常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用舉例

/NUMPAGES11常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用舉例常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用舉例所謂數(shù)學(xué)思想,就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法地本質(zhì)認(rèn)識(shí),是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律地理性認(rèn)識(shí).所謂數(shù)學(xué)方法,就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題地根本程序,是數(shù)學(xué)思想地具體反映.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)地靈魂,數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)地行為.運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題地過(guò)程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累地過(guò)程,當(dāng)這種量地積累達(dá)到一定程序時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)地飛躍,從而上升為數(shù)學(xué)思想.其實(shí),在初中數(shù)學(xué)中,許多數(shù)學(xué)思想和方法是一致地,兩者之間很難分割.它們既相輔相成,又相互蘊(yùn)含.因此,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法地理解和應(yīng)用,以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)思想地了解,是使數(shù)學(xué)思想與方法得到交融地有效方法.比如化歸思想,可以說(shuō)是貫穿于整個(gè)初中階段地?cái)?shù)學(xué),具體表現(xiàn)為從未知到已知地轉(zhuǎn)化、一般到特殊地轉(zhuǎn)化、局部與整體地轉(zhuǎn)化,課本引入了許多數(shù)學(xué)方法,比如換元法,消元降次法、圖象法、待定系數(shù)法、配方法等.在教學(xué)中,通過(guò)對(duì)具體數(shù)學(xué)方法地學(xué)習(xí),使學(xué)生逐步領(lǐng)略內(nèi)含于方法地?cái)?shù)學(xué)思想；同時(shí),數(shù)學(xué)思想地指導(dǎo),又深化了數(shù)學(xué)方法地運(yùn)用.初中階段《數(shù)學(xué)大綱》要求我們了解地常用地基本數(shù)學(xué)思想有：整體思想與分類地思想、數(shù)形結(jié)合地思想、化歸地思想、函數(shù)與方程地思想,抽樣統(tǒng)計(jì)思想等.《數(shù)學(xué)大綱》中要求“了解”地方法有：分類法、類比法、反證法等.要求“理解”或“會(huì)應(yīng)用”地方法有：建模法、待定系數(shù)法、消元法、降次法、代入法、加減法、因式分解法、配方法、公式法、換元法、圖象法(也稱坐標(biāo)法)以及平行移動(dòng)法、翻折法等.整體思想整體思想是一種常見(jiàn)地?cái)?shù)學(xué)方法,它把研究對(duì)象地某一部分（或全部）看成一個(gè)整體,通過(guò)觀察與分析,找出整體與局部地有機(jī)聯(lián)系,從而在客觀上尋求解決問(wèn)題地新途徑.往往能起到化繁為簡(jiǎn),化難為易地效果.它在解方程地過(guò)程中往往以換元法地形式出現(xiàn).例1、整體通分法計(jì)算解：原式評(píng)注：本題若把單獨(dú)通分,則運(yùn)算較為復(fù)雜；一般情況下,把分母為1地整式看作一個(gè)整體進(jìn)行通分,運(yùn)算較為簡(jiǎn)便.例2、整體代入法：（綿陽(yáng)市05）已知實(shí)數(shù)滿足,求地值.解：化簡(jiǎn)得原式,由得,∴原式.評(píng)注：本題通過(guò)整體變形代入,起到降次化簡(jiǎn)地顯著效果.xmxm30m20m例3、換元法(溫州市05)用換元法解方程(x2＋x)2＋(xxmxm3020A、y2＋y－6＝0B、y2－y－6＝0C、y2－y＋6＝0D、y2＋y＋6＝0解：選A例4、平移法(瀘州05改編)如圖,在寬為20m,長(zhǎng)為30m地矩形地面上修建兩條同樣寬地道路,余下地耕地面積為551m2,試求道路地寬x=m解析：我們只要用平移法把兩條道路分別移到矩形地兩側(cè),就可以把四塊耕地合并為一個(gè)整體,而面積卻沒(méi)有改變,得方程得2、分類思想分類思考地方法是一種重要地?cái)?shù)學(xué)思想,同時(shí)也是一種解題策略.在數(shù)學(xué)中,我們常常需要根據(jù)研究對(duì)象性質(zhì)地差異,按照一定地標(biāo)準(zhǔn),把有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)部分或幾種情況,從而使問(wèn)題明朗化,然后逐個(gè)加以解決,最后予以總結(jié)得出結(jié)論地思想方法.例5、定義分類（濰坊市05）已知圓和圓相切,兩圓地圓心距為8cm,圓地半徑為3cm,則圓地半徑是（）．A、5cmB、11cmC、3cmD、5cm或11cm解：選D（按定義分內(nèi)切與外切兩種）.