2020-2021學(xué)年廣東省深圳高級中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年廣東省深圳高級中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．（5分）設(shè)A，B是全集I＝{1，2，3，4}的子集，A＝{1，2}，則滿足A?B的B的個數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．22．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）在定義域內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，條件p：函數(shù)y＝f（x）在一點的導(dǎo)數(shù)值為0，條件q：函數(shù)y＝f（x）在這點取極值，則條件p是q的（）A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．必要非充分條件3．（5分）函數(shù)y＝x3+x的遞增區(qū)間是（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）4．（5分）隨機變量X所有可能取值的集合是{﹣2，0，3，5}，且P（X＝﹣2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝5）＝，則P（﹣1＜X＜4）的值為（）A． B． C． D．5．（5分）某地四月份刮東風(fēng)的概率是，既刮東風(fēng)又下雨的概率是，則該地四月份刮東風(fēng)的條件下，下雨的概率為（）A． B． C． D．6．（5分）雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2，則a＝（）A．1 B．2 C． D．47．（5分）若函數(shù)f（x）＝x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]8．（5分）已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3，4}，定義函數(shù)f：M→N．若點A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圓圓心為D，且，則滿足條件的函數(shù)f（x）有（）A．6個 B．10個 C．12個 D．16個二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．（多選）9．（5分）下列說法錯誤的是（）A．某人打靶，射擊10次，擊中7次，則此人中靶的概率為0.7 B．一位同學(xué)做拋硬幣試驗，拋6次，一定有3次“正面朝上” C．某地發(fā)行福利彩票，回報率為47%，若有人花了100元錢買彩票，則一定會有47元的回報 D．發(fā)生的概率等于1的事件不一定為必然事件（多選）10．（5分）設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為，則下列結(jié)論中正確的是（）A．y與x具有負的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過樣本點的中心（，） C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg D．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg（多選）11．（5分）設(shè)X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中不正確的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1） C．對任意正數(shù)t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．對任意正數(shù)t，P（X≥t）≥P（Y≥t）（多選）12．（5分）在平面直角坐標系中，當(dāng)P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為；當(dāng)P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身．平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”，下列命題為真命題的有（）A．若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A B．單位圓的“伴隨曲線”是它自身 C．若曲線C關(guān)于x軸對稱，則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對稱 D．一條直線的“伴隨曲線”是一條直線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（2x+1）ex，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（0）的值為．14．（5分）若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是．15．（5分）某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了條畢業(yè)留言．（用數(shù)字作答）16．（5分）設(shè)ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一．若在5次之內(nèi)跳到D點，則停止跳動；若5次之內(nèi)不能到達D點，則跳完5次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知f（x）＝ax3+bx2+cx（a≠0）在x＝±1時取得極值，且f（1）＝﹣1，（1）試求常數(shù)a、b、c的值；（2）試判斷x＝±1是函數(shù)的極大值還是極小值，并說明理由．18．（12分）2020年初爆發(fā)的新冠肺炎，席卷全球，持續(xù)至今．全國人民眾志成城抗擊“新冠”，取得了很好的效果，尤其是大家都習(xí)慣戴口罩出行，不到人口聚集的地方去，但是對于節(jié)假日是否到外面就餐大家意見出現(xiàn)分歧．一般來說，老年人（年滿60周歲，包括60周歲）比較保守，顧慮較多，不太贊成出外就餐，而中青年人（18周歲至60周歲）則相對開放一些，認為可以出去就餐．某市衛(wèi)計委就是否贊成出外就餐對400位老年人和中青年人進行了隨機問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表：贊成出外不贊成出外合計老年人60140200中青年人80120200合計140260400（1）有多大的把握認為“是否贊成出外就餐”與“年齡結(jié)構(gòu)”有關(guān)？