曲線和曲面造型基礎(chǔ)

曲線和曲面造型基礎(chǔ)第1頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1微分幾何基礎(chǔ)1、矢量代數(shù)空間三維點P（x1,y1,z1)的矢量表示：2.1微分幾何基礎(chǔ)第2頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量加法：矢量點乘：

點乘的幾何表示形式為第一個矢量向第二個矢量方向（假設(shè)第二個矢量為單位矢量）的投影長度。

2.1微分幾何基礎(chǔ)第3頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量叉乘：2.1微分幾何基礎(chǔ)叉乘大小的幾何意義表示為兩個矢量為矢量a和b所構(gòu)成的平行四邊形的面積。第4頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月2、曲線幾何曲線的表示方法：

隱式曲線： 顯式曲線： 參數(shù)曲線：

2.1微分幾何基礎(chǔ)第5頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月隱式：顯式：參數(shù):2.1微分幾何基礎(chǔ)第6頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月有理多項式參數(shù)形式：

以直線PQ與x軸的夾角α為參數(shù)：2.1微分幾何基礎(chǔ)第7頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月隱式曲線便于判定點與曲線的關(guān)系，不便于求值；而顯式曲線便于求值，但不便于判斷內(nèi)外關(guān)系。2.1微分幾何基礎(chǔ)第8頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)曲線：容易通過指定參數(shù)的范圍來定義一段曲線。因此，在課程中的曲線無特殊說明的都是指參數(shù)曲線。推而廣之，曲面是指參數(shù)曲面。參數(shù)曲線的矢量表示：2.1微分幾何基礎(chǔ)第9頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月曲線的性質(zhì)：速率、單位切矢、曲率、主法矢、曲率半徑。2.1微分幾何基礎(chǔ)第10頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月速率：2.1微分幾何基礎(chǔ)第11頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月單位切矢：

不依賴于參數(shù)化的曲線性質(zhì)被稱為曲線的內(nèi)蘊屬性。

單位切矢和曲率是曲線最重要的兩個內(nèi)蘊屬性。

弧長：單位切矢：鏈式法則：2.1微分幾何基礎(chǔ)第12頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月曲率：曲率的定義：鏈式法則后：二維顯式曲線y=y(x)

的曲率：2.1微分幾何基礎(chǔ)第13頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月法矢：主法矢的定義：副法矢：切矢、主法矢和副法矢定義了一個坐標系。2.1微分幾何基礎(chǔ)第14頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月曲率半徑：定義為密切圓的半徑，即2.1微分幾何基礎(chǔ)第15頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月例：求單位圓的單位切矢和曲率半徑。2.1微分幾何基礎(chǔ)第16頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月空間曲線的撓率：空間曲線Serret-Frenet公式

：2.1微分幾何基礎(chǔ)第17頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月3、曲面幾何曲面表示的分類：隱式曲面：顯式（非參）曲面：參數(shù)曲面：或2.1微分幾何基礎(chǔ)第18頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)域上的二維曲線：映射為空間中曲面上的曲線：注意等參線的定義。2.1微分幾何基礎(chǔ)第19頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月曲面的切矢：2.1微分幾何基礎(chǔ)第20頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月曲面的法矢：2.1微分幾何基礎(chǔ)第21頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1微分幾何基礎(chǔ)第22頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月第一基本式矩陣：切矢的模：切矢：第一基本式矩陣：2.1微分幾何基礎(chǔ)第23頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用：計算曲面的面積單位切矢：2.1微分幾何基礎(chǔ)第24頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1微分幾何基礎(chǔ)第25頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月第二基本式矩陣：點乘單位法氏n，有第二基本式矩陣：2.1微分幾何基礎(chǔ)第26頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月法曲率：點乘單位法氏n，有法曲率：2.1微分幾何基礎(chǔ)第27頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月法曲率：

2.1微分幾何基礎(chǔ)第28頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月主曲率：

2.1微分幾何基礎(chǔ)第29頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.1微分幾何基礎(chǔ)第30頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2圖形變換

在CAD/CAM系統(tǒng)中，幾何圖形是最基本的元素，無論采用何種幾何建模方法表達設(shè)計對象，最終都要轉(zhuǎn)化為幾何圖形顯示在屏幕上。無論是二維或三維圖形，都是由圖形的頂點坐標、頂點之間的拓撲關(guān)系以及組成圖形的面和線的表達模型所決定的。圖形的幾何變換只改變圖形的頂點坐標和面、線的表達模型的參數(shù)，不會改變他們的拓撲關(guān)系，且面、線的表達模型參數(shù)也是由相關(guān)的頂點坐標所確定的。因此，從原理上講，圖形的幾何變換就是將圖形上的點的坐標變換成新圖形上對應(yīng)點的坐標—點的坐標變換。

2.2圖形變換第31頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次坐標的概念：

2.2圖形變換第32頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次坐標下的圖形變換：

2.2圖形變換第33頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月1、二維變換基本變換

比例變換（縮小與放大）、對稱變換（或映射變換）、旋轉(zhuǎn)變換、平移交換、錯切變換、透視變換等。

變換矩陣：2.2圖形變換第34頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.2圖形變換第35頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.2圖形變換第36頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.2圖形變換第37頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月2、三維變換基本變換

