-幾何圖形在二次函數(shù)中的存在性問題探解

---幾何圖形在二次函數(shù)中的存在性問題探解二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，更是中考的重要考點之一，它以豐富的知識內(nèi)涵，深遠的知識綜合，深厚的數(shù)學思想，靈活的解題方法，奇趣的知識背景等深深吸引著命題老師，更深刻啟迪著每位同學.下面就把幾何圖形在二次函數(shù)中的存在性問題介紹給大家，供學習時借鑒.一、.三角形的存在性1.1等腰三角形的存在性例1（2017年淮安）如圖1-1，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．（1）求該拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C，P，M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）當0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值（圖1-2、1-3供畫圖探究）．分析：第一問考查的是待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，思路有幾個待定系數(shù)，解答時就需要確定幾個點的坐標；第二問探析等腰三角形的存在性，解答時，要做到一先一后，先清楚動點的位置與特點，后對等腰三角形進行科學分類，一是按邊分類，一是按角分類；第三問探求三角形面積的最大值，這是二次函數(shù)的看家本領，只需將三角形的面積適當分割，恰當表示，最后將三角形面積最大問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題求解即可.解：（1）因為直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，所以B（3，0），C（0，3），所以，解得，所以拋物線解析式為y=﹣4x+3；（2）因為y=﹣4x+3=﹣1，所以拋物線對稱軸為x=2，頂點P（2，﹣1），設M（2，t），因為△CPM為等腰三角形，如圖2所示，①當MC=PC時，過C作CQ⊥對稱軸,垂足為Q，則Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M到x軸的距離8-1=7，所以的坐標(2,7)；②當MP=MC時，作PC的垂直平分線交對稱軸于點M，所以，解得t=,所以的坐標(2,)；③當MP=PC時，以P為圓心，以PC為半徑畫弧，交對稱軸于,兩點，所以|t+1|=2,解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此時（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；綜上可知,存在點M，使以C，P，M為頂點的三角形為等腰三角形，其坐標分別為（2，7）或（2，）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如圖3所示，過E作EF⊥x軸，交BC于點F，交x軸于點D，設E（x，﹣4x+3），則F（x，﹣x+3），因為0＜x＜3，所以EF=﹣+3x，所以EF?OD+EF?BD=EF?OB=﹣+，所以當x=時，△CBE的面積最大，此時E點坐標為（，-），即當E點坐標為（，-）時，△CBE的面積最大．[賞析]此題以直線與坐標軸交點坐標的確定為解題突破口，強化待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組基本功是否扎實，成為解析式是否確定正確的關鍵；按照兩邊相等的三角形是等腰三角形的思想，巧妙運用分類思想，去確定不同形狀的等腰三角形，從而建立起不同的等式，為最終確定點的坐標奠定等式基礎，這種分類的思想，以后學習中也會經(jīng)常用到，希望能熟記于心，活用與手；把三角形面積的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值是本題的最大亮點，而助燃這個亮點的兩個細節(jié)更是值得關注，一是學會把三角形的面積進行科學分割；二是橫坐標相同兩點之間距離等于其縱坐標差的絕對值.細節(jié)決定成敗，誰不注重細節(jié)，誰就不會品嘗到成功的喜悅.1.2定底邊等腰三角形的存在性例2（2017?畢節(jié)）如圖4，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點P，使△POC是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；（3）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積．分析：（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法求得拋物線解析式；（2）利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，知道點P在線段OC的垂直平分線上，從而確定線段OC中點的坐標，高線與拋物線的交點就是P點坐標；（3）過P作PE⊥x軸，交x軸于點E，交直線BC于點F，用P點坐標可表示出PF的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△PBC面積的最大值及P點的坐標．