2021-2022學(xué)年廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣2，3）兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）A．45° B．60° C．90° D．135°2．（5分）已知，，與共線，則x﹣y＝（）A．5 B．6 C．3 D．93．（5分）橢圓+＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣5，0），（5，0） B．（0，﹣5），（0，5） C．（﹣4，0），（4，0） D．（0，﹣4），（0，4）4．（5分）已知直線x+ay﹣1＝0是圓C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的對稱軸，過點(diǎn)A（﹣4，a）作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|＝（）A．2 B．6 C．4 D．25．（5分）已知條件p：m＞3，條件q：+＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件6．（5分）若平面α＝，其中P0（1，2，1），法向量，則下列P∈α的有（）A．P（﹣1，2，2） B．P（﹣2，5，4） C．P（3，5，6） D．P（2，﹣4，8）7．（5分）已知直線l的方向向量為，點(diǎn)A（1，2，﹣1）在l上，則點(diǎn)P（3，1，1）到l的距離為（）A．2 B．1 C．3 D．28．（5分）已知點(diǎn)A（1，1），若圓P：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝r2（r＞0）上存在兩點(diǎn)M，N，使得，則r的取值范圍是（）A．（0，5） B． C． D．[1，5）二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）下列說法中，錯誤的是（）A．橢圓的離心率越大橢圓越扁，離心率越小橢圓越圓 B．直線的傾斜角越大，它的斜率就越大 C．到兩定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓 D．若直線l1：y＝k1x+b1，l2：y＝k2x+b2，且k1＝k2，則l1∥l2（多選）10．（5分）下列條件中，P，A，B，C四點(diǎn)一定共面的有（）A． B． C． D．（多選）11．（5分）已知橢圓C：的上、下焦點(diǎn)分別為F1、F2，且焦距為2c，離心率為e．直線l：y＝kx+c（k∈R）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）A．若AB的最小值為3c，則e＝ B．△ABF2的周長為4a C．若，則e的取值范圍為 D．若AB的中點(diǎn)為M，則kOM?k＝﹣（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A'B'C'D'的邊長為2，Q為棱AA'的中點(diǎn)，M，N分別為線段C'D'，CD上兩動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），記直線QM，QN與平面ABB'A'所成角分別為α，β，且tan2α+tan2β＝4，則存在點(diǎn)M，N，使得（）A．MN∥AA' B．MN＝2 C．MN＝ D．MN⊥C'Q三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知三棱錐O﹣ABC，其中D是線段BC的中點(diǎn)，如圖所示，用基向量，，表示向量的表達(dá)式為．14．（5分）若x，y滿足方程＝1，則y﹣x的最大值為．15．（5分）若x，y∈R，則的最小值為．16．（5分）在一節(jié)探究課上，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)（并證明）當(dāng)籃球放在地面上時，球的斜上方的一盞燈照過來的光線使得球在地面上留下了影子是橢圓，地面和球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）是橢圓影子的焦點(diǎn)．如圖，地平面上有一個球，其中球的半徑為1個單位長度，在球的右上方有一個燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與地面的距離為3個單位長度，燈泡垂直照射在平面的點(diǎn)為A，橢圓的頂點(diǎn)中到A點(diǎn)的距離最短時為1個單位長度，則這個橢圓的離心率．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）直線l經(jīng)過兩直線l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交點(diǎn)．（1）若直線l與直線3x+y﹣1＝0平行，求直線l的方程；（2）若點(diǎn)A（3，1）到直線l的距離為5，求直線l的方程．18．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足c2﹣a2＝bccosA﹣ab．（1）求角C；（2）若c＝，求a+b的取值范圍．19．（12分）已知圓O：x2+y2＝r2（r＞0），直線l：kx﹣y﹣4k＝0，當(dāng)k＝時，直線l與圓O恰好相切．（1）若l被圓O截得弦長為，求l方程；（2）若直線l上存在兩點(diǎn)M、N，滿足|MN|＝2，在圓O上存在點(diǎn)P使得＝0，求k的取值范圍．20．（12分）如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，將△BCD沿對角線BD折起到△BC'D的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA＝2，如圖2．（1）求證：FA∥平面BC'D；（2）求平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值；（3）在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得C'M⊥平面FBC'？