已知三角形三點坐標求三角形的面積的各種方法

------------------------------------------------------------------------已知三角形三點坐標求三角形的面積的各種方法已知三角形三點坐標,求三角形的面積先介紹一下三維中的兩點之間距離之式，和二維的幾乎一樣：d=sqrt((x0-x1)^2+(y0-y1)^2+(z0-z1)^2)再介紹叉乘，中心內容！叉乘在定義上有：兩個向量進行叉乘得到的是一個向量，方向垂直于這兩個向量構成的平面，大小等于這兩個向量組成的平行四邊形的面積。在直角座標系[O;i,j,k]中，i、j、k分別為X軸、Y軸、Z軸上向量的單位向量。設P0(0,0,0)，P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)。因為是從原點出發(fā)，所以向量P0P1可簡記為P1，向量P0P2可簡記為P2。依定義有：|i

j

k|

P1×P2=|x1y1z1|

|x2y2z2|展開，得到：上式=iy1z2+jz1x2+kx1y2-ky1x2-jx1z2-iz1y2=(y1z2-y2z1)i+(x2z1-x1z2)j+(x1y2-x2y1)k按規(guī)定，有：單位向量的模為1?？傻貌娣e的模為：|P1×P2|=y1z2-y2z1+x2z1-x1z2+x1y2-x2y1=(y1z2+x2z1+x1y2)-(y2z1+x1z2+x2y1)開始正式內容。我們設三角形的三個頂點為A(x0,y0,z0)，B(x1,y1,z1)，C(x2,y2,z2)。我們將三角形的兩條邊AB和AC看成是向量。然后，我們以A為原點，進行坐標平移，得到向量B(x1-x0,y1-y0,z1-z0)，向量C(x2-x0,y2-y0,z2-z0)。①在三維的情況下，直接代入公式，可得向量B和向量C叉乘結果的模為：|B×C|=((y1-y0)*(z2-z0)+(z1-z0)*(x2-x0)+(x1-x0)*(y2-y0))-

((y2-y0)*(z1-z0)+(z2-z0)*(x1-x0)+(x2-x0)*(y1-y0))|

1

1

1

|

=|x1-x0y1-y0z1-z0|

|x2-x0y2-y0z2-z0|它的一半即為所要求的三角形面積S。還有一種比較簡單的寫法。將向量AB和AC平移至原點后，設向量B為(x1,y1,z1)，向量C為(x2,y2,z2)，則他們的叉乘所得向量P為(x,y,z)，其中：

|y1z1|

|z1x1|

|x1y1|

x=|

|y=|

|z=|

|

|y2z2|

|z2x2|

|x2y2|然后用三維中的兩點之間距離公式，求出(x,y,z)與(0,0,0)的距離，即為向量P的模，它的一半就是所要求的面積了。以上公式都很好記：x分量由y，z分量組成，y分量由z，x分量組成，z分量由x，y分量組成，恰好是循環(huán)的。坐標平移一下就好了。②在二維的情況下，我們可以取z=0這個平面，即令z1=z2=0，且|P1×P2|=x1y2-x2y1|x1y1|

=|

|

|x2y2|所以：

|B×C|=(x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0)|x1-x0y1-y0|

=|

|

|x2-x0y2-y0|它的一半即為所要求的三角形的面積S。注意，用行列式求出來的面積是帶符號的。如果A，B，C是按順時針方向給出，則S為負；按逆時針方向給出，則S為正。以二維的情況為例，三維亦同：A(0,0)B(0,1)C(1,0)(A，B，C按順時針方向給出)S=((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;

=((0-0)*(0-0)-(1-0)*(1-0))/2

=-0.5A(1,0)B(0,1)C(0,0)(A，B，C按逆時針方向給出)S=((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;

=((0-1)*(0-0)-(0-1)*(1-0))/2

=0.5如果你不需要符號的話，再求一下絕對值就好了。這樣也不用去管給出的點的順序了。以上是利用叉乘。其實還有一招，那就是海倫公式：利用兩點之間距離公式，求出三角形的三邊長a，b，c后，令p=(a+b+c)/2。再套入以下公式就可以求出三角形的面積S:S=sqrt(p*