例6、位置分類(資陽(yáng)市05)若⊙O所在平面內(nèi)一點(diǎn)P到⊙O上地點(diǎn)地最大距離為a,最小距離為b(a>b),則此圓地半徑為A、B、C、或 D、a+b或a-b（）解析：需考慮點(diǎn)P在圓內(nèi)與圓外兩中情況,選C.例7、系數(shù)分類：（淄博市04改編）若關(guān)于x地有實(shí)數(shù)根,則k地取值范圍是（Ａ）k＞－1（Ｂ）k≥－1（Ｃ）k＞－1且k≠0（Ｄ）k≥－1且k≠0第9題圖解：分系數(shù)兩種情況討論,選B.第9題圖例8、運(yùn)算法則分類（衢州市04改編）根據(jù)下圖所示地程序計(jì)算函數(shù)值,若輸出地值為2,則輸入地值為（）A、－B、C、－D、－、解：選A.例9、取值分類：(日照05改編)已知a、b滿足,,則值等于.解：（1）當(dāng)時(shí),值為2；當(dāng)時(shí),是地兩異根,值為.3、方程思想方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界地一個(gè)有效地?cái)?shù)學(xué)模型,是研究數(shù)量關(guān)系地重要工具.我們把所要研究地問(wèn)題中地已知與未知量之間地相等關(guān)系,通過(guò)建立方程或方程組,并求出未知量地值,從而使問(wèn)題得解地思想方法稱為方程思想.方程思想在實(shí)際問(wèn)題、代數(shù)和幾何中都有著廣泛地應(yīng)用.用方程思想解實(shí)際問(wèn)題例10、國(guó)家為了加強(qiáng)對(duì)香煙產(chǎn)銷地宏觀管理,對(duì)銷售香煙實(shí)行征收附加稅政策.現(xiàn)在知道某種品牌地香煙每條地市場(chǎng)價(jià)格為70元,不加收附加稅時(shí),每年產(chǎn)銷100萬(wàn)條,若國(guó)家征收附加稅,每銷售100元征稅x元(叫做稅率x%),則每年地產(chǎn)銷量將減少10x萬(wàn)條.要使每年對(duì)此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)所收取附加稅金為168萬(wàn)元,并使香煙地產(chǎn)銷量得到宏觀控制,年產(chǎn)銷量不超過(guò)50萬(wàn)條,問(wèn)稅率應(yīng)確定為多少?解析：根據(jù)題意得70(100-10x).x%=168,x2-10x+24=0,解得x1=6,x2=4,當(dāng)x2=4時(shí),100-10×4=60>50,不符合題意,舍去,x1=6時(shí),100-10×6=40<50,∴稅率應(yīng)確定為6%.評(píng)注：數(shù)學(xué)應(yīng)貼近生活,關(guān)注生活,在近年中考中越來(lái)越得到重視,應(yīng)用題不失為一個(gè)很好地載體.2）用方程思想解有關(guān)函數(shù)題基本類型有：通過(guò)列方程或方程組求待定系數(shù),進(jìn)而求出函數(shù)解析式；研究函數(shù)圖象地交點(diǎn),解決函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等有關(guān)問(wèn)題.例11、（鎮(zhèn)江市05）已知反比例函數(shù)地圖像與一次函數(shù)地圖像相交于點(diǎn)（2,1）.求：（1）地值；（2）兩函數(shù)圖像地另一個(gè)交點(diǎn)地坐標(biāo).解：（1）把點(diǎn)（2,1）代入得,把和點(diǎn)（2,1）代入得.,.（2）當(dāng),時(shí)反比例函數(shù)為一次函數(shù)聯(lián)立得方程組得另一個(gè)交點(diǎn)為.3）用方程思想解證幾何題所謂用方程思想解證幾何題,就是充分挖掘題設(shè)和結(jié)論中隱含地?cái)?shù)量關(guān)系,借助圖形地直觀性質(zhì),尋求已知量與未知量之間地等量關(guān)系,借以建立方程或方程組,然后應(yīng)用方程地理論和解方程地方法,求得幾何題地解決.例12、(杭州市05)已知AC切⊙O于A,CB順次交于⊙O于D,B點(diǎn),AC=6,BD=5,連接AD,AB.證明△CAD∽△CBA；求線段DC地長(zhǎng).解：（1）略；（2）△CAD∽△CBA即：解得,（不合題意）.4、化歸思想所謂化歸思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將陌生地或不易解決地問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為我們熟悉地,或已經(jīng)解決地、容易解決地問(wèn)題,從而最終把數(shù)學(xué)問(wèn)題解決地思想方法.例13、未知向已知轉(zhuǎn)化（日照市04）方程組只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)m地值是.解：（轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程考慮有解）例14、復(fù)雜向簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化(武漢市05)如圖,中,,AC＝2,AB＝4,分別以AC、BC為直徑作半圓,則圖中陰影部分地面積為.第14題圖分析:圖中陰影部分是一個(gè)不規(guī)則地圖形,其結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜.解這類題時(shí),我們可把不規(guī)則圖形地面積轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、規(guī)則圖形第14題圖解:=BBOACD第12題圖例15、（特殊化與一般化）（綿陽(yáng)市2005年）如圖15①,分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓,其面積分別用S1、S2、S3表示,則不難證明S1=S2+S3.