專題49 兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布與超幾何分布（解析版）

專題49兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布與超幾何分布【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一．兩點(diǎn)分布1、若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為01其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱為成功概率．注意：（1）兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為；（2）兩點(diǎn)分布又稱分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛．2、兩點(diǎn)分布的均值與方差：若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則，．知識(shí)點(diǎn)二．次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1、定義一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．注意：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．2、特點(diǎn)（1）每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；（2）每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例．知識(shí)點(diǎn)三．二項(xiàng)分布1、定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2、二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3、二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．知識(shí)點(diǎn)四．超幾何分布1、定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．【方法技巧與總結(jié)】超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項(xiàng)分布是“有放回”抽?。í?dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.【題型歸納目錄】題型一：兩點(diǎn)分布題型二：次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)題型三：二項(xiàng)分布題型四：超幾何分布題型五：二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用【典例例題】題型一：兩點(diǎn)分布例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）.若隨機(jī)變量的分布列為，其中，則下列結(jié)果中正確的是A．B．C．D．【答案】C【解析】由離散型隨機(jī)變量的概率關(guān)系可知：.則.例2．（2022·河北·高三階段練習(xí)）新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），簡(jiǎn)稱“新冠肺炎”，是指2019新型冠狀病毒感染導(dǎo)致的肺炎.2019年12月以來(lái)，部分醫(yī)院陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了多例不明原因肺炎病例，證實(shí)為2019新型冠狀病毒感染引起的急性呼吸道傳染病，為防止該病癥的擴(kuò)散與傳染，某檢測(cè)機(jī)構(gòu)在某地區(qū)進(jìn)行新冠病毒疾病調(diào)查，需要對(duì)其居民血液進(jìn)行抽樣化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽(yáng)性，則患有該疾??；若結(jié)果為陰性，則未患有該疾病.現(xiàn)有個(gè)人，每人一份血液待檢驗(yàn)，有如下兩種方案：方案一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；方案二：混合檢驗(yàn)，將n份血液分別取樣，混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則n個(gè)人都未患有該疾??；若檢驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，再對(duì)n份血液逐份檢驗(yàn)，此時(shí)共需要檢驗(yàn)次.(1)若，且其中兩人患有該疾病，①采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定患病兩人的概率；②將這10人平均分成兩組，則這兩患者分在同一組的概率；(2)已知每個(gè)人患該疾病的概率為.（i）采用方案二，記檢驗(yàn)次數(shù)為X，求檢驗(yàn)次數(shù)X的期望；（ii）若，判斷方案一與方案二哪種方案檢查的次數(shù)更少？并說(shuō)明理由.【解析】（1）①根據(jù)題意可得：；②根據(jù)題意可得：；（2）（i）根據(jù)題意：X的取值為1，，，，所以；（ii）當(dāng)時(shí)，方案一：檢驗(yàn)的次數(shù)為5次，方案二：檢查的次數(shù)期望為，，記，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，故當(dāng)時(shí)，選擇方案二；當(dāng)時(shí)，選擇方案一；當(dāng)時(shí)，選擇兩種方案檢查次數(shù)一樣.例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年3月，全國(guó)大部分省份出現(xiàn)了新冠疫情，對(duì)于出現(xiàn)確診病例的社區(qū)，受到了全社會(huì)的關(guān)注．為了把被感染的人篩查出來(lái)，防疫部門(mén)決定對(duì)全體社區(qū)人員篩查核酸檢測(cè)，為了減少檢驗(yàn)的工作量，我們把受檢驗(yàn)者分組，假設(shè)每組有個(gè)人，把這個(gè)人的血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這個(gè)人的血液全為陰性，因而這個(gè)人只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果為陽(yáng)性，為了明確這個(gè)人中究竟是哪幾個(gè)人為陽(yáng)性，就要對(duì)這個(gè)人再逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人群中，隨機(jī)抽一人核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性概率為，每個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性是相互獨(dú)立的．核酸檢測(cè)通常有兩種分組方式可以選擇：方案一：10人一組；方案二：8人一組．(1)分別求出采用方案一和方案二中每組的化驗(yàn)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若該社區(qū)約有2000人，請(qǐng)你為防疫部門(mén)選擇一種方案，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）【解析】（1）設(shè)方案一中每組的化驗(yàn)次數(shù)為，則的取值為1，11，∴，，∴的分布列為：1110.9700.030．設(shè)方案二中每組的化驗(yàn)次數(shù)為，則的取值為1，9，，，∴的分布列為：190.9760.024∴．（2）根據(jù)方案一，該社區(qū)化驗(yàn)分組數(shù)為200，方案一的化驗(yàn)總次數(shù)的期望值為：次．根據(jù)方案二，該社區(qū)化驗(yàn)分組數(shù)為250，方案二的化驗(yàn)總次數(shù)的期望為次．