2021-2022學(xué)年北京師大二附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021-2022學(xué)年北京師大二附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題；共40分）1．（4分）直線x+y﹣1＝0的傾斜角是（）A．30° B．120° C．135° D．150°2．（4分）已知圓的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，則該圓的圓心坐標(biāo)及半徑分別為（）A．（﹣1，0）與9 B．（1，0）與9 C．（﹣1，0）與3 D．（1，0）與33．（4分）已知＝（2，﹣3，1），則下列向量中與平行的是（）A．（1，1，1） B．（﹣2，﹣3，5） C．（2，﹣3，5） D．（﹣4，6，﹣2）4．（4分）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是（0，﹣1），那么k等于（）A．1 B．3 C． D．45．（4分）已知A，B，C，D為空間中任意四個(gè)點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．6．（4分）過(guò)點(diǎn)M（﹣3，2），且與直線x+2y﹣9＝0平行的直線方程是（）A．2x﹣y+8＝0 B．x﹣2y+7＝0 C．x+2y+4＝0 D．x+2y﹣1＝07．（4分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，若y軸上點(diǎn)M到兩點(diǎn)P（1，0，2），Q（1，﹣3，1）的距離相等，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（0，1，0） B．（0，﹣1，0） C．（0，0，3） D．（0，0，﹣3）8．（4分）過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．9．（4分）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．10．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cosθ，sinθ）到直線x﹣my﹣2＝0的距離．當(dāng)θ、m變化時(shí)，d的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（共5小題；共25分）11．（5分）斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3）的直線的一般式方程為．12．（5分）已知點(diǎn)A（4，﹣1，2），B（2，﹣3，0），點(diǎn)C滿足，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．13．（5分）已知直線x﹣y+8＝0和圓x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝6，則r的值為．14．（5分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則∠F1PF2＝15．（5分）已知M為橢圓上一點(diǎn)，N為橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．給出下列結(jié)論：①存在點(diǎn)M，N，使得△OMN為等邊三角形；②不存在點(diǎn)M，N，使得△OMN為等邊三角形；③存在點(diǎn)M，N，使得∠OMN＝90°；④不存在點(diǎn)M，N，使得∠OMN＝90°．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（共6小題；共75分）16．已知三角形三頂點(diǎn)A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：（1）過(guò)A點(diǎn)且平行于BC的直線方程；（2）AC邊上的高所在的直線方程．17．在①圓經(jīng)過(guò)C（3，4），②圓心在直線x+y﹣2＝0上，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，進(jìn)行求解．已知圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，2），B（6，3）且____．（1）求圓E的方程；（2）在圓E中，求以（2，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．18．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．（1）求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1與平面A1BA的夾角的余弦值．19．已知橢圓M：的離心率為，焦距為．直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B．（1）求橢圓M的方程；（2）設(shè)直線l方程為y＝x+m，先用m表示|AB|，然后求其最大值．20．在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45°，E是PA的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段AB上，且滿足＝0．（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角F﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）在線段PA上是否存在點(diǎn)Q，使得FQ與平面PFC所成角的余弦值是，若存在，求出AQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．如圖，△ABC的邊AB邊所在直線的方程為x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）滿足2＝，點(diǎn)T（﹣1，1）在AC邊所在直線上且滿足＝0．（Ⅰ）求AC邊所在直線的方程；（Ⅱ）求△ABC的外接圓的方程；（Ⅲ）若點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣n，0），其中n為正整數(shù)．試討論在△ABC的外接圓上是否存在點(diǎn)P，使得|PN|＝|PT|成立？說(shuō)明理由．

