人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第28章平等四邊形全章熱門考點整合應(yīng)用

全熱考整應(yīng)名師點金：本章內(nèi)容是中考的必內(nèi)容，主要考查與平行四邊形、矩形、菱形、正方形有關(guān)的計算和證明等問題．近幾年又出現(xiàn)了許多與平行四邊形有關(guān)的開放探索題、操作題以及與其他知識相結(jié)合的綜合題．其主要考點可概括為：一個定理，一個性質(zhì)，四個圖形，四個判定與性質(zhì)，四個技巧，兩種思想．一個定理三角形的中位線定．如圖所示，已知在四邊形ABCD中，AD且⊥，點，，G，，Q分別是，，CD，DA，BD的點．求證：(1)邊形EFGH是矩形；(2)四邊形菱形．(第題)一個性質(zhì)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)．如圖，在△ABC中，點D，，分是AB，的中點，AH是上的高．求證：(1)四邊形ADEF是行四邊形；(2)∠DHF＝∠DEF.第2)

圖形1

四個圖形平行四邊形．【中】圖，分別以eq\o\ac(△,Rt)ABC的角邊AC及邊AB為向外作等邊三角形ACD及邊三角已知∠＝，⊥，垂足為點F，連接DF.(1)求證：AC＝；(2)求證：四邊形是行四邊形．第3題)圖形2

矩形．如圖，在ABCD中，點O是與BD的點，過點的線與的長線，的延長線分別交于點E，F(xiàn)(1)求證：△≌△.(2)連接，AF則與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形AECF是形？請明理由．(第題)

圖形3

菱形．如圖，在△ABC中，E分是，的點，過點E作EF∥AB，交BC于F.(1)求證：四邊形是行四邊形．(2)當(dāng)△滿足什么條件時，四邊形是形？為什么？(第題)圖形4

正方形．如圖，已知在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠ABC＝90°，先把△ABC繞點B順針旋轉(zhuǎn)90°后至△DBE再把ABC沿線平至FEG，DE，F(xiàn)G相于點H.(1)判斷線段DEFG的置系，并說明理由；(2)連接，證：四邊形是方形．第6題)

四個判定與性質(zhì)判定與性質(zhì)1

平行四邊形．如圖E，分是ABCD的AD，邊的點，且＝.(1)求證：△ABE；(2)若M，N分是，的點，連接MF，試判斷四邊形怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．(第7題判定與性質(zhì)2

矩形【中考圖?中，DEAB，⊥，垂足分別為E，F(xiàn)求證：(1)△≌△CBF；(2)四邊形DEBF為形．(第8題

判定與性質(zhì)3

菱形．如圖，在△ABC中，BAC的平分線交于D，E是AB上點，且＝，∥BC交AD于F.求證：四邊形是形．(第)判定與性質(zhì)4

正方形．如圖為方形的AB的長線上一點DEAC于點F交于點GH為中點．求證：FB.(第題

技巧1

四個技巧解與四邊形有關(guān)的折疊問題的技軸對稱變換)11．如圖，在矩形ABCD中，＝，BC，點E，分在AB，CD上，將矩形沿EF折，使點，D分落在矩形ABCD外的點A，處求陰影部分圖形的1周長．(第11)技巧2

解與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題的技特殊位置法．如圖，正方形的角線相交于點O，點O是正方形BCO的個頂點，如果兩個正方形的邊長都等于1，么正方形A′O繞頂點O轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積大小有什么規(guī)律？請說明理由．(第12題

技巧3

解與四邊形有關(guān)的動點問題的技固定位置法．如圖，在邊長為10的形ABCD中對角線BD，角線，BD相交于點G點是線BD的動點⊥于，OF⊥AD于F.(1)求對角線的及菱形ABCD的積．(2)如圖①，當(dāng)點O對角線上運動時，OE＋OF值是否發(fā)生變化？請說明理由．(3)如圖②，當(dāng)點O對角線的延長線上時，＋的值是否發(fā)生變化？若不變，請說明理由；若變化，請?zhí)骄縊E，OF之間的數(shù)關(guān)系．第題)技巧4