∵，∴方案一工作量更少．故選擇方案一．變式1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每位職工每年只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金．保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位分為A、B、C三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖所示，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表所示（并以此估計(jì)賠付概率）．工種類別ABC賠付頻率A、B、C工種職工每人每年的保費(fèi)分別為a元，a元，b元，出險(xiǎn)后獲得的賠償金額分別為100萬(wàn)元，200萬(wàn)元，50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元．(1)若保險(xiǎn)公司要求利潤(rùn)的期望不低于保費(fèi)的20%，試確定保費(fèi)a，b所要滿足的條件．(2)現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：方案一、企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司賠付金額相同的賠償金付給出險(xiǎn)職工；方案二、企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的60%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的40%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付．若企業(yè)選擇方案二的支出期望（不包括職工支出）低于選擇方案一的，求a，b所要滿足的條件，并判斷企業(yè)是否與保險(xiǎn)公司合作（若企業(yè)選擇方案二的支出期望低于方案一，且與（1）中保險(xiǎn)公司所提條件不矛盾，則企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作）．【解析】(1)設(shè)工種為職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益分別為隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的分布列如下：，，，由題意，化簡(jiǎn)得．所以每張保單的保費(fèi)需要滿足；(2)若企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，則安全支出即賠償金的期望值為，若企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，則安全支出即賠償金的期望值為，由，得，結(jié)果與（1）不沖突，所以企業(yè)有可能與保險(xiǎn)公司合作．變式2．（2022·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））為考察本科生基本學(xué)術(shù)規(guī)范和基本學(xué)術(shù)素養(yǎng)，某大學(xué)決定對(duì)各學(xué)院本科畢業(yè)論文進(jìn)行抽檢，初步方案是本科畢業(yè)論文抽檢每年進(jìn)行一次，抽檢對(duì)象為上一學(xué)年度授予學(xué)士學(xué)位的論文，初評(píng)階段，每篇論文送位同行專家進(jìn)行評(píng)審，位專家中有位以上（含位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”的畢業(yè)論文，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.位專家中有位專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將再送位同行專家（不同于前位）進(jìn)行復(fù)評(píng).復(fù)評(píng)階段，位復(fù)評(píng)專家中有位以上（含位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.每位專家，判定每篇論文“不合格”的概率均為，且各篇畢業(yè)論文是否被判定為“不合格”相互獨(dú)立.(1)若，求每篇畢業(yè)論文被認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”的概率是多少；(2)學(xué)校擬定每篇論文需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為元，不需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為元，則每篇論文平均評(píng)審費(fèi)用的最大值是多少？【解析】(1)設(shè)每篇畢業(yè)論文被認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”為事件，則，，；(2)設(shè)每篇文章的評(píng)審費(fèi)用為元，則的可能取值為，，則，；.令，，則.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，的最大值為，每篇論文平均評(píng)審費(fèi)用的最大值是元.變式3．（2022·安徽·二模（理））某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過(guò)合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立．若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每個(gè)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說(shuō)明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說(shuō)明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）試說(shuō)明，當(dāng)越小時(shí)，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；（ii）當(dāng)時(shí)，求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)．【解析】（1）由題，的可能取值為和，故的分布列為由記，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故越小，越小，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少，該方案越合理記當(dāng)且取最小值時(shí)，該方案最合理，因?yàn)椋?，所以時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少，約為次．題型二：次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)例4．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）進(jìn)入2021年以來(lái)，國(guó)家提倡大學(xué)生畢業(yè)自主創(chuàng)業(yè)，根據(jù)已知的調(diào)查可知，大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功與失敗的概率分別為a，b，且，則某高校四名大學(xué)生畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，其中至少有兩名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，解得，則四名大學(xué)生至少有兩名創(chuàng)業(yè)成功的概率故選：B．例5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)隨機(jī)擲一枚骰子4次，則該同學(xué)得到1點(diǎn)或5點(diǎn)的次數(shù)超過(guò)2次的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】該同學(xué)隨機(jī)擲一枚骰子，得到1點(diǎn)或5點(diǎn)的概率為，則該同學(xué)擲一枚骰子4次，得到1點(diǎn)或5點(diǎn)的次數(shù)超過(guò)2次的概率.故選：A.例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）體育課上進(jìn)行投籃測(cè)試，每人投籃3次，至少投中1次則通過(guò)測(cè)試．某同學(xué)每次投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（