請說明理由．（2）從上述不贊成出外就餐的市民中按年齡結(jié)構(gòu)用分層抽樣法取出13人，再從這13人中隨機地挑選2人了解他們五一假期期間在出外就餐的消費情況．假設(shè)老年人花費500元左右，中青年人花費1000元左右．用X表示它們在出外就餐消費的總費用，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．P（K2≥k0）0.0500.0250.010k03.8415.0246.63519．（12分）2021年7月1日，是中國共產(chǎn)黨建黨100周年紀念日，全國將舉行各種慶祝活動．某市將邀請一部分老黨員同志參加紀念活動，包括舉行表彰大會、游園會、招待會和文藝晚會等，據(jù)統(tǒng)計，老黨員同志由于身體原因，參加表彰大會、游園會、招待會這三個環(huán)節(jié)（可參加多個，也可都不參加）的情況及其概率如表所示：參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)0123概率（1）若從老黨員同志中隨機抽取2人進行座談，求這2人參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率；（2）某醫(yī)療部門決定從這些老黨員同志中隨機抽取3人進行體檢（其中參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)為3的老黨員人數(shù)大于等于3），設(shè)隨機抽取的這3人中參加3個環(huán)節(jié)的老黨員同志有ξ名，求ξ的分布列．20．（12分）2021年2月25日，中國自豪地向全世界宣布已經(jīng)消除絕對貧困．在現(xiàn)行標準下，9899萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，832個貧困縣全部摘帽，12.8萬個貧困村全部出列，區(qū)域性貧困得到解決，完成了消除絕對貧困的艱巨任務(wù)．某地區(qū)2014年至2020年某農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：年份2014201520162017201820192020年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，分析2014年至2020年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：＝，＝﹣．21．（12分）已知橢圓E：+＝1（a＞b＞0）的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點，直線l：y＝﹣x+3與橢圓E有且只有一個公共點T．（Ⅰ）求橢圓E的方程及點T的坐標；（Ⅱ）設(shè)O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P．證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2＝λ|PA|?|PB|，并求λ的值．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）設(shè)a＝2，b＝．①求方程f（x）＝2的根；②若對于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求實數(shù)m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函數(shù)g（x）＝f（x）﹣2有且只有1個零點，求ab的值．

2020-2021學(xué)年廣東省深圳高級中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．（5分）設(shè)A，B是全集I＝{1，2，3，4}的子集，A＝{1，2}，則滿足A?B的B的個數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由題意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I＝{1，2，3，4}的子集，A＝{l，2}，則滿足A?B的B為：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故選：B．【點評】本題考查了集合之間的運算性質(zhì)、元素與集合之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）在定義域內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，條件p：函數(shù)y＝f（x）在一點的導(dǎo)數(shù)值為0，條件q：函數(shù)y＝f（x）在這點取極值，則條件p是q的（）A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．必要非充分條件【分析】根據(jù)函數(shù)極值與單調(diào)性的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：若函數(shù)y＝f（x）在這點取極值，則函數(shù)y＝f（x）在一點的導(dǎo)數(shù)值為0，即必要性成立，若函數(shù)y＝f（x）在一點的導(dǎo)數(shù)值為0，則f（x）不一定取得極值，比如函數(shù)f（x）＝x3，f′（x）＝3x2，f′（0）＝0，但f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，不存在極值．即充分性不成立，即p是q的必要不充分條件，故選：D．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．3．（5分）函數(shù)y＝x3+x的遞增區(qū)間是（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到函數(shù)在定義域R上遞增．【解答】解：函數(shù)y＝x3+x的導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2+1≥1＞0，則函數(shù)在定義域R上遞增．即有函數(shù)的遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞）．