比例變換（縮小與放大）、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換（或映射變換）、錯切變換、投影變換和透視變換等。

變換矩陣：2.2圖形變換第38頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月基本變換

2.2圖形變換第39頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.2圖形變換第40頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月組合變換

2.2圖形變換第41頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.2圖形變換第42頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.2圖形變換第43頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月Bézier曲線的定義為曲線的控制頂點Bernstein基函數(shù)2.3NURBS曲線與曲面1、Bézier曲線

2.3NURBS曲線與曲面第44頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)非負性權(quán)性對稱性遞推性導數(shù)遞推性端點處：2.3NURBS曲線與曲面第45頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月非負性權(quán)性對稱性遞推性導數(shù)遞推性證明：2.3NURBS曲線與曲面第46頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月非負性規(guī)范性對稱性遞推性導數(shù)遞推性2.3NURBS曲線與曲面第47頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月非負性規(guī)范性對稱性遞推性導數(shù)遞推性證明：2.3NURBS曲線與曲面第48頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月非負性規(guī)范性對稱性遞推性導數(shù)遞推性證明：2.3NURBS曲線與曲面第49頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月端點性質(zhì)幾何不變性對稱性凸包性變差減小性保凸性通過首、末控制頂點2.3NURBS曲線與曲面第50頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月端點性質(zhì)幾何不變性對稱性凸包性變差減小性保凸性因為所以類似地有：跟首末各一條邊有關(guān)跟首末各兩條邊有關(guān)2.3NURBS曲線與曲面第51頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月端點性質(zhì)幾何不變性對稱性凸包性變差減小性保凸性☆曲線的形態(tài)與坐標系的選取無關(guān)，由其控制多邊形唯一地確定。原因可以從基函數(shù)的權(quán)性得到解釋。2.3NURBS曲線與曲面第52頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月端點性質(zhì)幾何不變性對稱性凸包性變差減小性保凸性☆由基函數(shù)的對稱性決定。只要控制頂點順序顛倒一下，即可實現(xiàn)對曲線的反向。因為顛倒控制多邊形頂點的順序，即則新曲線為：2.3NURBS曲線與曲面第53頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月端點性質(zhì)幾何不變性對稱性凸包性變差減小性保凸性?！頑ézier曲線的實質(zhì)是一系列絕對矢量的凸組合（加權(quán)組合）。此性質(zhì)便于確定Bézier曲線的范圍。凸包示意圖2.3NURBS曲線與曲面第54頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月端點性質(zhì)幾何不變性對稱性凸包性變差減小性保凸性☆

Bézier曲線比其控制多邊形更光滑，拐折減少。2.3NURBS曲線與曲面第55頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月端點性質(zhì)幾何不變性對稱性凸包性變差減小性保凸性☆是變差減小性的推論。2.3NURBS曲線與曲面第56頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月1、幾何作圖法2、遞歸分割算法Bézier曲線的遞推定義2.3NURBS曲線與曲面第57頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月用遞推算法求出曲線上的一點p(t*)，該點把曲線分為兩段Bézier曲線，它們的控制頂點分別如圖所示。Bézier曲線的分割2.3NURBS曲線與曲面第58頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月張量積Bézier曲面給定空間點陣bi,j,i=0,1,…,m;j=0,1,…,n。構(gòu)造張量積曲面：

2.3NURBS曲線與曲面第59頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月B-樣條曲線示例。三次均勻B-樣條曲線2、B-樣條曲線

2.3NURBS曲線與曲面第60頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月1.三次均勻B-樣條曲線段其中：2.3NURBS曲線與曲面第61頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月三次均勻B-樣條曲線段的端點性質(zhì):2.3NURBS曲線與曲面第62頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月☆均勻B-樣條曲線的幾何性質(zhì)：直觀性。局部性。比Bezier曲線更強的凸包性。保凸性。對稱性－－曲線易于反向。與Bezier曲線一樣具有幾何不變性、變差減小性。2.3NURBS曲線與曲面第63頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月☆討論幾種退化情況：三點共線

四點共線

兩頂點重合

三頂點重合2.3NURBS曲線與曲面第64頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月二次均勻B樣條曲線：端點性質(zhì)：2.3NURBS曲線與曲面第65頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月非均勻B樣條曲線1.均勻B樣條存在的問題2.非均勻B樣條基函數(shù)的定義:2.3NURBS曲線與曲面第66頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月☆

