做變量代換t=x-(a+l)第37頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例１：1設f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，它在(-1.1]