2022年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市佳聯(lián)學(xué)校高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市佳聯(lián)學(xué)校高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)（

）

A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：B2.過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為（）A．± B．± C．± D．±參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】作MB垂直準(zhǔn)線于B，作NC垂直準(zhǔn)線于C，作NA垂直MB于A，根據(jù)拋物線定義，可得tan∠NMA就是直線l的斜率【解答】解：如圖，作MB垂直準(zhǔn)線于B，作NC垂直準(zhǔn)線于C，根據(jù)拋物線定義，可得MB=MF，NC=NF作NA垂直MB于A，設(shè)FN=m，則MN=5m，NA=MF﹣NF=3m在直角三角形AMN中tan∠NMA=，∴直線l的斜率為±，故選：D3.已知實(shí)數(shù)，對(duì)于定義在上的函數(shù)，有下述命題：①“是奇函數(shù)”的充要條件是“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”；②“是偶函數(shù)”的充要條件是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱”；③“是的一個(gè)周期”的充要條件是“對(duì)任意的，都有”；④“函數(shù)與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱”的充要條件是“”其中正確命題的序號(hào)是A．①②

B．②③

C．①④

D．③④參考答案：A略4.在函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，此函數(shù)圖象與軸及直線圍成圖形（如圖陰影部分）的面積為，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系的圖象可以是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C根據(jù)題意可知函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，此函數(shù)圖象與軸及直線圍成圖形（如圖陰影部分）的面積為可以用定積分表示并且可知面面線變大在變大，而且變化先快，后慢，選C5.若隨機(jī)變量x～N（1，4），P（x0）=m，則P（0＜x＜2）=（）A.

B.

C.

D.

參考答案：A略6.在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制作成如圖所示的人體脂肪含量與年齡關(guān)系的散點(diǎn)圖．根據(jù)該圖，下列結(jié)論中正確的是()A．人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%B．人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20C．人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%D．人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%參考答案：B7.設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，，半徑為a的圓I與的延長線線段及的延長線分別切于點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（）A．2

B．

C．3

D．參考答案：8.設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1為函數(shù)y=f（x）ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為y=f（x）的圖象是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的圖象與圖象變化．【分析】先求出函數(shù)f（x）ex的導(dǎo)函數(shù)，利用x=﹣1為函數(shù)f（x）ex的一個(gè)極值點(diǎn)可得a，b，c之間的關(guān)系，再代入函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，對(duì)答案分別代入驗(yàn)證，看哪個(gè)答案不成立即可．【解答】解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）?y′=f′（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，由x=﹣1為函數(shù)f（x）ex的一個(gè)極值點(diǎn)可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一個(gè)根，所以有a﹣（b+2a）+b+c=0?c=a．法一：所以函數(shù)f（x）=ax2+bx+a，對(duì)稱軸為x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．對(duì)于A，由圖得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，對(duì)于B，由圖得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，對(duì)于C，由圖得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0?b＞0?f（﹣1）＜0，不矛盾，對(duì)于D，由圖得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1?b＞2a?f（﹣1）＜0與原圖中f（﹣1）＞0矛盾，D不對(duì)．法二：所以函數(shù)f（x）=ax2+bx+a，由此得函數(shù)相應(yīng)方程的兩根之積為1，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，D不成立．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．一般在知道一個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)時(shí)，直接把極值點(diǎn)代入導(dǎo)數(shù)令其等0即可．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．9.函數(shù)的圖象大致為參考答案：D10.已知條件；條件,若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，定義min{a，b}＝，設(shè)函數(shù)f（x）＝－x＋3，g（x）＝log2x，則函數(shù)h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________．

參考答案：1

略12.已知函數(shù)f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），則的最小值等于．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出ab=1，然后利用基本不等式求的最小值．【解答】解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，若f（a）=f（b），a＞b＞0，則0＜b＜1，a＞1，則f（a）=|lga|=lga，f（b）=|lgb|=﹣lgb，∵f（a）=f（b），∴l(xiāng)ga=﹣lgb，即lga+lgb=lgab=0，解得ab=1．∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0∴==，當(dāng)且僅當(dāng)，即a﹣b=時(shí)取等號(hào)．故的最小值等于．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出ab=1是解決本題的關(guān)鍵，注意基本不等式成立的條件．13.如右圖，等邊△中，，則