若存在，求的值；若不存在，說明理由．21．（12分）已知橢圓C：＝1，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)M滿足（λ＞1，λ是常數(shù)）．當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動時，點(diǎn)M形成的曲線為Cλ．（Ⅰ）求曲線Cλ的軌跡方程；（Ⅱ）直線l是橢圓C在點(diǎn)P處的切線，與曲線Cλ的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)，探究△OAB的面積是否為定值．若是，求△OAB的面積，若不是，請說明理由．22．（12分）對于函數(shù)y＝f（x），x∈R，如果存在一組正常數(shù)t1，t2，…，tk，（其中k為正整數(shù)），滿足0＜t1＜t2＜???＜tk使得當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時，有f（x）+f（x+t1）+f（x+t2）+???+f（x+tk）＝0，則稱函數(shù)y＝f（x）具有“性質(zhì)Pk”．（1）求證：函數(shù)h（x）＝cosx同時具有“性質(zhì)P1”和“性質(zhì)P2”；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝a+bcos2x+ccos5x+dcos8x，其中b，c，d是不全為0的實(shí)數(shù)且存在m∈R，使得g（m）＝4a，證明：存在n∈R，使得g（n）＜0．

2021-2022學(xué)年廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣2，3）兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）A．45° B．60° C．90° D．135°【分析】利用直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系即可得出．【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為α，α∈[0°，180°），由于經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣2，3）兩點(diǎn)，可知斜率不存在，∴α＝90°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）已知，，與共線，則x﹣y＝（）A．5 B．6 C．3 D．9【分析】根據(jù)共線向量求出x，y的值，計(jì)算x﹣y即可．【解答】解：∵與共線，∴＝＝，解得：x＝3，y＝﹣6，故x﹣y＝3+6＝9，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了共線向量問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．3．（5分）橢圓+＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣5，0），（5，0） B．（0，﹣5），（0，5） C．（﹣4，0），（4，0） D．（0，﹣4），（0，4）【分析】由橢圓的方程可得a，b的值，及焦點(diǎn)在x軸上，再由a，b，c的關(guān)系求出c的值，進(jìn)而求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：由橢圓的方程可得：a2＝25，b2＝9，且焦點(diǎn)在x軸上，c2＝a2﹣b2＝16，解得：c＝4，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知直線x+ay﹣1＝0是圓C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的對稱軸，過點(diǎn)A（﹣4，a）作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|＝（）A．2 B．6 C．4 D．2【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心和半徑，由直線l：x+ay﹣1＝0經(jīng)過圓C的圓心（2，1），求得a的值，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用直線和圓相切的性質(zhì)求得|AB|的值．【解答】解：∵圓C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，表示以C（2，1）為圓心、半徑等于2的圓．由題意可得，直線l：x+ay﹣1＝0經(jīng)過圓C的圓心（2，1），故有2+a﹣1＝0，∴a＝﹣1，點(diǎn)A（﹣4，﹣1）．∵AC＝＝2，CB＝R＝2，∴切線的長|AB|＝＝＝6．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的切線長的求法，解題時要注意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相切的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知條件p：m＞3，條件q：+＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【分析】根據(jù)條件求出m的取值范圍，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若+＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m＞2，即q：m＞2，則p是q的充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)橢圓的定義求出m的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．6．