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意運用導(dǎo)數(shù)判斷比運用定義簡潔，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）隨機變量X所有可能取值的集合是{﹣2，0，3，5}，且P（X＝﹣2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝5）＝，則P（﹣1＜X＜4）的值為（）A． B． C． D．【分析】先求出P（X＝0）＝1﹣P（X＝﹣2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝5）＝，再由P（﹣1＜X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝3），能求出結(jié)果．【解答】解：∵隨機變量X所有可能取值的集合是{﹣2，0，3，5}，且P（X＝﹣2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝5）＝，∴P（X＝0）＝1﹣P（X＝﹣2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝5）＝1﹣＝，∴P（﹣1＜X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝3）＝＝．故選：C．【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．5．（5分）某地四月份刮東風(fēng)的概率是，既刮東風(fēng)又下雨的概率是，則該地四月份刮東風(fēng)的條件下，下雨的概率為（）A． B． C． D．【分析】利用條件概率的計算公式即可得出．【解答】解：設(shè)事件A表示四月份刮東風(fēng)，事件B表示四月份下雨．根據(jù)條件概率計算公式可得在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率P（B|A）＝＝，故選：B．【點評】正確理解條件概率的意義及其計算公式是解題的關(guān)鍵．6．（5分）雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2，則a＝（）A．1 B．2 C． D．4【分析】根據(jù)雙曲線漸近線在正方形的兩個邊，得到雙曲線的漸近線互相垂直，即雙曲線是等軸雙曲線，結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)進行求解即可．【解答】解：∵雙曲線的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，∴漸近線互相垂直，則雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為y＝±x，即a＝b，∵正方形OABC的邊長為2，∴OB＝2，即c＝2，則a2+b2＝c2＝8，即2a2＝8，則a2＝4，a＝2，故選：B．【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)雙曲線漸近線垂直關(guān)系得到雙曲線是等軸雙曲線是解決本題的關(guān)鍵．7．（5分）若函數(shù)f（x）＝x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）≥0恒成立，設(shè)t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，對t討論，分t＝0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分離參數(shù)，運用函數(shù)的單調(diào)性可得最值，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x﹣sin2x+asinx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝1﹣cos2x+acosx，由題意可得f′（x）≥0恒成立，即為1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，設(shè)t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，當(dāng)t＝0時，不等式顯然成立；當(dāng)0＜t≤1時，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]遞增，可得t＝1時，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；當(dāng)﹣1≤t＜0時，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）遞增，可得t＝﹣1時，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．綜上可得a的范圍是[﹣，]．另解：設(shè)t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由題意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范圍是[﹣，]．故選：C．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和換元法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題．8．（5分）已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3，4}，定義函數(shù)f：M→N．若點A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圓圓心為D，且，則滿足條件的函數(shù)f（x）有（）A．6個 B．10個 C．12個 D．16個【分析】本題從，說明△ABC是等腰三角形，f（1）＝f（3）；M和N以即函數(shù)的理解，分類乘法計數(shù)原理的應(yīng)用．【解答】解：由，說明△ABC是等腰三角形，且BA＝BC，必有f（1）＝f（3），f（1）≠f（2）；點A（1，f（1））、當(dāng)f（1）＝1＝f（3）時f（2）＝2、3、4，三種情況．f（1）＝f（3）＝2；f（2）＝1、3、4，有三種．f（1）＝f（3）＝3；f（2）＝2、1、4，有三種．f（1）＝f（3）＝4；f（2）＝2、3、1，有三種．因而滿足條件的函數(shù)f（x）有12種．故選：C．【點評】涉及向量，和三角形的轉(zhuǎn)化，函數(shù)的定義；△ABC是等腰三角形，且BA＝BC?f（1）＝f（3），這是解題的關(guān)鍵．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．（多選）9．（5分）下列說法錯誤的是（）A．某人打靶，射擊10次，擊中7次，則此人中靶的概率為0.7 B．