經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上函數(shù)與極限的筆記

《經(jīng)（上）筆記整一、函函數(shù)的兩個要素：定義域和對應(yīng)（1（2（3①分母②偶次根號內(nèi)③對數(shù)中的真【練習(xí)P45，4（1（2（6）這三道題根據(jù)上邊的知識點(diǎn)就能做出來了。求定義域取并集（6）y=lg解：由題得，{3x>|x|?1>x<∴{x<?1x>∴此函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，?分段函數(shù)：①分段函數(shù)是一個函數(shù)；②分段函數(shù)的定義域取并常用的三角函數(shù)角π2π01010-0不存0函數(shù)的有界性（了解，書P8圖從圖像上看，函數(shù)的有界性是指：圖像被兩條平行于x軸的直線y=M，y=-M了。常見的有界函數(shù)①y=c常數(shù)函數(shù)；②y=sinx；③y=cosx，以及由這些有界函數(shù)經(jīng)過函數(shù)的奇偶性（書常見的奇函數(shù)：①y=x奇；②y=sin常見的偶函數(shù)：①y=x偶；②y=cos注意：奇函數(shù)可以認(rèn)為是﹣時直接帶符號。但函數(shù)的奇偶性與它前邊的正負(fù)號無關(guān)。判斷函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)＞0，為增函（1）求導(dǎo)

導(dǎo)數(shù)＜0，為減函（2）圖像從左到右

圖像下降為減函基本初等函數(shù)（書“基本”指的是函數(shù)的原型：自變量的位置是一個字其他函數(shù)還沒復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)是由若干個基本的或簡單的函數(shù)通過代入得到書上的分解復(fù)合函數(shù)題得答案都是倒著的，你把順序改過來就對了?！緯鳳7（1）~（6，補(bǔ)充：y=esin2(x+4)，解：y=eu，u=v2，v=sint，t=x+4y=sin3x=（sin初等函數(shù)都是初等函數(shù)。常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)書上有概念和，看懂就行了。主要記住線性的函數(shù)，均衡價格?！緯鰰螾40的例1、例2【書P4722解：R= 130Q,0<??≤700×130+(Q?700)×130×90%,700<??≤所以，R= 130Q,0<??≤91000+117(Q?700),700<??≤【書P48，23∵?！緯鴓48,26解：設(shè)線性成本函數(shù)為由題得【例題游戲機(jī)每臺賣110固定成本7500可變成本為每臺60元要賣多少臺，廠家才可保本（收回投資（2）若賣100廠家或虧損多少？（3）要獲得1250元解（1）C（x）=C（固）+C（變∵?！郈（x）=R（x） ∴虧損C（100）-二、極（P21，重點(diǎn)講P21的第2限：x→x0時函數(shù)的極限★①x→x0，x從x0兩側(cè)方向無限接近②??→x0，xx0右側(cè)方向無限接近③??→x0，xx0左側(cè)方向無限接近★④x→∞，|x|無限⑤x→+∞，x的值無限增⑥x→-∞，x的值無限減①極限A是常數(shù)，y越來越接近②y→A與x在x0處是否有定義無左極限與右極限知道左極限是需要看懂定義

??(x)=A，右極限是

??(x)=A，就行了分段函數(shù)討論分段點(diǎn)處的極限（會做P22例5）已知f(x)={

3x2?a，x<12x+4，x≥1

x=1處有極限，求解

(3x2?a)=3?a（左極限，見1(2x4)=6（右極限，見1∵x=1有∴3-∴a=-【根據(jù)知識點(diǎn)4、5所知，函數(shù)有極限，說明左極限=右極限極限的運(yùn)算（P25【會做下邊（1）limf（x）=f（□，將→后的“□”代入f（x）（做任題得方法都是先代入，看看該怎樣做。分子分母沒有得0或∞的或只有一項(xiàng)得0或∞的，直接代入做，看第1步。若分子分母都為的，看第2步。若分子分母中都為∞的，看第3）若0，則limf（x）=0；若k，則limf（x）=∞ 若∞，則…………=∞；若k， （2）0型，未定式0①分解因式②有根號，有l(wèi)imsinx=1?limsin□=1【見下邊7（1 ④法則（還沒講∞（3）∞n①limax

0，上小下大(最高次冪 ∞，上大下x→∞

a（最高次冪前的系數(shù)比={b{②法則（還沒講【例題：求極limx2?9（0型，未定式【分解因式，再代入x→3 =lim =lim（x+②limx2?4x+3（0型，未定式【分解因式，再代入x→1 =lim(x?1)（x?3）x→1=limx?3x→1=-3lim√x+1?1（0型，未定式【有根號，分子有理 =lim（√x+1?1（√x+1+1） = x→0= x→02 x?2（0型，未定式【有根號，分母有理x→2 = x→2（√x+7?3（√x+7+3）=lim =lim(√x+7+⑤

