自動(dòng)控制原理二九

第五節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析法5/17/20231

利用根軌跡，可以對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)的位置；分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)；對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。5/17/20232一、條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析

[例4-11]：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制根軌跡并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的區(qū)值范圍。開環(huán)極點(diǎn)：0，-4，-6，，零點(diǎn)：實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)：傾角：[解]根據(jù)繪制根軌跡的步驟，可得：5/17/20233分離角（點(diǎn)）：3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50s的最大值為9.375，這時(shí)s=-2.5，是近似分離點(diǎn)。由：可以求得分離點(diǎn)。近似求法：分離點(diǎn)在[-4，0]之間。5/17/20234入射角：與虛軸的交點(diǎn)（略）。這時(shí)的增益值：由圖可知：當(dāng)和時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的（為什么？）；當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。左圖是用Matlab工具繪制的。5/17/20235條件穩(wěn)定系統(tǒng)：參數(shù)在一定的范圍內(nèi)取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定，這樣的系統(tǒng)叫做條件穩(wěn)定系統(tǒng)。具有正反饋的環(huán)節(jié)。下面的系統(tǒng)就是條件穩(wěn)定系統(tǒng)的例子：開環(huán)非最小相位系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡必然有一部分在s的右半平面；5/17/20236[例]非最小相位系統(tǒng)：，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的增益值。[解]：根軌跡如右：有閉環(huán)極點(diǎn)在右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。顯然穩(wěn)定臨界點(diǎn)在原點(diǎn)。該點(diǎn)的增益臨界值為。閉環(huán)特征方程為：，當(dāng)s=0時(shí)，，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：5/17/20237二、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定

利用根軌跡可以清楚的看到開環(huán)根軌跡增益或其他開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置及其瞬態(tài)性能的改變情況。以二階系統(tǒng)為例：開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為共軛極點(diǎn)為：在s平面上的分布如右圖：閉環(huán)極點(diǎn)的張角為：所以稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。5/17/20238我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標(biāo)是超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。這些性能指標(biāo)和閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系如下：的關(guān)系如下圖若閉環(huán)極點(diǎn)落在下圖中紅線包圍的區(qū)域中，有：5/17/20239上述結(jié)論也可應(yīng)用于具有主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)中。如下例：[例4-12]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量，試確定開環(huán)放大系數(shù)。[解]：首先畫出根軌跡如右。由圖可以看出：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為+j5,-j5，這時(shí)的臨界增益當(dāng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5/17/202310下面計(jì)算超調(diào)量和阻尼角的關(guān)系。由于：當(dāng)時(shí)解得：這是一個(gè)三階系統(tǒng)，從根軌跡上看出，隨著的增加，主導(dǎo)極點(diǎn)越顯著。所以可以用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)近似計(jì)算。在根軌跡圖上畫兩條與實(shí)軸夾角為的直線，與根軌跡交與A、B兩點(diǎn)。則A、B兩點(diǎn)就是閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)，這時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)量為18%。通過求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以確定這時(shí)的根軌跡增益，進(jìn)而求得開環(huán)放大系數(shù)k。設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為：，則：（1）相角條件為：（2）5/17/202311由(1)，(2)式解得：共軛主導(dǎo)極點(diǎn)為：。計(jì)算對(duì)應(yīng)的根軌跡增益。由幅值條件：解得：開環(huán)傳遞函數(shù)以的形式表示時(shí)，k稱為開環(huán)放大系數(shù)。顯然的關(guān)系為：，式中不計(jì)0極點(diǎn)。所以，開環(huán)放大系數(shù)：由于閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和，所以另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為：5/17/202312[特別提示]：開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡形狀的影響是值得注意的。一般說，開環(huán)傳遞函數(shù)在s左半平面增加一個(gè)極點(diǎn)將使原根軌跡右移。從而降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間。5/17/2023135/17/202314若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個(gè)零點(diǎn)，則原根軌跡向左移動(dòng)。從而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間。5/17/202315Matlab參考書推薦：現(xiàn)代控制工程，[美]KatsuhikoOgats,盧伯英譯，電子工業(yè)出版社MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，歐陽黎明著，國(guó)防工業(yè)出版社三、用Matlab繪制根軌跡5/17/202316num=[0001];%開環(huán)傳遞函數(shù)分子系數(shù)，降冪排列den=[1320];%開環(huán)傳遞函數(shù)分母系數(shù)，降冪排列r=rlocus(num,den);[例子]系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試?yán)肕atlab畫出系統(tǒng)的根軌跡。[解]打開Matlab,創(chuàng)建一個(gè)m文件，輸入下列程序片段：執(zhí)行之，可得到根軌跡。5/17/202317例4-13．已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計(jì)算使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍；（3）計(jì)算系統(tǒng)對(duì)于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。