一位同學(xué)做拋硬幣試驗，拋6次，一定有3次“正面朝上” C．某地發(fā)行福利彩票，回報率為47%，若有人花了100元錢買彩票，則一定會有47元的回報 D．發(fā)生的概率等于1的事件不一定為必然事件【分析】直接利用隨機事件和必然事件和不可能事件的定義判定A、B、C、D的結(jié)論．【解答】解：對于A：某人打靶，射擊10次，擊中7次，則此人中靶的概率為0.7，是一個隨機事件，故A錯誤；對于B：一位同學(xué)做拋硬幣試驗，拋6次，不一定有3次“正面朝上”故B錯誤；對于C：某地發(fā)行福利彩票，回報率為47%，若有人花了100元錢買彩票，則一定會有47元的回報，中獎不中獎，無法預(yù)料，故C錯誤；對于D：必然事件的概率為1，但是，概率為1的事件不一定是必然事件，故D正確；故選：ABC．【點評】本題考查的知識要點：隨機事件和必然事件和不可能事件的關(guān)系，主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為，則下列結(jié)論中正確的是（）A．y與x具有負的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過樣本點的中心（，） C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg D．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg【分析】由＞0判斷A正確；由線性回歸方程恒過樣本點的中心判斷B；由回歸直線方程中y、x與的關(guān)系判斷C，D．【解答】解：根據(jù)y關(guān)于x的線性回歸方程＝0.85x﹣85.71，其中0.85＞0，說明y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A不正確；回歸直線過樣本點的中心（，），B正確；由線性回歸方程知，若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg，故C正確；若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可預(yù)測其體重必為58.79kg，不可斷定其體重必為58.79kg，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查線性回歸方程及其應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）設(shè)X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中不正確的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1） C．對任意正數(shù)t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．對任意正數(shù)t，P（X≥t）≥P（Y≥t）【分析】直接利用正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，確定出兩個均值及標準差的大小，然后結(jié)合圖像比較概率的大小．【解答】解：因為X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），由圖可知：兩圖像分別關(guān)于x＝μ1，x＝μ2對稱，顯然μ1＜μ2，因為X的分布曲線“高瘦”，Y的分布曲線“矮胖”，故σ1＜σ2．故P（Y≥μ1）＞P（Y≥μ2），P（X≤σ2）＞P（X≤σ1），所以，A，B錯誤；對任意的正數(shù)t，P（X≤t）＞p（Y≤t），則P（X≥t）≤P（Y≥t），故C正確，D錯誤．故選：ABD．【點評】本題考查了正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）在平面直角坐標系中，當(dāng)P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為；當(dāng)P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身．平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”，下列命題為真命題的有（）A．若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A B．單位圓的“伴隨曲線”是它自身 C．若曲線C關(guān)于x軸對稱，則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對稱 D．一條直線的“伴隨曲線”是一條直線【分析】利用新定義，轉(zhuǎn)化求解判斷4個命題，是否滿足新定義，推出結(jié)果即可．【解答】解：對于A，若令A(yù)為（1，1），則其“伴隨點”為A′（，﹣），而A′（，﹣）的“伴隨點”為（﹣1，﹣1），而不是A，故A錯誤；對于B，設(shè)單位圓上任一點的坐標為P（cosx，sinx），其“伴隨點”為P'（sinx，﹣cosx）仍在單位圓上，故B正確；對于C，設(shè)曲線f（x，y）＝0關(guān)于x軸對稱，則f（x，﹣y）＝0與方程f（x，y）＝0表示同一曲線，其“伴隨曲線”分別為，f（，）＝0與f（，）＝0也表示同一曲線，又曲線f（，）＝0與曲線f（，）＝0的圖象關(guān)于y軸對稱，所以C正確；對于D，直線y＝kx+b上任一點P（x，y）的“伴隨點”為P′（，），∴P′的軌跡是圓，故D錯誤，故選：BC．【點評】本題考查了命題的真假的判斷與應(yīng)用，新定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（2x+1）ex，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（0）的值為3．【分析】先求導(dǎo)，再帶值計算．【解答】解：∵f（x）＝（2x+1）ex，∴f′（x）＝2ex+（2x+1）ex，∴f′（0）＝2e0+（2×0+1）e0＝2+1＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是9．【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出M到準線x＝﹣1的距離為10，故到y(tǒng)軸的距離為9．【解答】解：拋物線的準線為x＝﹣1，∵點M到焦點的距離為10，∴點M到準線x＝﹣1的距離為10，∴點M到y(tǒng)軸的距離為9．故答案為：9．【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了1560條畢業(yè)留言．（用數(shù)字作答）【分析】通過題意，列出排列關(guān)系式，求解即可．