B-樣條基函數(shù)的支撐區(qū)間為[ui,ui+m+1]2.3NURBS曲線與曲面第67頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月☆節(jié)點重復(fù)度增加1，支撐區(qū)間中減少一個非零節(jié)點區(qū)間，該節(jié)點處的可微性降低1次。例：零階連續(xù)零階不連續(xù)！根據(jù)Ck-r連續(xù)性的結(jié)論，可在B-樣條曲線內(nèi)部構(gòu)造尖點和尖角甚至斷點。2.3NURBS曲線與曲面第68頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月☆端節(jié)點重復(fù)度為m＋1時，B-樣條曲線具有與Bézier曲線相同的端點性質(zhì)?！疃斯?jié)點重復(fù)度為m＋1，其它內(nèi)部節(jié)點的重復(fù)度均為1，且均勻分布時，稱為準均勻B-樣條曲線。2.3NURBS曲線與曲面第69頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月次B樣條曲面可以表達為：其中，為呈拓撲矩形排列的曲面的控制頂點陣列。B-樣條曲面為張量積曲面。2.3NURBS曲線與曲面第70頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月NURBS——Non-Uniform

Rational

B-SplineBezier方法、B樣條方法回顧與分析，有待解決的一個重要問題是自由曲線曲面和解析曲線曲面（二次曲線弧與二次曲面）的精確統(tǒng)一表示。1974，美國的K.J.Versprille以博士論文的形式發(fā)表了第1篇有關(guān)NURBS的文章，以后L.Piegl

和W.Tiller對NURBS進行了深入研究，使之在理論和應(yīng)用上趨于成熟。IGES和STEP標準分別將其列為優(yōu)化類型和唯一的自由曲線曲面表示方法。2.3NURBS曲線與曲面第71頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月

學習NURBS重點掌握的問題：1.NURBS的定義2.權(quán)因子的意義3.圓錐截線的NURBS表示4.NURBS的各種算法5.各種構(gòu)型曲面的NURBS表示?2.3NURBS曲線與曲面第72頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月

有理分式表示:其中，wi,i=0,1,…,n為與控制頂點相聯(lián)系的權(quán)因子。w0，wn>0其余wi≥

0。Ni,k為k次規(guī)范B樣條基函數(shù)。2.3NURBS曲線與曲面第73頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月有理基函數(shù)表示有理B-樣條基函數(shù)的性質(zhì)：局部支撐性質(zhì)規(guī)范性可微性

節(jié)點區(qū)間內(nèi),節(jié)點區(qū)間上若

，則若，則若，則若，則2.3NURBS曲線與曲面第74頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次坐標表示2.3NURBS曲線與曲面第75頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月NURBS的定義步驟：確定帶權(quán)控制頂點2.用帶權(quán)控制頂點定義一條齊次空間中的K次B-樣條曲線將齊次空間中的K次B-樣條曲線投影到的平面上，得2.3NURBS曲線與曲面第76頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月權(quán)因子的幾何意義權(quán)因子的幾何意義示意圖共線四點的交比：討論：權(quán)因子對曲線形狀的影響2.3NURBS曲線與曲面第77頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月圓錐截線的NURBS表示三段圓弧表示整圓四段圓弧表示整圓2.3NURBS曲線與曲面第78頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月

用如圖所示的標準型二次有理Bézier曲線（NURBS的一個特例）表示給定的圓錐截線，主要任務(wù)是確定w1。所以，當w1為任意值時，曲線上的p(1/2)點在mb1的連線上。二次曲線弧的形狀因子2.3NURBS曲線與曲面第79頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月對于圓弧，可以證明可以根據(jù)形狀因子確定二次曲線弧的類型：討論：負權(quán)因子；節(jié)點插入；給定控制頂點b0[00]、b1[10]、b2[01]及權(quán)因子w0=w2=1,w1=1/2，定義一條平面有理二次Bézier曲線p(u),0≤u≤1.（1）求插入一個節(jié)點1/2后，新的控制頂點及相應(yīng)的權(quán)因子；（2）求曲線上參數(shù)為1/2的點p(1/2)。習題2.3NURBS曲線與曲面第80頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月NURBS曲面方程：2.3NURBS曲線與曲面第81頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月擬合：2.4曲線與曲面造型方法曲線與曲面造型中的常用術(shù)語

2.4曲線與曲面造型方法第82頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月光順：2.4曲線與曲面造型方法第83頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何連續(xù)性：2.4曲線與曲面造型方法第84頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)連續(xù)性：2.4曲線與曲面造型方法第85頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何連續(xù)性：2.4曲線與曲面造型方法第86頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月裁剪曲面：2.4曲線與曲面造型方法第87頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月曲面設(shè)計：2.4曲線與曲面造型方法第88頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月拉伸：截面曲線確定深度生成拉伸拉伸曲面圖2.25拉伸曲面生成過程2.4曲線與曲面造型方法第89頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月拉伸的數(shù)學描述：給定母線，驅(qū)動方向，驅(qū)動距離d，

可構(gòu)造NURBS列表柱面：其中，2.4曲線與曲面造型方法第90頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月旋轉(zhuǎn)：圖2.26旋轉(zhuǎn)曲面生成過程母線旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角度生成旋轉(zhuǎn)曲面2.4曲線與曲面造型方法第91頁，課件共100頁，創(chuàng)作于2023年2月旋轉(zhuǎn)曲面的數(shù)學表示：給定母線將上式同圓的NURBS定義方法相