2021-2022學(xué)年北京師大二附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題；共40分）1．（4分）直線x+y﹣1＝0的傾斜角是（）A．30° B．120° C．135° D．150°【分析】根據(jù)直線的方程求出斜率，再由直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，以及傾斜角的取值范圍，求出傾斜角的值．【解答】解：∵直線x+y﹣1＝0的斜率為﹣1，設(shè)直線的傾斜角等于θ，則tanθ＝﹣1，又θ∈[0，π），∴θ＝135°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，以及傾斜角的取值范圍，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）已知圓的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，則該圓的圓心坐標(biāo)及半徑分別為（）A．（﹣1，0）與9 B．（1，0）與9 C．（﹣1，0）與3 D．（1，0）與3【分析】根據(jù)題意，將圓的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，即（x﹣1）2+y2＝9，其圓心為（1，0），半徑r＝3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程，注意將圓的一般方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）已知＝（2，﹣3，1），則下列向量中與平行的是（）A．（1，1，1） B．（﹣2，﹣3，5） C．（2，﹣3，5） D．（﹣4，6，﹣2）【分析】利用向量共線定理即可得出．【解答】解：若＝（﹣4，6，﹣2），則＝﹣2（2，﹣3，1）＝﹣2，所以∥．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量共線定理是解題的關(guān)鍵．4．（4分）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是（0，﹣1），那么k等于（）A．1 B．3 C． D．4【分析】通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，確定k＞2，利用a，b，c的關(guān)系，求出k的值即可．【解答】解：因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是（0，﹣1），所以k＞2，所以k﹣2＝1，k＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查橢圓的基本性質(zhì)，考查計(jì)算能力．5．（4分）已知A，B，C，D為空間中任意四個(gè)點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．【分析】由向量的加減法運(yùn)算求解即可．【解答】解：＝+＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量加減混合運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）過(guò)點(diǎn)M（﹣3，2），且與直線x+2y﹣9＝0平行的直線方程是（）A．2x﹣y+8＝0 B．x﹣2y+7＝0 C．x+2y+4＝0 D．x+2y﹣1＝0【分析】由已知的直線方程求出要求直線的斜率，代入直線方程的點(diǎn)斜式，化為一般式得答案．【解答】解：由直線方程x+2y﹣9＝0可得該直線的斜率為，則與直線x+2y﹣9＝0平行的直線的斜率為，又直線過(guò)M（﹣3，2），由直線方程的點(diǎn)斜式得直線方程為，化為一般式得：x+2y﹣1＝0．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的一般式方程與直線平行的關(guān)系，考查了點(diǎn)斜式和一般式的互化，是基礎(chǔ)題．7．（4分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，若y軸上點(diǎn)M到兩點(diǎn)P（1，0，2），Q（1，﹣3，1）的距離相等，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（0，1，0） B．（0，﹣1，0） C．（0，0，3） D．（0，0，﹣3）【分析】根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用|MP|＝|MC|，求出M的坐標(biāo)．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)M（0，y，0），∵|MP|＝|MQ|，∴＝，即y2+5＝y(tǒng)2+6y+11，∴y＝﹣1，∴點(diǎn)M（0，﹣1，0）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．8．（4分）過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)與已知橢圓焦點(diǎn)相同的橢圓的方程，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得參數(shù)的值，求出橢圓的方程．【解答】解：由題意設(shè)橢圓的方程為+＝1，λ＜9，將點(diǎn)（，﹣）代入，+＝1，整理可得：λ2﹣26λ+105＝0，解得λ＝5或λ＝21（舍），所以橢圓的方程為：+＝1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查與已知橢圓焦點(diǎn)相同的橢圓的設(shè)法，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【分析】設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，坐標(biāo)為，根據(jù)題意可知|PF2|＝，|PF2|＝|F1F2|，進(jìn)而根據(jù)求得a和c的關(guān)系，求得離心率．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，坐標(biāo)為，∵△F1PF2為等腰直角三角形∴|PF2|＝|F1F2|，即，即故橢圓的離心率e＝故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．橢圓的離心率是高考中選擇填空題常考的題目．應(yīng)熟練掌握?qǐng)A錐曲線中a，b，c和e的關(guān)系．10．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cosθ，sinθ）到直線x﹣my﹣2＝0的距離．當(dāng)θ、m變化時(shí)，d的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由題意d＝＝，當(dāng)sin（θ﹣α）＝﹣1時(shí)，dmax＝1+≤3．由此能求出d的最大值．【解答】解：由題意d＝＝，∴當(dāng)sin（θ﹣α）＝﹣1時(shí)，dmax＝1+≤3．∴d的最大值為3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離的最大值的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．二、填空題（共5小題；共25分）11．（5分）斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3）的直線的一般式方程為2x﹣y+1＝0．【分析】結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式和一般式，即可得解．【解答】解：由點(diǎn)斜式可得直線的方程為y﹣3＝2（x﹣1），即2x﹣y+1＝0．故答案為：2x﹣y+1＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的點(diǎn)斜式和一般式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知點(diǎn)A（4，﹣1，2），B（2，﹣3，0），點(diǎn)C滿足，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．【分析】設(shè)C（x，y，z），由點(diǎn)C滿足，＝2，可得：＝，代入即可得出．【解答】解：設(shè)C（x，y，z），由點(diǎn)C滿足，∴＝2，可得：＝＝[（8，﹣2，4）+（2，﹣3，0）]＝．