（5分）若平面α＝，其中P0（1，2，1），法向量，則下列P∈α的有（）A．P（﹣1，2，2） B．P（﹣2，5，4） C．P（3，5，6） D．P（2，﹣4，8）【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，依次判斷四個選項(xiàng)即可．【解答】解：對于A，＝（﹣2，0，1），因?yàn)椋僵?+0﹣1≠0，所以點(diǎn)P?α，故選項(xiàng)A錯誤；對于A，＝（﹣3，3，3），因?yàn)椋僵?+3﹣3≠0，所以點(diǎn)P?α，故選項(xiàng)B錯誤；對于A，＝（2，3，5），因?yàn)椋?+3﹣5＝0，所以點(diǎn)P∈α，故選項(xiàng)C正確；對于A，＝（1，﹣6，7），因?yàn)椋?﹣6﹣7≠0，所以點(diǎn)P?α，故選項(xiàng)D錯誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量法向量的理解與應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知直線l的方向向量為，點(diǎn)A（1，2，﹣1）在l上，則點(diǎn)P（3，1，1）到l的距離為（）A．2 B．1 C．3 D．2【分析】點(diǎn)P（3，1，1）到l的距離為d＝||，由此能求出結(jié)果．【解答】解：直線l的方向向量為，點(diǎn)A（1，2，﹣1）在l上，則點(diǎn)P（3，1，1）到l的距離為：d＝||＝?＝3＝1．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到直線的距離的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（5分）已知點(diǎn)A（1，1），若圓P：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝r2（r＞0）上存在兩點(diǎn)M，N，使得，則r的取值范圍是（）A．（0，5） B． C． D．[1，5）【分析】取MN的中點(diǎn)D，連接PA，PD，設(shè)PD＝d，在Rt△PAD和Rt△PMD中，利用d和r分別表示AD和MD，由可得AD＝5MD，再由0≤d2＜r即可求解．【解答】解：由圓P：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝r2，（r＞0）可得圓心P（4，5），，取MN的中點(diǎn)D，連接PA，PD，因?yàn)椋訟D＝5MD，設(shè)PD＝d，在Rt△PAD中，由勾股定理可得：，在Rt△PMD中，由勾股定理可得：，所以，整理可得：，因?yàn)閐＜r，所以，解得：r＜5，因?yàn)椋詒≥1，所以1≤r＜5，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的方程及其應(yīng)用，共線向量及其應(yīng)用等知識，屬于基礎(chǔ)題．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）下列說法中，錯誤的是（）A．橢圓的離心率越大橢圓越扁，離心率越小橢圓越圓 B．直線的傾斜角越大，它的斜率就越大 C．到兩定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓 D．若直線l1：y＝k1x+b1，l2：y＝k2x+b2，且k1＝k2，則l1∥l2【分析】由直線及橢圓的定義及性質(zhì)依次判斷即可．【解答】解：對于選項(xiàng)A，橢圓的離心率越大橢圓越扁，離心率越小橢圓越圓正確；對于選項(xiàng)B，若直線l，m的傾斜角分別為，，則直線l，m的斜率分別為1，﹣1，故錯誤；對于選項(xiàng)C，若動點(diǎn)P到定點(diǎn)A、B的距離之和為|AB|，即|PA|+|PB|＝|AB|，則點(diǎn)P的軌跡是線段，故錯誤；對于選項(xiàng)D，若k1＝k2，b1＝b2，則直線l1：y＝k1x+b1，l2：y＝k2x+b2重合，故錯誤；故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查了直線及橢圓的定義及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）下列條件中，P，A，B，C四點(diǎn)一定共面的有（）A． B． C． D．【分析】利用空間向量共面定理的推理，對四個選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【解答】解：對于A，因?yàn)?，，所以點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)共面，故選項(xiàng)A正確；對于B，因?yàn)?，所以，而?﹣1﹣1≠1，所以點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B錯誤；對于C，因?yàn)?，?+1+1≠1，所以點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)C錯誤；對于D，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)共面，故選項(xiàng)D正確．故選：AD．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量共面定理推論的理解與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）已知橢圓C：的上、下焦點(diǎn)分別為F1、F2，且焦距為2c，離心率為e．直線l：y＝kx+c（k∈R）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）A．若AB的最小值為3c，則e＝ B．△ABF2的周長為4a C．若，則e的取值范圍為 D．