高等數學二重積分

1第二節(jié)二重積分的計算一直角坐標系中的計算方法二極坐標系中的計算方法2一直角坐標系中的計算方法計算二重積分的根本思想：化為兩次定積分oxyabcd

分別用平行于x軸和y軸的直線對區(qū)域進行分割，如圖。ΔxΔyΔσ

可見，除邊緣外，其余均為矩形，其面積為可以證明：其中dxdy稱為面積元素。3利用二重積分的幾何意義化二重積分為二次積分〔1〕當積分區(qū)域為以下均設函數且在D上連續(xù)。如下圖：oxyabDoxyabzD相應的曲頂柱體如右圖。4

在區(qū)間[a，b]內任取一點x，過此點作與yoz面平行的平面，它與曲頂柱體相交得到一個一個曲邊梯形：底為高為x其面積為所以根據平行截面面積為的立體的立體公式，得oxyabzD5于是，得二重積分的計算公式：類似地，假設積分區(qū)域為如右圖所示，oxyDcd那么二重積分的計算公式為6

總結：二重積分的計算就是轉化為二次定積分，顯然，確定積分次序和積分上、下限是關鍵。這主要由積分區(qū)域D所確定。所謂先積線，后積點以第一種情況為例加以說明：如圖：oxyabDx區(qū)間[a,b]是x的取值范圍。

在此區(qū)間內任取一點x，過該點自下而上作一條平行于y軸的射線，先穿過的邊界是y的積分下限，7后穿過的邊界是y的積分上限。第二種情形可同理討論。

對于其他情形，都可化為這兩種情況加以轉化。如以下圖：oxyD1D2D3oxyD1D3D28例1計算D為直線與拋物線所圍的區(qū)域。不妨用兩種情形分別進行計算，加以比較。法一先y后x。解：積分區(qū)域D如圖。1oxyD

將積分區(qū)域投影到x軸上，得到x的范圍[0，1].在[0，1]上任取一點x，過該點作一條平行于y軸的射線，x先穿過的邊界作y的積分下限，后穿過的邊界作y的上限，這樣就有9所以法二oxyD

將積分區(qū)域投影到y軸上，得到y的范圍[0，1].1在[0，1]上任取一點y，過該點作一條平行于x軸的射線，y則先穿過的邊界為x的下限，后穿過的邊界為x的上限，于是10所以

小結：在二重積分的計算中，有時積分次序的選擇顯得相當重要，因而具體計算時，應注意觀察積分區(qū)域的特征和被積函數的特點，選擇恰當的積分次序，以便使計算盡可能簡單。11例2將化成二次積分，其中D由圍成。解：解方程組得這條直線和拋物線的交點為(8,4),(2,-2)，如右圖。oxy1〕先對y后對x積分：8得所以12oxy2）先對x后對y積分：得如圖。-24所以小結：顯然1〕較2〕麻煩。13例3計算其中D由圍成。

解：此三條直線的交點分別為(1,1)，(0,1)，(0,0)，所圍區(qū)域如右。oxy1先對x后對y積分：注意：假設先對y后對x積分：14

的原函數無法用初等函數表示出來，因而此二重積分不能計算出來。例4交換以下二重積分的積分次序：解：這是先對y后對x的積分，積分區(qū)域為可知積分區(qū)域由所圍成，如下圖：15oxy12-2故改變積分次序后得二、極坐標系中的計算方法1直角坐標系中的二重積分化為極坐標系中的二重積分

如下圖的極坐標系中的積分區(qū)域D，Ao

過極點O引射線和以極點為圓心的同心圓，

它們將區(qū)域D分成許多16小區(qū)域，除去含有邊界點的小區(qū)域，其余小區(qū)域的面積為：Ao在圓周上任取一點，其中設其直角坐標為，它們的關系為所以17因此此公式可將直角坐標系下的二重積分化為極坐標系下的二重積分，其中為極坐標系中的面積元素。2化為二次積分

一般均是先對r積分再對θ積分，因而主要是確定r、θ的積分上下限，分情況討論：18〔1〕極點在區(qū)域D外，如圖：oAD那么〔2〕極點在區(qū)域D的邊界上，如圖。oAD那么19〔1〕極點在區(qū)域D內，如圖：oAθ那么例5計算，其中D：

解：積分區(qū)域是如下圖的環(huán)域，用極坐標計算方便。oxy12因而20例6計算，其中