解中點四邊形的技巧．如圖，在ABC中AB＝，點O在△的內(nèi)部，＝，OB＝OC，D，E，，G分是，，，AC的中點．(1)求證：四邊形DEFG是形；(2)若DE＝，＝3求面積．(第14題)

，，思想1

兩種思想轉(zhuǎn)化思想．如圖，在四邊形中∠C90°，∠ABD＝∠CBD，，P是BD上點，⊥，PFCD垂足分別為點，.證：＝EF(第題思想2

數(shù)形結(jié)合思想．[閱讀]在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點

Px)()為點的線段的點坐標(biāo)為122

x＋xy＋121

[運用](1)如圖，矩形ONEF的角線相交于點M，，OF分在軸和y上，O為坐標(biāo)原點，點E的標(biāo)(43)，則點M的坐標(biāo)；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，有(－，，B，，C(1，4)三點，另有一點D與A，B，C構(gòu)成平行四邊形的頂點，求點D的坐標(biāo)．(第16題)

答．證明：(1)∵點E，GH分別為，，DA的中點∴EF∥且＝AC，∥且GH＝，∥BD∴EF∥GH且＝，∴四邊形是行邊形．又∵⊥，⊥.EFGH矩形．(2)∵點，，GQ別為，ACDCDB的點，11∴EPBC，PG＝AD＝BCQE＝AD.22∵＝BC∴EP＝＝GQ＝QE，∴四邊形EQGP是形．點撥：在三角形中出現(xiàn)兩邊中點?？紤]利用三角形中位線得到線段的平行關(guān)系或數(shù)量關(guān)系．．證明：(1)∵點D，E分是AB，BC的點，∴∥同理可得EF∥AB.∴四邊形是行四邊形．(2)由(1)知四邊形ADEF是行四邊形，∴∠＝DEF在eq\o\ac(△,Rt)AHB中，D是AB的點，∴＝ABAD∴∠＝DHA同理可得HF＝AC，∴∠FAH＝∠FHA∴∠＋＝∠＋FHA∴∠＝DHF.∴∠＝∠DEF.．證明：(1)∵在eq\o\ac(△,Rt)ABC中BAC30°∴＝.∵△ABE等邊三角形，EF⊥AB，∴AE，AB＝，＝BC在eq\o\ac(△,Rt)BCA和△AFE中，，，∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)AFE(HL)，∴＝EF(2)∵△是邊三角形，∴∠＝，AC，∴∠DAB∠＝90°.又∵⊥AB∴∠＝90°＝∠DAB∴EFAD

∵＝EF，＝，EFAD∴四邊形是行四邊形．．(1)明∵四邊形ABCD是行四邊形，∴OA＝，AB∥，∴∠AEO.在△和△中＝CFO，＝，OA＝OC.∴△AOE(AAS)．(2)解：當(dāng)＝EF時四邊形是矩形．理由如下：由(1)知△≌△，∴OE＝OF∵AO＝，∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵＝EF∴四邊形AECF是矩形．．(1)明∵D，分別是，AC的點，DE是ABC中位線，∴∥BC.又∵∥AB∴四邊形是行四邊形．(2)解：當(dāng)AB＝時四邊形DBFE是菱形．理由：D是中點，∴＝∵ABC的位線，∴＝.又∵＝，∴＝DE.又∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是形．．(1)解⊥FG理由如下：由題意，得∠＝∠＝∠GFE，∠＝DBE＝，∴∠EDB∠＝90°.∴∠GFE∠＝，∴∠＝90°即⊥(2)證明：△沿線平至FEG∴∥GE，CB＝∴四邊形CBEG是行四邊形．∵∠ABC＝＝90°，∴四邊形CBEG是形．∵＝，∴四邊形CBEG是方形．．(1)明∵四邊形ABCD是行四邊形，AB＝CD，＝∠