若AB的中點(diǎn)為M，則kOM?k＝﹣【分析】利用焦點(diǎn)弦中通徑最短，列出關(guān)于a，c的關(guān)系，求出a＝2c，由離心率的定義，即可判斷選項(xiàng)A，利用橢圓的定義，即可判斷選項(xiàng)B，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立關(guān)于b，c的不等關(guān)系，結(jié)合離心率的定義求解，即可判斷選項(xiàng)C，利用點(diǎn)差法，即可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：對于A，橢圓C：，因?yàn)橹本€l：y＝kx+c過焦點(diǎn)，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則AB的最小值為通徑長，又AB的最小值為3c，所以＝3c，化簡可得2a2﹣3ac﹣2c2＝0，解得a＝2c，所以，故選項(xiàng)A正確；對于B，△ABF2的周長為|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a，故選項(xiàng)B正確；對于C，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），所以＝∈[b2﹣c2，b2]，又，所以b2﹣c2≤3c2≤b2，化簡可得，，故選項(xiàng)C正確；設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，所以，聯(lián)立方程組，作差可得，，故，所以kOMk＝，故選項(xiàng)D錯誤．故選：ABC．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與應(yīng)用，橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓定義的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，“點(diǎn)差法”的應(yīng)用，中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A'B'C'D'的邊長為2，Q為棱AA'的中點(diǎn)，M，N分別為線段C'D'，CD上兩動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），記直線QM，QN與平面ABB'A'所成角分別為α，β，且tan2α+tan2β＝4，則存在點(diǎn)M，N，使得（）A．MN∥AA' B．MN＝2 C．MN＝ D．MN⊥C'Q【分析】建系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，作出題中的線面角，結(jié)合tan2α+tan2β＝4得到，再依次判斷各個選項(xiàng)a，b是否有解即可．【解答】解：如圖所示，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則Q（0，0，1），C′＝（2，2，2），設(shè)M（a，2，2），N（b，2，0），則M′＝（a，0，2），N′（b，0，0），所以，其中a，b∈[0，2]，過M點(diǎn)作A′B′的垂線，垂足為M′，作N點(diǎn)作AB的垂線，垂足為N′，則MM′⊥平面ABB′A′，NN′⊥平面ABB′A′，所以直線QM，QN與平面ABB′A′所成的角分別為∠MQM′，∠NQN，即α＝∠MQM′，β＝∠NQN，所以，因?yàn)閠an2α+tan2β＝4，所以，即，對于A選項(xiàng)，若MN//AA′，即a＝b，解得a＝b＝1，滿足題意，故A正確；對于B選項(xiàng)，若，即，此時a，b無解，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，若，即，解得，滿足題意，故C正確；對于D選項(xiàng)，MN⊥C′Q，即（b﹣a，0，﹣2）?（2，2，1）＝0，又即b﹣a＝1，所以b＝a+1∈[0，2]，故a∈[0，1]，于是，令，又，故f（0）f（1）＜0，由零點(diǎn)存在定理可得f（x）在[0，1]上存在零點(diǎn)，即方程有[0，1]內(nèi)的解，滿足題意，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查零點(diǎn)存在定理，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于難題．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知三棱錐O﹣ABC，其中D是線段BC的中點(diǎn)，如圖所示，用基向量，，表示向量的表達(dá)式為﹣++．【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出向量的表達(dá)式即可．【解答】解：結(jié)合圖像得：＝+＝﹣+＝﹣+（﹣）＝﹣++，故答案為：﹣++．【點(diǎn)評】本題考查了向量的線性運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．14．（5分）若x，y滿足方程＝1，則y﹣x的最大值為．【分析】令t＝y(tǒng)﹣x，代入方程＝1，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式法求出t的最大值．【解答】解：令t＝y(tǒng)﹣x，則y＝t+x，代入方程＝1整理后得：5x2+8tx+4t2﹣4＝0，該方程有實(shí)數(shù)根，故Δ＝64t2﹣4×5×（4t2﹣4）≥0，即t2≤5，即，故t的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查判別式法在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（5分）若x，y∈R，則的最小值為．【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式將問題轉(zhuǎn)化為|AP|+|PQ|+|QB|的最小值，其中P（x，0）是x軸上的動點(diǎn)，Q（0，y）是y軸上的動點(diǎn)，A（1，1），B（1，2）為定點(diǎn)，利用對稱性求解即可．