則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、向量相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知直線x﹣y+8＝0和圓x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝6，則r的值為5．【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心，由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線x﹣y+8＝0的距離，結(jié)合直線與圓相交的性質(zhì)可得r2＝d2+（）2，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2＝r2的圓心為（0，0），半徑為r；則圓心到直線x﹣y+8＝0的距離d＝＝4，若|AB|＝6，則有r2＝d2+（）2＝16+9＝25，故r＝5；故答案為：5【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，涉及弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則∠F1PF2＝90°【分析】根據(jù)題意，由橢圓的方程分析可得a、b的值，計(jì)算可得c的值，由橢圓的定義可得|PF2|的值，在△F1PF2中，通過(guò)|PF1|，|PF2|，|F1F2|，由勾股定理分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，橢圓，其中a＝3，b＝2，則c＝，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則|PF2|＝2a﹣|PF1|＝6﹣4＝2，在△F1PF2中，|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2c＝2，則|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，則有∠F1PF2＝90°，故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，注意由橢圓的定義分析得到|PF2|的值，是中檔題．15．（5分）已知M為橢圓上一點(diǎn)，N為橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．給出下列結(jié)論：①存在點(diǎn)M，N，使得△OMN為等邊三角形；②不存在點(diǎn)M，N，使得△OMN為等邊三角形；③存在點(diǎn)M，N，使得∠OMN＝90°；④不存在點(diǎn)M，N，使得∠OMN＝90°．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④．【分析】利用橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直接可判斷①正確②錯(cuò)誤，分情況討論點(diǎn)M，N的位置，利用余弦定理判斷cos∠OMN的取值范圍，即可確定③錯(cuò)誤，④正確．【解答】解：∵過(guò)原點(diǎn)傾斜角為60°的直線一定與橢圓由交點(diǎn)，∴假設(shè)y軸右側(cè)的交點(diǎn)是M，在長(zhǎng)軸上取ON＝OM，則△OMN就是等邊三角形．故①正確，②錯(cuò)誤；若點(diǎn)M和點(diǎn)N在y軸兩側(cè)，則∠OMN一定是銳角；若點(diǎn)M和點(diǎn)N在y軸同側(cè)，不妨設(shè)為在y軸的右側(cè)．設(shè)點(diǎn)M（x，y），則，且0＜x＜2．由橢圓性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)N是長(zhǎng)軸短點(diǎn)時(shí)，∠OMN最大，∵|OM|2＝x2+y2，|MN|2＝（x﹣a）2+y2＝（x﹣2）2+y2，|ON|2＝a2＝4∴|OM|2+|MN|2＝x2+y2+（x﹣2）2+y2＝2x2﹣4x+4+2y2＝，在x∈（0，2）上上式恒大于4，即|OM|2+|MN|2＜|ON|2，∴∠OMN＜90°．故③錯(cuò)誤，④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系，二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值等知識(shí)的綜合應(yīng)用．屬于難題．三、解答題（共6小題；共75分）16．已知三角形三頂點(diǎn)A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：（1）過(guò)A點(diǎn)且平行于BC的直線方程；（2）AC邊上的高所在的直線方程．【分析】（1）利用相互平行的直線斜率之間的關(guān)系即可得出．（2）利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出．【解答】解：（1）∵kBC＝，∴與BC的直線的斜率k＝．故所求的直線為y﹣0＝（x﹣4），化為x﹣2y﹣4＝0．（2）∵kAC＝，∴AC邊上的高所在的直線的斜率k＝．∴AC邊上的高所在的直線方程為y﹣10＝（x﹣8），化為2x﹣3y+14＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相互平行的直線斜率之間的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．17．在①圓經(jīng)過(guò)C（3，4），②圓心在直線x+y﹣2＝0上，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，進(jìn)行求解．已知圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，2），B（6，3）且____．（1）求圓E的方程；（2）在圓E中，求以（2，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．【分析】若選①：（1）利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出方程即可；（2）求出圓心E和弦的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間斜率公式以及兩條直線垂直的充要條件求出線的斜率，即可得到直線方程．若選②：（1）利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出方程即可；（2）求出圓心E和弦的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間斜率公式以及兩條直線垂直的充要條件求出線的斜率，即可得到直線方程．【解答】解：?若選①：（1）設(shè)圓E的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由題意可得，解得所以圓E的方程為x2+y2﹣6x+2y﹣15＝0，即（x﹣3）2+（y+1）2＝25；（2）由（1）可知圓心E的坐標(biāo)為（3，﹣1），因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為M（2，1），所以弦的斜率，故弦所在的直線方程為．