2x2+x+1=2（∞型，未定式【分子與分母的最高次方都

2，上=下，得前邊的系數(shù)比⑥

2x2+x+1=0（∞型，未定式【分子的最高次方是2，分母

最高次方是3，上小下大，得0⑦

2x3+1=∞（∞型，未定式【分子的最高次方是3，分母的x→∞ 高次方是2，上大下小，得∞【課上的練習(xí)①lim

(2x2?x+1)=11（直接把-2入limx?3=0（把3代入，得0=x→3 ③

x?3=∞（把-1k=∞x→?1 ④

x2+1=∞（把∞代入，得∞=∞⑤

=0（把∞代入，得k=x→∞ ⑥limx2?5x+4（0型，未定式【分解因式，再代入x→4 =lim(x?1)(x?4)x→4=limx?1x→4=limx→4=limx→4⑦limx2?1x→1

（0型，未定式【分解因式，再代0=lim =lim（x+=⑧

2x+1=2（∞型，未定式【分子與分母的最高次方都是1，x→∞ =下，得前邊的系數(shù)比⑨

3x2?5x=0（∞型，未定式【分子的最高次方是2，分母

高次方是3，上小下大，得0⑩

=∞（∞型，未定式【分子的最高次方是3，分母x→∞ 高次方是2，上大下小，得∞P46，12（1）~（8（11（1）直接代入（2）先代入，得0=0（3）直（4）先k入，得k=∞0先代入，得0型，因式分解0

x→1=limx→1=limx→13先代入，得0型，因式分解0lim

=lim =lim2

先代入，得∞型，未定式【分子與分母的最高次方都是1，∞=下，得前邊的系數(shù)比先代入，得∞型，未定式【分子的最高次方是1，分母的最∞次方是3，上小下大，得0（11）先代入，得0型，因式分解0

x→3=lim(x?2)（x?3）x→3=limx?2x→3=-2兩個重要極限（P29【會做下邊的例題???????????? = ①0型，含三角0limsin□=1【見上邊6（2）的③】做題時要把它化成這種形 來做【例題：求極①lim

sin（x?1）=②limsin（x?1）= ③lim =lim

④lim =limx→1=2limsinkx=k，如limsin5x=sin5x·5=

⑥limsin3xx→0sinsin=3x=sin4x4⑦limtan =??????????????·??→0?????? =limsinx cos= x→0P46，13（1（6（1）同上的（6）limx→0lim x→0x=

x→0xlim x→0x=limx→011

(1

=e

x)x（P31 ①1∞型，未定式②括號內(nèi)為“1（見下邊例題的第2、3道③括號內(nèi)“+”后邊的式子與外邊的指數(shù)互為倒④求極限時，指數(shù)中出現(xiàn)的“+、-的所有常數(shù)去掉，對題目無影響（見下邊例題的第4）【例題：求極①lim

（1+x2

）

（1∞型=

（1 x②lim

（1?

）（1∞型=lim

[1+（2）] =e【注意括號內(nèi)必須為（1+……，此題為“1-……”。最好把負(fù)x的前邊 1 ③

(1?2x)3x（1型=lim

[1+(?2x)]?·(? =e④lim

（1+））

）

（1∞型=lim

（1+3 =lim

5x5（1+3）3·56【本題中指數(shù)后邊的加減常數(shù)，對題目無影響，所以在第1步中先知道極限為0的函數(shù)就是無窮小，就行了無窮大的倒數(shù)是無窮恒不為0的無窮小的倒數(shù)為無窮大記住p24的性質(zhì)1.2【0（無窮?。劣薪绾瘮?shù)（見《函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)性（書函數(shù)f（x）在點(diǎn)??0處連續(xù)，必須同時滿足以下3個條件①f（x）在點(diǎn)??0處有定②lim??（x）存在（左極限=右極限③lim函數(shù)在點(diǎn)??0處連續(xù)，則其圖像在點(diǎn)??0處不斷開。若3條中有一條不設(shè)f(x)={解

??，x≤16???5，x>1

，討論f（x）在x=1處的連續(xù)性①②

??=

（6x?5）=∴l(xiāng)imf（x）=③limf(x)=1=即函數(shù)在x=1連【滿足3個條件就可以了【練習(xí)已知f(x)

sin3x??，x=1{（1+x）??+①x=0處有極限，求a、②x=0處連續(xù)，求a、間。②連續(xù)，則需要滿足3解①

[（1+x）??+a]=e+sin3x=∵f（x）在x=0處有②lim??（x）=∵f（x）在x=0處連∴b=3，此時a=3-【作業(yè)中的題已知f(x)

??·sin??+a，x<3??+1，x=3 ?????2，x>①x=0處有極限，求a、②x=0處連續(xù)，求a、解

??· +a）= 【??·sin

0，用到了“無窮小有界函數(shù)=無窮(0)”的知識點(diǎn)

(?????2)=∵f（x）在x=0處有∴a=-lim??(x)=∵f（x）在x=0處連∴b+1=-1，此時a=-【總結(jié)：極限運(yùn)算的f（x）=f（□，得方法都是先代入，看看該怎樣做。分子分母沒有得0或∞的，只有一項(xiàng)得0或∞的，直接代入做，看第1步。若分子分母都為的，看第2步。若分子分母中都為∞的，看第3）若0，則limf（x）=0；若k，則limf（x）=∞ 若∞，則…………=∞；若k， ??型，未定式①分解因式②有根號，有l(wèi)imsinx=1?limsin□=1【見下