【解答】解：＝++，它可以看作是|AP|+|PQ|+|QB|，其中P（x，0）是x軸上的動點(diǎn)，Q（0，y）是y軸上的動點(diǎn)，A（1，1），B（1，2）為定點(diǎn)，如圖所示，作A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'（1，﹣1），作B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B'（﹣1，2），則|AP|+|PQ|+|QB|≥|A'B|'＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了平面兩點(diǎn)間距離公式的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題進(jìn)行研究，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．16．（5分）在一節(jié)探究課上，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)（并證明）當(dāng)籃球放在地面上時，球的斜上方的一盞燈照過來的光線使得球在地面上留下了影子是橢圓，地面和球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）是橢圓影子的焦點(diǎn)．如圖，地平面上有一個球，其中球的半徑為1個單位長度，在球的右上方有一個燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與地面的距離為3個單位長度，燈泡垂直照射在平面的點(diǎn)為A，橢圓的頂點(diǎn)中到A點(diǎn)的距離最短時為1個單位長度，則這個橢圓的離心率．【分析】利用橢圓的定義及性質(zhì)可知，G為橢圓交點(diǎn)，利用三角形的面積公式，及勾股定理可得PC2＝AC2+AP2，PB2＝AB2+AP2，即可求得a和b的值，求得橢圓的離心率．【解答】解：顯然BC＝2a，BG＝BF＝a﹣c，CG＝CE＝a+c，則，，在Rt△PAC中，由勾股定理PC2＝AC2+AP2，即（2a+c）2＝（2a+1）2+9，在Rt△PAB中，由勾股定理PB2＝AB2+AP2，即（2a﹣c）2＝1+9，兩式相減得：8ac＝4a2+4a，可得2c＝a+1，代入上式解得，，所以橢圓的離心率，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的定義及性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）直線l經(jīng)過兩直線l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交點(diǎn)．（1）若直線l與直線3x+y﹣1＝0平行，求直線l的方程；（2）若點(diǎn)A（3，1）到直線l的距離為5，求直線l的方程．【分析】（1）由題意兩立方程組，求兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩直線平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出l的方程．（2）分類討論直線l的斜率，利用點(diǎn)到直線的距離公式，用點(diǎn)斜式求直線l的方程．【解答】解：（1）由，求得，可得兩直線l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交點(diǎn)為（﹣2，2）．當(dāng)直線l與直線3x+y﹣1＝0平行，設(shè)l的方程為3x+y+m＝0，把點(diǎn)（﹣2，2）代入求得m＝4，可得l的方程為3x+y+4＝0．（2）當(dāng)l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝﹣2，滿足點(diǎn)A（3，1）到直線l的距離為5．當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直限l的方程為y﹣2＝k（x+2），即kx﹣y+2k+2＝0，則點(diǎn)A到直線l的距離為＝5，求得k＝，故l的方程為x﹣y+2k+2＝0，即12x﹣5y+34＝0．綜上，直線l的方程為x＝﹣2或12x﹣5y+34＝0．【點(diǎn)評】本題主要考查求直線的交點(diǎn)，兩直線平行的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，用點(diǎn)斜式求直線的方程．18．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足c2﹣a2＝bccosA﹣ab．（1）求角C；（2）若c＝，求a+b的取值范圍．【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cosC的值，結(jié)合范圍C∈（0，π），進(jìn)而可求C的值．（2）由已知利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求a+b＝2sin（A+），由A的范圍，可得A+∈（，），根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其取值范圍．【解答】解：（1）因?yàn)閏2﹣a2＝bccosA﹣ab，所以c2﹣a2＝bc?﹣ab，整理可得b2+a2﹣c2＝ab，可得cosC＝＝＝，又C∈（0，π），所以C＝．（2）∵c＝，C＝，∴＝2，可得：a＝2sinA，b＝2sinB＝2sin（﹣A），∴a+b＝2sinA+2sin（﹣A）＝2sinA+2（cosA+sinA）＝2sin（A+），∵A∈（0，），可得A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，∴a+b＝2sin（A+）∈（，2]．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的定理和公式，屬于中檔題．19．（12分）已知圓O：x2+y2＝r2（r＞0），直線l：kx﹣y﹣4k＝0，當(dāng)k＝時，直線l與圓O恰好相切．（1）若l被圓O截得弦長為，求l方程；（2）若直線l上存在兩點(diǎn)M、N，滿足|MN|＝2，在圓O上存在點(diǎn)P使得＝0，求k的取值范圍．