若選②：（1）設(shè)圓E的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由題意可得，解得所以圓E的方程為（x﹣3）2+（y+1）2＝25；（2）由（1）可知圓心E的坐標(biāo)為（3，﹣1），因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為M（2，1），所以弦的斜率，故弦所在的直線方程為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的方程的求解，直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，主要考查了利用待定系數(shù)法求解圓的方程的應(yīng)用，相交弦的理解與應(yīng)用，兩條直線垂直的充要條件的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．（1）求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1與平面A1BA的夾角的余弦值．【分析】（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線A1B與C1D所成角的余弦值．（2）求出平面ADC1的法向量和平面A1BA的法向量，利用向量法能求出平面ADC1與平面A1BA的夾角的余弦值．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A1（0，0，4），B（2，0，0），C1（0，2，4），D（1，1，0），＝（2，0，﹣4），＝（1，﹣1，﹣4），設(shè)異面直線A1B與C1D所成角為θ，則異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為：cosθ＝＝＝．（2）＝（1，1，0），＝（0，2，4），設(shè)平面ADC1的法向量＝（x，y，z），則，取x＝2，得＝（2，﹣2，1），平面A1BA的法向量＝（0，1，0），設(shè)平面ADC1與平面A1BA的夾角為α，則平面ADC1與平面A1BA的夾角的余弦值為：cosα＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值、二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．已知橢圓M：的離心率為，焦距為．直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B．（1）求橢圓M的方程；（2）設(shè)直線l方程為y＝x+m，先用m表示|AB|，然后求其最大值．【分析】（1）由離心率和焦距求出a，c的值，再由a，b，c之間的關(guān)系求出b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB與橢圓的方程求出兩根之和及兩根之積，代入弦長(zhǎng)所給可得弦長(zhǎng)|AB|的表達(dá)式，進(jìn)而求出|AB|的最大值．【解答】解：（1）由題意可得e＝＝，2c＝2，b2＝a2﹣c2，所以可得：a2＝3，b2＝1，所以橢圓M的方程為：+y2＝1；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理可得：4x2+6mx+3m2﹣3＝0，則Δ＝36m2﹣4×4×（3m2﹣3）＞0，可得m2＜4，x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以弦長(zhǎng)|AB|＝?＝?＝?＝，所以|AB|max＝，此時(shí)m＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．20．在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45°，E是PA的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段AB上，且滿足＝0．（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角F﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）在線段PA上是否存在點(diǎn)Q，使得FQ與平面PFC所成角的余弦值是，若存在，求出AQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（Ⅰ）證法一：取PB的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連結(jié)EM，CM推導(dǎo)出四邊形CDEM為平行四邊形，從而DE∥CM，由此能證明DE∥平面PBC．證法二：由題意得DA、DC、DP兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DE∥平面PBC．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F（1，t，0），求出平面FPC和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣PC﹣B的余弦值．（Ⅲ）設(shè)＝＝（﹣λ，0，λ），λ∈[0，1]，利用向量法能求出在線段PA上是否存在點(diǎn)Q，使得FQ與平面PFC所成角的余弦值是，|AQ|＝．【解答】證明：（Ⅰ）證法一：取PB的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連結(jié)EM，CM，∵在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45°，E是PA的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段AB上，∴CD∥AB，且CD＝，EM∥AB，且EM＝，∴EM∥CD，且EM＝CD，四邊形CDEM為平行四邊形，∴DE∥CM，∵CM?平面PBC，DE?平面PBC，∴DE∥平面PBC．（Ⅰ）證法二：由題意得DA、DC、DP兩兩垂直，如圖，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1），E（），＝（﹣1，﹣1，0），＝（0，﹣1，1），設(shè)平面PBC的法向量為＝（x，y，z），則，取y＝1，得＝（﹣1，1，1），又＝（），∴＝0．又DE?平面PBC，∴DE∥平面PBC．解：（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F（1，t，0），則＝（1，t﹣1，0），＝（1，2，0），∵＝0，∴＝1+2（t﹣1）＝0．解得t＝，∴F（1，，0），，＝（0，1，﹣1），設(shè)平面FPC的法向量＝（x，y，z），由，得，取x＝1，得＝（1，2，2），設(shè)二面角F﹣PC﹣B的平面角為θ，則cosθ＝＝，∴二面角F﹣PC﹣B的余弦值為．（Ⅲ）設(shè)＝＝（﹣λ，0，λ），λ∈[0，1]，∴＝，∴＝λ﹣1，∴cos＜＞＝＝，∵FQ與平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值為，∴||＝，解得，或（舍），∴在線段PA上存在點(diǎn)Q，使得FQ與平面PFC所成角的余弦值是，＝（﹣），|AQ|＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線面角的余弦值的求法，考查空間線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．21．如圖，△ABC的邊AB邊所在直線的方程為x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）滿足2＝，點(diǎn)T（﹣1，1）在AC邊所在直線上且滿足＝0．（Ⅰ）求AC邊所在直線的方程；（Ⅱ）求△ABC的外接圓的方程；（Ⅲ）若點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣n，0