[解]：（1）畫根軌跡：5/17/202318

求出射角：，得。該系統(tǒng)有三條根軌跡，一條從原點(diǎn)起始，終止于開環(huán)零點(diǎn)-1處；另兩條從原點(diǎn)以的出射角起始，分別終止于-3和無窮零點(diǎn)處。會(huì)合分離點(diǎn)：由方程得解得在根軌跡上，因此是會(huì)合點(diǎn)。不在根軌跡上，舍去。5/17/202319求與虛軸交點(diǎn)系統(tǒng)特征方程為勞斯表為當(dāng)時(shí)，由輔助方程，可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為。（2）由勞斯表可知當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）系統(tǒng)含有三個(gè)積分環(huán)節(jié)，屬Ⅲ型系統(tǒng)，Ⅲ型系統(tǒng)對(duì)于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。5/17/202320畫根軌跡

分離（會(huì)合）點(diǎn)分別為-2.93和-17.07，分離（會(huì)合）角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。例4-14．已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計(jì)算當(dāng)增益k為何值時(shí)，系統(tǒng)的阻尼比是，并求此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對(duì)系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。5/慢4/綢20鏟2321當(dāng)時(shí)，阻尼角，表示角的直線為OB,其方程為，代入特征方程整理后得：令實(shí)部和虛部分別為零，有解得 由圖可知當(dāng)時(shí)直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比，特征根為。

5/女4/共20搬2322對(duì)于分離點(diǎn)，由幅值條件可知對(duì)于會(huì)合點(diǎn)，有由根軌跡圖可知，當(dāng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)不等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)呈過阻尼狀態(tài)。當(dāng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)呈欠阻尼狀態(tài)。當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對(duì)不等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，瞬態(tài)響應(yīng)又呈過阻尼狀態(tài)。5/運(yùn)4/愿20等2323由坐標(biāo)原點(diǎn)作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線OB與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由上可知，此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為。5/4赴/20為2324[例4叔-15叉]：設(shè)慈系統(tǒng)A和B有相斤同的樣被控貴對(duì)象賺，且溫有相愿同的博根軌替跡，他如下重圖所禽示。頁已知抗系統(tǒng)A有一膏個(gè)閉補(bǔ)環(huán)零建點(diǎn)，更系統(tǒng)B沒有閉寫環(huán)零點(diǎn)壇。試求疊系統(tǒng)A和B的開誰環(huán)傳昨遞函紫數(shù)和淋它們微所對(duì)蓮應(yīng)的積閉環(huán)擔(dān)方塊錫圖。5/冶4/映20捆2325②系統(tǒng)A和B的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為：[解]：①由于兩系統(tǒng)的根軌跡完全相同，因而它們對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程式也完全相同。由上頁圖可知系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：5/扒4/景20喇2326由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數(shù)為：。系統(tǒng)B的前向通路傳遞函數(shù)為：，反饋通路傳遞函數(shù)為：。由于系統(tǒng)A和B有相同的被控對(duì)象，因此，系統(tǒng)的A的前向通路傳遞函數(shù)可寫為：，閉環(huán)方塊圖如下圖（a）所示，系統(tǒng)B的閉環(huán)方塊圖如下圖（b）所示。圖(a)A系統(tǒng)圖(b)B系統(tǒng)根軌跡典相同的壓系統(tǒng)，量開環(huán)傳風(fēng)遞函數(shù)洞和閉環(huán)增極點(diǎn)都銅相同，熔但閉環(huán)魯零點(diǎn)卻團(tuán)不一定收相同。5/4須/20吩2327[例4-16]:已知單位反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。（1）寫出該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（2）試用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ瓜到y(tǒng)在任意K值時(shí)均處于穩(wěn)定的狀態(tài)。5/4即/20伯2328[解所]：①由根軌零跡圖知后系統(tǒng)的鑼開環(huán)傳惱遞函數(shù)駛為：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：提示晝：①加入培比例肆微分降控制率后，懼系統(tǒng)助增加即了開羨環(huán)零績(jī)點(diǎn)。②在系菊統(tǒng)中夫加入竄零點(diǎn)忌后，雕將使醒根軌揪跡左溉移，彼有利伍于系異統(tǒng)的翅穩(wěn)定羅性。

②當(dāng)在系統(tǒng)中加入比例微分控制時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)增加了一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)：這時(shí)漸近線與實(shí)軸的夾角為：，只要漸近線與負(fù)實(shí)軸相交,系統(tǒng)的根軌跡就在左半S平面。因此有： ，所以 。 5/4館/20魯2329從下圖墨可以看炭出：a越小勝，根邁軌跡最越左爆，穩(wěn)券定性巷越好豪。a<歡6時(shí)，魚根軌葉跡全城部在s左半平律面。a=6時(shí)，根礙軌跡有葉一部分乳在虛軸宏上。a>6時(shí)，根儀軌跡有最一部分眨在s右半平推面。cl統(tǒng)ea街r解al林l;nu泛m1組=[孩0醒0某1乏3]喝;den州1=[通16寬0袖0];num亦2=[層00炸1喊5];de抱n2蒙=[柿1早6饒0顫0]微;num堪3=[砍00洗1庸7];de婦n3太=[鵲1勁6睜0隸0]暮;h1烤=tf(n拍um若1,鳥de傷n1況);h2雜=tf(nu長(zhǎng)m2,辯den叛2);h3=tf(nu童m3,撲den霜3);rlo糊cus(h科1,園h2握,h馳3)作業(yè)：帽4-7猾，4-商10，投4-1亭15/副4/垮20萄2330小結(jié)條件育穩(wěn)