【分析】根據(jù)條件先求出圓的方程，（1）根據(jù)已知條件，利用圓的弦長公式，即可求解．（2）分直線與圓有公共點(diǎn)和無公共點(diǎn)兩種情況討論，再結(jié)合PM．PN＝0，即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)k＝時，直線l與圓O恰好相切．O到直線l的距離為＝2，所以半徑為2，設(shè)圓心O直線的距離為d，則弦長為2＝，解得d＝，即＝，解得k＝±，故直線l的方程為y＝±（x﹣4）；（2）①當(dāng)直線l與圓O有公共點(diǎn)時，，當(dāng)P與點(diǎn)M（或N）重合時，滿足＝0，符合題意，②當(dāng)直線l與圓O沒有公共點(diǎn)時，k或k，因?yàn)椋?，所以P在以MN為直徑的圓上，設(shè)MN中點(diǎn)Q（x0，y0），則圓Q的方程為（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1，圓Q與圓O有公共點(diǎn)，則1，只需O到直線l的距離d＝≤3，解得﹣或，綜上所述，k的取值范圍是[﹣，]．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的思想，屬于中檔題．20．（12分）如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，將△BCD沿對角線BD折起到△BC'D的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA＝2，如圖2．（1）求證：FA∥平面BC'D；（2）求平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值；（3）在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得C'M⊥平面FBC'？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【分析】（1）由題意可得C′E⊥BD，又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD＝BD，再由面面垂直的性質(zhì)可得C′E⊥ABD，結(jié)合已知可得FA∥C′E，由線面平行的判定可得FA∥平面BC'D；（2）以DB所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，EC′所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面FBC′與平面ABD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值；（3）假設(shè)在線段AD上存在M（x，y，z），使得C'M⊥平面FBC′，由求得M的坐標(biāo)，得到，由與不共線加以判斷．【解答】（1）證明：∵BC＝CD，E為BD的中點(diǎn)，∴C′E⊥BD，又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD＝BD，∴C′E⊥ABD，∵FA⊥平面ABD，∴FA∥C′E，而C′E?平面BC'D，F(xiàn)A?平面BC'D，∴FA∥平面BC'D；（2）解：以DB所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，EC′所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），A（0，，0），D（﹣1，0，0），F(xiàn)（0，﹣，），C′（0，0，），∴，．設(shè)平面FBC′的一個法向量為，則，取z＝1，則．又平面ABD的一個法向量為．∴cos＜＞＝＝．則平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值為；（3）解：線段AD上不存點(diǎn)M，使得C'M⊥平面FBC′．假設(shè)在線段AD上存在M（x，y，z），使得C'M⊥平面FBC′，設(shè)，則（x，y，z）＝λ（﹣1，，0）＝（﹣λ，，0），∴x＝﹣λ，y＝，z＝0．則＝（﹣λ，，﹣）．由，得，此方程組無解，故假設(shè)錯誤．∴線段AD上不存點(diǎn)M，使得C'M⊥平面FBC′．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．21．（12分）已知橢圓C：＝1，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)M滿足（λ＞1，λ是常數(shù)）．當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動時，點(diǎn)M形成的曲線為Cλ．（Ⅰ）求曲線Cλ的軌跡方程；（Ⅱ）直線l是橢圓C在點(diǎn)P處的切線，與曲線Cλ的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)，探究△OAB的面積是否為定值．若是，求△OAB的面積，若不是，請說明理由．【分析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），由點(diǎn)P在橢圓C上得曲線Cλ的軌跡方程為．（Ⅱ）由Δ＝0，得過點(diǎn)A（x1，y1）的切線方程為，設(shè)切點(diǎn)A（x2，y2），B（x3，y3）聯(lián)立，結(jié)合得4x2﹣8x1x+16﹣16＝0，可得|AB|＝×|x3﹣x4|，原點(diǎn)O到直線AB的距離d＝，△OAB的面積s＝|AB|×d＝×＝2（定值）【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）由于點(diǎn)P在橢圓C上，得，即曲線Cλ的軌跡是橢圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）①當(dāng)過點(diǎn)P（x1，y1）切線的斜率存在時，設(shè)該切線的方程為y﹣y1＝k（x﹣x1），即y＝kx+（y1﹣kx1）聯(lián)立y＝kx+（y