解：（1）拋物線解析式為y=﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，如圖4，所以PO=PD，所以D（0，﹣2），所以P點縱坐標為﹣2，所以﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，所以存在P點，使△POC是以OC為底邊的等腰三角形,且坐標為（,﹣2）；（3）因為點P在拋物線上，設P（t，﹣3t﹣4），過P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，如圖5，所以直線BC解析式為y=x﹣4，所以F（t，t﹣4），所以PF=﹣+4t，所以=+=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=-2+8，所以當t=2時，S△PBC最大值為8，此時﹣3t﹣4=﹣6，所以當P點坐標為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．[賞析]第二問解題的關鍵有二,一是等腰三角形三線合一性質(zhì),這是確定P點位置的關鍵；第二個是根據(jù)點的縱坐標建立一元二次方程確定自變量的值，熟練解一元二次方程是解題的關鍵；其次，也要注意細節(jié)，解的取舍；第三問的解答可以引申如下一般性結(jié)論,如圖6，已知拋物線y=a+bx+c(a＜0),點A（，），點B（，），點C（，）是拋物線上的三點，CD⊥x軸交線段AB與點D，且點D的坐標為（，）；結(jié)論：三角形ABC的面積S=+=CDBE=（-）（-）.1.3動點在拋物線上的直角三角形存在性例3（2017濰坊）如圖7，拋物線經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點A(0.3),B(-1.0),D(2.3)，拋物線與x軸的另一交點為E.經(jīng)過點E的直線將平行四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一點F.點P為直線上方拋物線上一動點，設點P的橫坐標為t.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當t何值時，△PFE的面積最大?并求最大值的立方根；

（3）是否存在點P使△PFE為直角三角形?若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

分析:1.第一問是待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，只需把三個點的坐標分別代入給出的解析式轉(zhuǎn)化成三元一次方程組求解即可；2.用自變量t表示△PEF的面積,把三角形面積的最大值問題轉(zhuǎn)化成關于t的二次函數(shù)的最大值問題是解題的關鍵；3.直角三角形的存在需要利用分類的思想，確定哪一個角為直角，后求解.解：（1）二次函數(shù)的解析式為y=-+2x+3；（2）.據(jù)A,D的坐標知道AD=2，所以BC=2，所以點C的坐標為（1,0），所以直線AC的解析式為y=-3x+3，直線BC的解析式為y=x+1，所以對角線的交點坐標為（，），因為經(jīng)過點E的直線將平行四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分，所以EF一定經(jīng)過（，），所以直線EF的解析式為y=-x+，由，解得x=-,所以點F的坐標為（-，），如圖7，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，交于點M，作FN⊥PH，因為點P的橫坐標是t，所以點P的縱坐標為為=-+2t+3,點M的縱坐標為=-t+，所以PM=-=-+t+.所以====-，所以當t=時，△PEF面積最大，最大值為，所以=.（3）.如圖8，因為點P（t,-+2t+3）,當t=0時，P的坐標為(0,3),此時點P與點A重合，△PAE不存在，所以t≠0；當t=3時，P的坐標為(3,0),此時點P與點E重合，△PAE不存在，所以t≠3；①由圖像知道∠PEA≠90°，②當∠PAE=90°，因為==-1,==-t+2，所以=-1，所以-t+2=1，解得t=1；③當∠APE=90°，因為===-(t+1),==-t+2，所以=-1，所以-(t+1)(-t+2)=-1，整理，得-t-1=0,解得t=或t=＜-(舍去)，所以存在點P使△PAE為直角三角形，此時t=1或t=.[賞析]第一問的解答是基礎性問題，知識點很明確，解題的方法與思路也很清晰，熟練是根本；第二問有三個細節(jié)是二次函數(shù)考題共性問題：用點的橫坐標，結(jié)合函數(shù)解析式表示點的縱坐標，從而使得點坐標用同一字母表達，必須學會；把三角形的面積分割成以交點構(gòu)成線段為公共底邊的兩個三角形面積和；平行y軸直線上兩點間的距離等于較上端點與較下端點的縱坐標的差，也很關鍵，必須學會；其次就是轉(zhuǎn)化思想的滲透；第三問著重是分類思想，對于直角三角形存在問題，分類時按照哪一個角是直角的標準去分，一共三種情形，其次，要學會直線垂直時解析式的比例系數(shù)k之間的關系，這也是解題中經(jīng)常用到的方法.1.4動點在圓上的直角三角形存在性例4（2017年徐州）如圖9，已知二次函數(shù)y=﹣4的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，⊙C的半徑為，P為⊙C上一動點．（1）點B，C的坐標分別為B（），C（）；（2）是否存在點P，使得△PBC為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連接PB，若E為PB的中點，連接OE，則OE的最大值=．分析：此題第（1）小題考查了求二次函數(shù)圖像上特殊點的坐標問題；（2）在第（2）小題中，先討論當點p滿足什么條件時△PBC是直角三角形，要想做到不重不漏，選擇分類的標準很重要.