．參考答案：略14.已知數(shù)列{an}滿足an﹣an+1=an+1an（n∈N*），數(shù)列{bn}滿足，且b1+b2+…+b10=65，則an=．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】數(shù)列{an}滿足an﹣an+1=an+1an（n∈N*），﹣=1，可得bn+1﹣bn=1，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足an﹣an+1=an+1an（n∈N*），∴﹣=1，即bn+1﹣bn=1，∴數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為1，又b1+b2+…+b10=65，∴10b1+×1=65，解得b1=2．∴bn=2+（n﹣1）=n+1=，解得an=．故答案為：．15.函數(shù)的圖像經(jīng)過四個(gè)象限的充要條件是

.參考答案：答案：16.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，則直線和曲線的公共點(diǎn)有_______個(gè).參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；參數(shù)方程化成普通方程.N3

【答案解析】

解析：直線的普通方程為，圓的普通方程為，圓心到直線的距離為，所以直線和曲線相切，公共點(diǎn)只有個(gè).故答案為1.【思路點(diǎn)撥】把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程分別化成普通方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得出圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系即可得出。17.已知，且關(guān)于x的方程有實(shí)根，則與的夾角取值范圍是

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某市規(guī)定，高中學(xué)生三年在校期間參加不少于小時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格．教育部門在全市隨機(jī)抽取200位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段，，，，（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，并估計(jì)從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率；（2）從全市高中學(xué)生（人數(shù)很多）中任意選取3位學(xué)生，記為3位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的人數(shù)．試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望和方差．參考答案：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在時(shí)間段小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為

（人），參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在時(shí)間段小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為（人）．所以抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為人．

所以從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率估計(jì)為

…………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，從全市高中生中任意選取1人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率為由已知得，隨機(jī)變量的可能取值為．

所以；；；．隨機(jī)變量的分布列為0123因?yàn)閪，所以．…12分略19.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）求角；（2）若，求面積的最大值.參考答案：.，，，，，，.，，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取最大值20.已知函數(shù)，，其中無理數(shù)e=2.71828….（1）若=0，求證：；（2）若在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；（3）對(duì)于在區(qū)間（1,2）中的任意常數(shù)，是否存在使得成立？若存在，求出符合條件的一個(gè)；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：（1）證明：當(dāng)p=0時(shí)，.令，則若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增；若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減.易知，當(dāng)x=1時(shí)，取得極大值，也是最大值.于是，即，即故若p=0，有（2），令①當(dāng)p=0，，則在上單調(diào)遞減，故當(dāng)p=0時(shí)符合題意；②若p>0，則當(dāng)，即時(shí)，在x>0上恒成立，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；③若p<0，的圖像的對(duì)稱軸為，，則在x>0上恒成立，故當(dāng)p<0時(shí)，在上單調(diào)遞減.綜上所述，（3）令，則原問題等價(jià)于是否存在x0>0使得成立，故只需滿足即可.因?yàn)槎?，故，故?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.易知與上述要求的相矛盾，故不存在使得成立.21.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面積．參考答案：考點(diǎn)：解三角形；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．專題：解三角形．分析：（1）由A為三角形的內(nèi)角，及cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，再將已知等式的左邊sinB中的角B利用三角形的內(nèi)角和定理變形為π﹣（A+C），利用誘導(dǎo)公式得到sinB=sin（A+C），再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出tanC的值；（2）由tanC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosC的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，將sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．解答： 解：（1）∵A為三角形的內(nèi)角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，則tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，則S△ABC=acsinB=×××=．點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．22.（本題滿分12分）淮南八公山某種豆腐食品是經(jīng)過A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的產(chǎn)品合格率分別為、、．已知每道工序的加工都相互獨(dú)立，三道工序加工的產(chǎn)品都為合格時(shí)產(chǎn)品為一等品；有兩次合格為