∵AE，∴≌△CDF(SAS)．(2)解：四邊形是行四邊形．證明如下：∵△≌△CDF，∴∠＝∠CFD，BEDF.又∵，N分是BEDF的點，∴ME∵四邊形是行四邊形，∴∥AD，∴∠＝.∴∠＝FBE.∴EBDF，即∥.∴四邊形MFNE是平行四邊形．規(guī)律總結(jié)：本是一道猜想型問，先猜想結(jié)論，再證明結(jié)論．本題已知一個四邊形是平行四邊形，借助其性質(zhì)，利用平行四邊形的判定方法判定另一個四邊形是平行四邊形．．證明：(1)∵四邊形ABCD是行四邊形，∴＝∠C，ADCB又DE⊥AB，⊥，∴∠DEA∠BFC＝∴△ADECBF.(2)∵△ADE△CBF，∴＝CF.∵CD＝AB，∴DF＝BE.又∵CD，∴四邊形為行四邊形．又∵∠DEB，∴四邊形為形．(第題．證明：如圖，連，交AD于點O∵＝，∴△等腰三角形．∵AO平∠CAE∴AO⊥，且OC＝.∵EF∥CD，∴∠＝∠又∵∠＝∠，∴△≌△ASA．∴OD即與DF互垂直且平分，∴四邊形CDEF菱形．．證∵四邊形ABCD正方形，∴CD＝，∠DCF＝∠BCF＝，

22222222DC，∠＝90°，∴∠＝E.又∵＝，∴△≌△BCF∴∠＝.∠CBF＝∠E.∵為中點，∴＝HG＝.∴∠HGB∠HBG∵∠＋∠CGD90°∠CGD∠HGB＝HBG，∴∠FBGHBG＝，即∠＝90°∴FB⊥11．解：在矩形ABCD中，＝，BC，∴AB＝，＝＝又∵將矩形沿EF疊，使點A，分別落在矩外的A，處，1∴根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得E＝，AD＝，F(xiàn)＝.11設(shè)線段F與段AB交點，則陰影部分的周長為1(AE＋EM＋MD＋D＋MB＋MFFC＋)11＝AEEM＋＋ADMBMF＋＋CB1＝(AE＋EMMB＋(MD＋＋)＋AD＋1＝AB(FD＋FC＋101＝AB(FDFC)＋10＝10＋10＝30.．解：兩個正方形重疊部分的面積保持不變，始終是.理由如下：∵四邊形是方形，∴OB＝，OBE＝∠＝45°，∠＝∵四邊形C是方形，∴∠EOF＝∴∠EOF＝∠∴∠EOF∠＝∠BOC－∠，即∠BOE.∴△≌∴＝.eq\o\ac(△,S)∴兩個正方形重疊部分的面積等于∵＝×1，1∴＝＝.ABCD4∴兩個正方形重疊部分的面積保持不變，始終是．解：在菱形中AG，⊥，＝BD×16＝8由勾股定理得AG＝AB

－BG＝10

－8

＝6所以AC＝×6＝12.所以菱形的積＝ACBD×12＝96.(2)不發(fā)生變化．理由如下：如圖，連接，則＝＋，eq\o\ac(△,S)AOD

1所以BDAG＝AB＋AD，211即××＝×OE×10·.解得OE＋OF9.6，是定值，不變．(第13題(3)發(fā)生變化．如圖②，連接，則＝－，ABDAOD1所以BDAG＝AB－AD.211即××＝×OE×10·.解得OE－OF9.6，是定值，不變．所以O(shè)E＋值發(fā)生變化OE，OF之的數(shù)量關(guān)系為OE－OF＝9.6.14．(1)明如圖，連接AO并長交于H，∵AB，＝OC∴的垂線，即AH⊥∵，，，G分是，，，AC的點，(第14題∴DG∥，∥∥∴四邊形DEFG是平行四邊形．∵EF∥BC⊥，∴⊥EF.又∵∥，∴EF⊥DE∴四邊形DEFG是矩形．(2)解：∵，，F(xiàn)分是，，OC的點，∴AO＝2＝，BCEF＝

∵△是等腰直角三角形，∴OHBC＝∴＝＋OH＝43＝7.∴＝×6×721.(第15題．證如圖，連接.∵PE，PFCD，＝，∴∠PEC＝∠＝∠＝90°.∴四邊形PECF是矩形．∴PC＝在△ABP△中＝，＝∠CBP，BP＝，∴△≌△CBP()．∴PA＝PC.∴＝點撥：本題運用了轉(zhuǎn)化思想將邊形中的邊轉(zhuǎn)化到三角形中，通過用等式的傳遞性證明兩條線段相等．．解：，1.5)