）A．0.064 B．0.600 C．0.784 D．0.936【答案】D【解析】該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為，故選：D變式4．（2022·全國(guó)·清華附中朝陽(yáng)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）有甲?乙兩個(gè)盒子，甲盒子中裝有2個(gè)小球，乙盒子中裝有4個(gè)小球，每次隨機(jī)取一個(gè)盒子并從中取一個(gè)球.(1)求甲盒子中的球被取完時(shí)，乙盒子中恰剩下2個(gè)球的概率：(2)當(dāng)其中一個(gè)盒子中的球被取完時(shí)，記另一個(gè)盒子恰剩下個(gè)球，則求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）甲盒子中的球被取完時(shí)，乙盒子中恰剩下2個(gè)球，意味著總共取了四次球，第四次取到的一定是甲盒中的球，前三次中有一次取到甲盒中的球，另外兩次取的是乙盒中的球，所以（2）由題意知：的可能取值為1.2.3.4，當(dāng)時(shí)，總共取了5次球，剩余的一個(gè)球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，若剩余的一個(gè)球在甲（乙）盒子中，則第5次取到的是乙（甲）盒子中的球，前4次有一次取到甲盒子中的球，另外3次取到乙盒子中的球，所以，當(dāng)時(shí)，總共取了4次球，剩余的2個(gè)球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，若剩余的2個(gè)球在甲盒子中，則4次均取到乙盒子中的球，若剩余的2個(gè)球在乙盒子中，則第4次取到甲盒中的球，前3次有1次取到甲盒中的球，有2次取到乙盒子中的球，故當(dāng)時(shí)，總共取了3次球，剩余的3個(gè)球一定在乙盒子中，第3次一定取到的是甲盒中的球，前2次有1次取到甲盒中的球，有1次取到乙盒子中的球，所以，當(dāng)時(shí)，總共取了2次球，剩余的4個(gè)球一定在乙盒子中，前2次均取到甲盒中的球，故.即的分布列為：1234計(jì)算可得：變式5．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）某校組織圍棋比賽，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽中，如果四局及四局以內(nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負(fù)者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負(fù)者積1分.已知甲?乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為.(1)在一場(chǎng)比賽中，甲的積分為，求的概率分布列；(2)求甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分的概率.【解析】（1）由題意可知，可能取值為，，，，當(dāng)時(shí)，則前三場(chǎng)比賽都輸或前三場(chǎng)比賽贏一場(chǎng)且第四場(chǎng)比賽輸，則，當(dāng)時(shí)，前四場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第五場(chǎng)比賽輸，則；當(dāng)時(shí)，前四場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第五場(chǎng)比賽贏，則，當(dāng)時(shí)，前三場(chǎng)比賽都贏或前三場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第四場(chǎng)比賽贏，則，故的概率分布列如下：0123（2）設(shè)甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分為事件，則甲的三場(chǎng)比賽積分分別為1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，故，故甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分為.變式6．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）我國(guó)出現(xiàn)了新冠疫情后，醫(yī)護(hù)人員一直在探索治療新冠的有效藥，并對(duì)確診患者進(jìn)行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，分成兩組，組3人，服用甲種中藥，組3人，服用乙種中藥.服藥一個(gè)療程后，組中每人康復(fù)的概率都為，組3人康復(fù)的概率分別為.(1)設(shè)事件表示組中恰好有1人康復(fù)，事件表示組中恰好有1人康復(fù)，求；(2)求組康復(fù)人數(shù)比組康復(fù)人數(shù)多的概率.【解析】（1）依題意有，，，又事件與相互獨(dú)立，則；（2）設(shè)A組中服用甲種中藥康復(fù)的人數(shù)為，則，，，，設(shè)組中服用乙種中藥康復(fù)的人數(shù)為，則的可能取值為，，，A組康復(fù)人數(shù)比B組康復(fù)人數(shù)多的概率變式7．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)情況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為．比賽采用“三局兩勝”制，先勝二局者獲勝．商定每局比賽（決勝局第三局除外）勝者得3分，敗者得1分；決勝局勝者得2分，敗者得0分．已知各局比賽相互獨(dú)立．(1)求比賽結(jié)束，甲得6分的概率；(2)設(shè)比賽結(jié)束，乙得分，求隨機(jī)變量的概率分布列與數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）記事件：“比賽結(jié)束，甲得6分”，則事件即為乙以敗給甲或乙以敗給甲，所以．（2）由題意得，可取，則，，，即的分布列為的數(shù)學(xué)期望為．變式8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興”，為了加強(qiáng)鄉(xiāng)村振興宣傳工作，讓更多的人關(guān)注鄉(xiāng)村發(fā)展，某校舉辦了有關(guān)城鄉(xiāng)融合發(fā)展、人與自然和諧共生的知識(shí)競(jìng)賽.比賽分為初賽和復(fù)賽兩部分，初賽采用選手從備選題中選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止比賽，答對(duì)3題者直接進(jìn)入復(fù)賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰.已知選手甲答對(duì)每個(gè)題的概率均為，且相互間沒(méi)有影響.(1)求選手甲被淘汰的概率；(2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為X，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）設(shè)“選手甲被淘汰”為事件A，因?yàn)榧状饘?duì)每個(gè)題的概率均為，所以甲答錯(cuò)每個(gè)題的概率均為.則甲答了3題都錯(cuò)，被淘汰的概率為；甲答了4個(gè)題，前3個(gè)1對(duì)2錯(cuò)，被淘汰的概率為；甲答了5個(gè)題，前4個(gè)2對(duì)2錯(cuò)，被淘汰的概率為.