【解答】解：某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了＝40×39＝1560條．故答案為：1560．【點評】本題考查排列數(shù)個數(shù)的應(yīng)用，注意正確理解題意是解題的關(guān)鍵．16．（5分）設(shè)ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一．若在5次之內(nèi)跳到D點，則停止跳動；若5次之內(nèi)不能到達D點，則跳完5次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共26種．【分析】由題意，青蛙不能經(jīng)過跳1次、2次或4次到達D點，故可以分青蛙跳3次到達D點和青蛙一共跳5次后停止兩種情況分別計算，利用分類計數(shù)原理可得結(jié)論．【解答】解：青蛙不能經(jīng)過跳1次、2次或4次到達D點．故青蛙的跳法只有下列兩種：（1）青蛙跳3次到達D點，有ABCD，AFED兩種跳法；（2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不到達D，只能到達B或F，則共有AFEF，AFAF，ABAF，ABCB，ABAB，AFAB這6種跳法．隨后的兩次跳法各有四種，比如由F出發(fā)的有：FEF，F(xiàn)ED，F(xiàn)AF，F(xiàn)AB共四種．因此這5次跳法共有6×4＝24種不同跳法．所以，一共有2+24＝26種不同跳法．故答案為：26．【點評】本題考查加法原理和乘法原理的運用，考查了學(xué)生分析解答問題的能力．解題的關(guān)鍵是從已知分析得到，青蛙不能經(jīng)過跳1次、2次或4次到達D點，從而從青蛙跳3次到達D點和青蛙一共跳5次后停止兩種情況入手分別計算．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知f（x）＝ax3+bx2+cx（a≠0）在x＝±1時取得極值，且f（1）＝﹣1，（1）試求常數(shù)a、b、c的值；（2）試判斷x＝±1是函數(shù)的極大值還是極小值，并說明理由．【分析】（1）是實數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點，再通過極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點必為f′（x）＝0的根建立起由極值點x＝±1所確定的相關(guān)等式，運用待定系數(shù)法確定a、b、c的值．（2）求出f′（x）并分解因式討論x的取值決定f′（x）的正負研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．【解答】（1）解：由f′（1）＝f′（﹣1）＝0，得3a+2b+c＝0，①3a﹣2b+c＝0．②又f（1）＝﹣1，∴a+b+c＝﹣1．③由①②③解得a＝，b＝0，c＝﹣．（2）解：f（x）＝x3﹣x，∴f′（x）＝x2﹣＝（x﹣1）（x+1）．當(dāng)x＜﹣1或x＞1時，f′（x）＞0；當(dāng)﹣1＜x＜1時，f′（x）＜0．∴x＝﹣1時，f（x）有極大值；x＝1時，f（x）有極小值．【點評】考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力．18．（12分）2020年初爆發(fā)的新冠肺炎，席卷全球，持續(xù)至今．全國人民眾志成城抗擊“新冠”，取得了很好的效果，尤其是大家都習(xí)慣戴口罩出行，不到人口聚集的地方去，但是對于節(jié)假日是否到外面就餐大家意見出現(xiàn)分歧．一般來說，老年人（年滿60周歲，包括60周歲）比較保守，顧慮較多，不太贊成出外就餐，而中青年人（18周歲至60周歲）則相對開放一些，認為可以出去就餐．某市衛(wèi)計委就是否贊成出外就餐對400位老年人和中青年人進行了隨機問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表：贊成出外不贊成出外合計老年人60140200中青年人80120200合計140260400（1）有多大的把握認為“是否贊成出外就餐”與“年齡結(jié)構(gòu)”有關(guān)？請說明理由．（2）從上述不贊成出外就餐的市民中按年齡結(jié)構(gòu)用分層抽樣法取出13人，再從這13人中隨機地挑選2人了解他們五一假期期間在出外就餐的消費情況．假設(shè)老年人花費500元左右，中青年人花費1000元左右．用X表示它們在出外就餐消費的總費用，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．P（K2≥k0）0.0500.0250.010k03.8415.0246.635【分析】（1）求出K2，與臨界值作比較，即可得出結(jié)論；（2）13人中有老年人7人，中青年人6人，可得X＝2000，1500，100，分別求出對應(yīng)的概率，即可求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）因為K2＝＝≈4.3956＞3.841，所以有95%的把握認為“是否贊成出外就餐”與“年齡結(jié)構(gòu)”有關(guān)．（2）因為140：120＝7：6，所以13人中有老年人7人，中青年人6人，那么X＝2000，1500，100，P（X＝2000）＝＝，P（X＝1500）＝＝，P（X＝1000）＝＝，所以X的分布列為：X200015001000P所以E（X）＝2000×+1500×+1000×＝．【點評】本題主要考查獨立性檢驗，離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查運算求解能力，屬于中檔題．19．（12分）2021年7月1日，是中國共產(chǎn)黨建黨100周年紀念日，全國將舉行各種慶祝活動．某市將邀請一部分老黨員同志參加紀念活動，包括舉行表彰大會、游園會、招待會和文藝晚會等，據(jù)統(tǒng)計，老黨員同志由于身體原因，參加表彰大會、游園會、招待會這三個環(huán)節(jié)（可參加多個，也可都不參加）的情況及其概率如表所示：參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)0123概率（1）若從老黨員同志中隨機抽取2人進行座談，求這2人參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率；（2）某醫(yī)療部門決定從這些老黨員同志中隨機抽取3人進行體檢（其中參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)為3的老黨員人數(shù)大于等于3），設(shè)隨機抽取的這3人中參加3個環(huán)節(jié)的老黨員同志有ξ名，求ξ的分布列．