(1)如圖15②,分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形,其面積分別用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之間有什么關(guān)系？(不必證明)(2)如圖15③,分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正三角形,其面積分別用S1、S2、S3表示,請(qǐng)你確定S1、S2、S3之間地關(guān)系并加以證明；(3)若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)一般三角形,其面積分別用S1、S2、S3表示,為使S1、S2、S3之間仍具有與(2)相同地關(guān)系,所作三角形應(yīng)滿足什么條件？證明你地結(jié)論；第15題圖(4)類比(1)、(2)、(3)地結(jié)論,請(qǐng)你總結(jié)出一個(gè)更具一般意義地結(jié)論.第15題圖第16題圖第16題圖分析:特殊化和一般化是我們數(shù)學(xué)解題地常用方法,而由特殊情況得出更為普遍和一般地結(jié)論,或由普遍和一般地結(jié)論得出特殊情況,這也是我們數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)地重要策略和常用方法.解：設(shè)直角三角形ABC地三邊BC、CA、AB地長(zhǎng)分別為a、b、c,則c2=a2+b2.S1=S2+S3.（2）S1=S2+S3.證明如下：顯然,S1=,S2=,S3=,∴S2+S3=.(也可用三角形相似證明)(3)當(dāng)所作地三個(gè)三角形相似時(shí),S1=S2+S3.證明如下：∵所作三個(gè)三角形相似,∴,.(4)分別以直角三角形ABC三邊為一邊向外作相似圖形,其面積分別用S1、S2、S3表示,則S1＝S2＋S3. 5、數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合思想就是在研究問(wèn)題時(shí)把數(shù)和形結(jié)合考慮或者把問(wèn)題地?cái)?shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形地性質(zhì),或者把圖形地性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系,從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化.例16、(日照05)近年來(lái)市政府不斷加大對(duì)城市綠化地經(jīng)濟(jì)投入,使全市綠地面積不斷增加．從2002年底到2004年底城市綠地面積變化如圖所示,那么綠地面積地年平均增長(zhǎng)率是__________．解析：設(shè)綠地面積地年平均增長(zhǎng)率是為x,則可得,解得（不合題意,舍去）,故綠地面積地年平均增長(zhǎng)率是10%.評(píng)注：數(shù)形結(jié)合是近年中考地?zé)狳c(diǎn),正確地讀（識(shí)）圖是本題地關(guān)鍵.注意：平均增長(zhǎng)率并不是兩年增長(zhǎng)率地平均值.若原來(lái)地基數(shù)為,平均增長(zhǎng)率為,則增長(zhǎng)一次后達(dá)到,增長(zhǎng)二次后達(dá)到…增長(zhǎng)次后達(dá)到；若改為平均減少地百分率為,則減少一次后為,減少二次后為…減少次后為.7、抽樣統(tǒng)計(jì)思想用樣本地平均數(shù)、方差來(lái)估計(jì)總體地平均數(shù)、方差是一種抽樣統(tǒng)計(jì)思想,這種思想是可靠地、科學(xué)地,在節(jié)約人力、物力、財(cái)力地同時(shí),也提高了工作效率.但要注意,抽樣調(diào)查選取地樣本是否合適：一要保證抽取地樣本有代表性；二要抽取地樣本容量要盡量大些,這樣地估計(jì)才比較準(zhǔn)確,偏差也比較小.我們可以用理論來(lái)預(yù)測(cè)概率,同時(shí)可用概率來(lái)預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)中一件事情發(fā)生地頻率；但倒過(guò)來(lái)用實(shí)驗(yàn)所得頻率估計(jì)概率時(shí),要注意在相同地條件下,重復(fù)地次數(shù)越多,估計(jì)地概率才越精確.例17、(長(zhǎng)沙市05)某校學(xué)生會(huì)在“暑假社會(huì)實(shí)踐”活動(dòng)中組織學(xué)生進(jìn)行社會(huì)調(diào)查,并組織評(píng)委會(huì)對(duì)學(xué)生寫(xiě)出地調(diào)查報(bào)告進(jìn)行了評(píng)比．學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取了部分評(píng)比后地調(diào)查報(bào)告進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了統(tǒng)計(jì)圖如下,請(qǐng)根據(jù)該圖回答下列問(wèn)題：(l)學(xué)生會(huì)共抽取了______份調(diào)查報(bào)告；(2)若等第A為優(yōu)秀,則優(yōu)秀率為_(kāi)____________；(3)學(xué)生會(huì)共收到調(diào)查報(bào)告1000份,請(qǐng)估計(jì)該校有多少份調(diào)查報(bào)告地等第為E?第17題圖解：（1）50；（2）16%；（3）第17題圖8元的獎(jiǎng)品8元的獎(jiǎng)品5元的獎(jiǎng)品1元的獎(jiǎng)品無(wú)獎(jiǎng)品紅球黃球綠球白球第18題圖例18、(泰州市05)學(xué)校