因為已知條件要求點P為⊙C上，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可知，∠PBC一定是銳角，這樣△PBC為直角三角形只有如下兩種情形：①當PB與⊙C相切時，△PBC為直角三角形，如圖10，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)定理可以求得點P的坐標；②當BC⊥PC時，△PBC為直角三角形時，如圖11，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)也可得到結(jié)論；在第（3）小題中，如圖12，點p在⊙C上運動時，點E也隨之運動，所以找到當點P運動到什么位置時OE的值最大，是解題的關鍵.根據(jù)A,B的坐標可知點O是線段AB的中點，E是線段PB的中點，所以OE是△PAB的中位線，根據(jù)三角形中位線定理，得AO=2OE,所以要想使得OE最大，只需滿足AP最大，從而把問題轉(zhuǎn)化成圓外一個定點到圓上一個動點距離最大問題，顯然是定點，圓心，動點三點共線時取得最大值，于是問題得解.解：（1）因為二次函數(shù)解析式為y=﹣4，令y=0，得x=±3，令x=0，得y=﹣4，所以B（3，0），C（0，﹣4）；（2）存在點P，使得△PBC為直角三角形.理由如下：①如圖10，當PB與⊙C相切時，△PBC為直角三角形.連接BC，因為OB=3．OC=4，所以BC=5，過作E⊥x軸于E，F(xiàn)⊥y軸于F，則△CF∽△BE，且四邊形OFB是矩形，C=,B=2,所以=2,設F=OE=x(x＞0)，則OF=E=2x，所以BE=3﹣x，CF=2x﹣4，所以=2，所以x=，2x=，所以F=，E=，所以（，-），過作G⊥x軸于G，H⊥y軸于H，同理求得（-1，-2），②當BC⊥PC時，△PBC為直角三角形，過作H⊥y軸于H，則△BOC∽△CH,所以,所以CH=，H=，所以（，--4）；同理（-，-4）；綜上所述：點P的坐標為：（﹣1，﹣2）或（，-）或（-，-4）或（，--4）；（3）如圖12，連接AP,因為OB=OA,BE=EP,所以OE是△ABP的中位線，所以OE=AP，所以當AP最大時，OE的值最大，因為當點P在AC的延長線上時，AP的值最大，最大值為5+，所以OE的最大值為.[賞析]此題將函數(shù)與幾何知識有機融合，設計知識點多：二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，直角三角形與勾股定理；直線與圓的位置關系及其切線的性質(zhì)；相似三角形的判定及其性質(zhì)；三角形中位線定理的判定及其性質(zhì)；同時也運用了大量的數(shù)學思想：函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想，方程思想；分類思想和數(shù)形結(jié)合思想，這些都是問題解決的魂所在；特別值得一提的是，本題充分利用了直徑是最大弦這一性質(zhì)，展現(xiàn)了一種圓背景下求最值得新方法，值得借鑒，值得學習，值得掌握，值得活用，這就是數(shù)學的魅力.2.相似三角形存在性例5（2017年山東淄博）如圖13，經(jīng)過原點O的拋物線y=a+bx（a≠0）與x軸交于另一點A(,0)，在第一象限內(nèi)與直線y=x交于點B（2，t）.（1）求這條拋物線的表達式；（2）在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點C，滿足以B,O,C為頂點的三角形的面積為2，求點C的坐標；（3）如圖14，若點M在這條拋物線上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的條件下，是否存在點P，使得△POC∽△MOB?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．分析：第（1）小題在解答時，結(jié)合直線y=x確定B的坐標，是解答的關鍵；接下來用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化成方程組確定解析式即可；第（2）小題解答時，充分利用三角形的面積是2這個條件是解題的關鍵；第（3）小題解答需要聚精會神思考，全面梳理給出的條件信息，確定出點M的坐標是基礎，充分利用分類思想，充分利用相似的判定方法，確定點P應具有的條件，后將條件等式化，從而確定出點P的坐標.解：（1）因為直線y=x過點B（2，t），所點B(2,2),所以，解得，所以拋物線的解析式為y=2-3x；（2）過B作BH⊥x軸，垂足為H，因為點B（2,2），所以BH=OH=2，OB=2.過O點作OE⊥OB,使△OBE面積為2，則OE=，過點E作GE⊥x軸與點G，則OE=GE=1，所以E（1，-1），過點E作EF∥OB，設直線EF表達式為y=x+b，所以直線EF表達式為y=x-2，由題意得，解得，所以C(1，-1)；（3）設MB于y軸交于點N，如圖16，因為B（2,2），所以∠AOB=∠NOB=45°，因為∠MBO=∠ABO，OB=OB，所以△AOB≌△NOB，所以ON=OA=,所以點N(0,),設直線BN的解析式為y=kx+,所以直線解析式為y=x+，所以，解得，所以點M（-，），因為△POC∽△MOB,所以,∠POC=∠MOB.