【分析】（1）設(shè)“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同”為事件M，則“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)相同”為事件，求出P（），由對立事件的概率計算公式可得P（M）．（2）根據(jù)題意可知隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，求出概率得到隨機變量ξ的分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）設(shè)“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同”為事件M，則“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)相同”為事件，根據(jù)題意可知P（）＝（）2+（）2+（）2+（）2＝，由對立事件的概率計算公式可得P（M）＝1﹣P（）＝，故這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率為．（2）根據(jù)題意可知隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，且P（ξ＝0）＝C30×（1﹣）3＝，P（ξ＝1）＝C31××（1﹣）2＝，P（ξ＝2）＝C32×（）2×（1﹣）＝，P（ξ＝3）＝C33×（）3＝，則隨機變量ξ的分布列為ξ0123P數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．【點評】本題考查獨立事件的概率，離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查運算求解能力，是中檔題．20．（12分）2021年2月25日，中國自豪地向全世界宣布已經(jīng)消除絕對貧困．在現(xiàn)行標準下，9899萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，832個貧困縣全部摘帽，12.8萬個貧困村全部出列，區(qū)域性貧困得到解決，完成了消除絕對貧困的艱巨任務(wù)．某地區(qū)2014年至2020年某農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：年份2014201520162017201820192020年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，分析2014年至2020年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：＝，＝﹣．【分析】（1）求出樣本中心，然后由參考公式求出的值，即可得到y(tǒng)關(guān)于t的線性回歸方程；（2）根據(jù)的實際意義分析2014年至2020年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，將t＝9代入線性回歸方程，即可預(yù)測該地區(qū)2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，×（1+2+3+4+5+6+7）＝4，×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）＝4.3，所以，，故＝＝，則＝﹣＝4.3﹣0.5×4＝2.3，所以y關(guān)于t的線性回歸方程為；（2）由（1）可得，，所以2014年至2020年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5萬元，2022年對應(yīng)的年份代碼為9，當(dāng)t＝9時，，所以預(yù)測該地區(qū)2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8萬元．【點評】本題考查了線性回歸方程的求解，要掌握線性回歸方程必過樣本中心這一知識點，考查了邏輯推理能力與運算能力，屬于中檔題．21．（12分）已知橢圓E：+＝1（a＞b＞0）的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點，直線l：y＝﹣x+3與橢圓E有且只有一個公共點T．（Ⅰ）求橢圓E的方程及點T的坐標；（Ⅱ）設(shè)O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P．證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2＝λ|PA|?|PB|，并求λ的值．【分析】（Ⅰ）【解法一】根據(jù)橢圓的短軸端點C與左右焦點F1、F2構(gòu)成等腰直角三角形，結(jié)合直線l與橢圓E只有一個交點，利用判別式Δ＝0，即可求出橢圓E的方程和點T的坐標；【解法二】根據(jù)勾股定理和直線與橢圓的位置關(guān)系列方程組求出a2、b2，從而求出橢圓的方程．（Ⅱ）【解法一】作伸縮變換，令x′＝x，y′＝y(tǒng)，把橢圓E變?yōu)閳AE′，利用圓冪定理求出λ的值，從而證明命題成立．【解法二】設(shè)出點P的坐標，根據(jù)l′∥OT寫出l′的參數(shù)方程，代入橢圓E的方程中，整理得出方程，再根據(jù)參數(shù)的幾何意義求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2＝λ|PA|?|PB|求出λ的值．【解答】解：（Ⅰ）【解法一】設(shè)短軸一端點為C（0，b），左右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），其中c＞0，則c2+b2＝a2；由題意，△F1F2C為直角三角形，∴＝+，解得b＝c＝a，∴橢圓E的方程為+＝1；代入直線l：y＝﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2＝0，又直線l與橢圓E只有一個交點，則Δ＝122﹣4×3（18﹣2b2）＝0，解得b2＝3，∴橢圓E的方程為+＝1；由b2＝3，解得x＝2，則y＝﹣x+3＝1，所以點T的坐標為（2，1）；【解法二】根據(jù)勾股定理，可得a2+a2＝（2c）2，其中c為橢圓的半焦距，由直線與橢圓聯(lián)立的等效判別式可得a2?12+b2?12﹣（﹣3）2＝0，根據(jù)橢圓列出方程組，解得，所以橢圓E的方程為+＝1．（Ⅱ）【解法一】作伸縮變換，令x′＝x，y′＝y(tǒng)，則橢圓E變?yōu)閳AE′：x′2+y′2＝6，設(shè)此時P、A、B、T對應(yīng)的點分別為P′、A′、B′、T′，如圖所示；則＝＝，＝＝，兩式相比，得：＝，由圓冪定理得，|P′T′|2＝|P′A′|?|P′B′|，所以＝，即λ＝，原命題成立．【解法二】設(shè)P（x0，3﹣x0）在l上，由kOT＝，l′平行OT，得l′的參數(shù)方程為，