當點P在第一象限時，如圖17，過點M作MG⊥y軸，垂足為G，則MG=,OG=,作∠POA=∠GOM,過點P作PH⊥x軸，垂足為H，所以△POH∽△MOG,所以,所以PH=,OH=,所以點P的坐標為（，）；當點P位于第二象限時，∠POC＞∠MOB，此時不存在符合題意的點P；當點P位于第三象限時，如圖18，過點M作MG⊥y軸，垂足為G，則MG=,OG=,作∠POQ=∠GOM,過點P作PH⊥x軸，垂足為H，所以△POH∽△MOG,所以,所以PH=,OH=,所以點P的坐標為（-，-）；當點P位于第四象限時，∠POC＜∠MOB，此時不存在符合題意的點P；綜上所述，存在這樣的點P，使得△POC∽△MOB,且點P的坐標為（，）或（-，-）.[賞析]本題的精髓深藏在第（3）小題的解答中，一是數(shù)學思想深刻：轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)最淋漓盡致，把一般三角形相似的判定轉(zhuǎn)化為特殊的直角三角形相似的判定，轉(zhuǎn)化可謂巧妙；把坐標的確定轉(zhuǎn)化為線段長度的確定，也是坐標系中解題常用有效手段；把點的存在性轉(zhuǎn)化成對應相等夾角的存在性，借助角的大小比較完成了終結(jié)性的判斷，可謂精妙；二是活用分類思想，緊緊抓住題目的特點，選擇科學的分類標準，使得分類不漏不重，這樣的分類標準也是以后需要學習，借鑒并活用.其次，凸顯夯實基礎的重要性，如不能熟練掌握相似三角形判定，你就無法走出這片知識“沼澤”，只能在知識的海洋迷茫.3.平行四邊形的存在性例6（2017年臨沂）如圖19，拋物線y=a+bx﹣3經(jīng)過點A（2，﹣3），與x軸負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=3OB．（1）求拋物線的解析式；（2）點D在y軸上，且∠BDO=∠BAC，求點D的坐標；（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．分析：第（1）小題，解答時，走好三步，一步會求解析式與坐標軸的交點坐標；第二步根據(jù)OC=3OB可以確定點B的坐標，第三步根據(jù)點A,B的坐標，用待定系數(shù)法可得解析式；（2）連接AC，作BF⊥AC交AC的延長線于F，確定∠BDO=45°，后利用對稱思想，直角三角形的互余原理完成答案的確定；（3）設M（a，﹣2a﹣3），N（1，n），按照以AB為邊和AB為對角線兩種情形分類求解即可.解：（1）由y=a+bx﹣3得C（0．﹣3），所以OC=3，因為OC=3OB，所以OB=1，所以，所以a=1,b=-2,所以拋物線的解析式為y=﹣2x﹣3；（2）如圖20，設連接AC，作BF⊥AC交AC的延長線于F，所以AF∥x軸，所以F（﹣1，﹣3），所以BF=3，AF=3，所以∠BAC=45°，設D（0，m），則OD=|m|，因為OD=OB=1，所以|m|=1，所以m=±1，所以點D的坐標為（0，1）或（0，﹣1）；（3）設M（a，﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB為邊，則AB∥MN，AB=MN，如圖21，過M作ME⊥對稱軸y于E，AF⊥x軸于F，則△ABF≌△NME，所以NE=AF=3，ME=BF=3，所以|a﹣1|=3，所以a=3或a=﹣2，所以M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB為對角線，BN=AM，BN∥AM，如圖22，則N在x軸上，M與C重合，所以M（0，﹣3），綜上所述，存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．[賞析]第一問的解答啟示：必須學會求函數(shù)與坐標軸的交點坐標，必須熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，這是數(shù)學學習的基本功，是基礎；第二問的解答啟示：學會用點的坐標特點判斷直線的平行：橫坐標相同，兩點確定的直線平行y軸，縱坐標相同，兩點所在直線平行x軸，一定要熟練掌握；熟記等腰直角三角形的性質(zhì)，這也是特殊角的應用之一；學會對稱思想，絕對值思想處理問題，這都是解題的有效方法；第三問的解答啟示：學會分類思想，掌握分類的標準，為邊，為對角線兩種情形，一定要熟記.例7（2017年菏澤）如圖23，在平面直角坐標系中，拋物線y=a+bx+1交y軸于點A，交x軸正半軸于點B(4,0)，與過A點的直線相交于另一點D(3,)，過點D作DC⊥x軸，垂足為C.（1）求拋物線的表達式；（2）點P在線段OC上（不與點O、C重合），過P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點N，連接CM，求△PCM面積的最大值；（3）若P是x軸正半軸上的一動點，設OP的長為t，是否存在t，使以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.分析：第一問是一個基本問題，解答起來應該沒有問題.第二問求三角形PCM面積的最大值，需要按照如下思路去定尋：首先確定三角形PCM是直角三角形，把三角形PCM的面積轉(zhuǎn)化為m的二次函數(shù)，其最值可定；第三問主要是滲透平行四邊形的判定，仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)已經(jīng)具備的條件是MN∥CD，根據(jù)判定方法，只需加上MN=CD即可，這樣確定MN的長度即成為了解題的關鍵，為了防止漏解，在表示MN的距離時最好借助絕對值來完成，這樣即防止了漏解，又能不陷入分類思想的漩渦中，大大提高了解題的準確率.解：（1）把點B(4,0)，點D(3,)分別代入y=a+bx+1中，得，解得，所以拋物線的解析式為y=-+x+1；（2）設直線AD的解析式為y=kx+n，所以，解得，所以直線AD的解析式為y=x+1.設動點P的坐標為(m,0),所以PC=3-m,當x=m時，y=m+1