所以選手甲被海的概率.（2）易知X的可能取值為3，4，5，對(duì)應(yīng)甲被淘汰或進(jìn)入復(fù)賽的答題個(gè)數(shù)，則，，.X的分布列為X345P(X)則.【方法技巧與總結(jié)】（1）在解復(fù)雜的題目時(shí)，可利用“正難則反”的思想，通過(guò)考查原事件的對(duì)立事件來(lái)求其概率．（2）運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求概率，首先要分析問(wèn)題中涉及的試驗(yàn)是否為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若不符合條件，則不能應(yīng)用公式求解；在求次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率時(shí)，首先要確定好和的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率．（3）解決這類實(shí)際問(wèn)題往往需把所求的概率的事件分拆為若干個(gè)事件，而這每個(gè)事件均為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．題型三：二項(xiàng)分布例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形小木塊（如圖所示），并且每一排小木塊數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)小木塊正好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩個(gè)相鄰小木塊的正中央，從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩個(gè)小木塊間隔的小球，當(dāng)小球從之間的間隙下落時(shí)，于是碰到下一排小木塊，它將以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通過(guò)間隙，又碰到下一排小木塊.如此繼續(xù)下去，小球最后落入下方條狀的格子內(nèi)，則小球落到第⑤個(gè)格子的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】小球落到第⑤個(gè)格子的概率是.故選：A例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從一個(gè)裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1個(gè)，記X為取得紅球的次數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得：從一個(gè)裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中取出一個(gè)球，是紅球的概率為，因?yàn)槭怯蟹呕氐娜∏颍裕怨蔬x：D例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））某綜藝節(jié)目中，有一個(gè)盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方.為了解某市盲擰魔方愛(ài)好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了100名盲擰魔方愛(ài)好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示：用時(shí)/秒[5，10](10，15](15，20](20，25]男性人數(shù)1522149女性人數(shù)511177以這100名盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的概率，每位盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)是否超過(guò)10秒相互獨(dú)立.若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機(jī)抽取20名盲擰魔方愛(ài)好者進(jìn)行測(cè)試，其中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)最有可能(即概率最大)是(

)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的概率為，設(shè)隨機(jī)抽取的20名盲擰魔方愛(ài)好者中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)為，則，其中，，當(dāng)時(shí)，由，得，化簡(jiǎn)得，解得，又，∴，∴這20名盲擰魔方愛(ài)好者中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)最有可能是4.故選：C.變式9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國(guó)民眾的身體健康，有關(guān)部門(mén)要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售．已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒(méi)有影響，若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元．已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得該產(chǎn)品能銷售的概率為，易知X的所有可能取值為﹣320，﹣200，﹣80，40，160，設(shè)表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則，所以，所以，，，故，，故選：B．變式10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某工廠產(chǎn)品合格的概率均為，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立．設(shè)為該工廠生產(chǎn)的件商品中合格的數(shù)量，其中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知X服從與參數(shù)為5，p的二項(xiàng)分布，∴

，，，又，，∴

，，∴

，故選：B.變式11．（2022·廣東·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三階段練習(xí)）某種植戶對(duì)一塊地上的（）個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.如果每個(gè)坑內(nèi)至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)種，否則需要補(bǔ)種.（1）當(dāng)取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)種的概率最大？最大概率為多少？（2）當(dāng)時(shí)，用表示要補(bǔ)種的坑的個(gè)數(shù)，求的分布列.【解析】（1）由題意可知每個(gè)坑要補(bǔ)種的概率，則個(gè)坑中有3個(gè)坑要補(bǔ)種的概率為.欲使最大，只需解得.因?yàn)?，所以?.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)種的概率最大，最大概率.（2）易知的取值范圍為，且，因此，，，，，所以的分布列為01234變式12．（2022·江蘇常州·高三階段練習(xí)）金壇區(qū)主城區(qū)全新投放一批共享電動(dòng)自行車．本次投放的電動(dòng)自行車分紅、綠兩種，投放比例是3∶1．監(jiān)管部門(mén)為了了解這兩種顏色電動(dòng)自行車的性能，決定從中隨機(jī)抽取4輛電動(dòng)自行車進(jìn)行騎行體驗(yàn)，假設(shè)每輛電動(dòng)自行車被抽取的可能性相等．(1)求抽取的4輛電動(dòng)自行車中至少有3輛是綠色的概率；(2)在騎行體驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)紅色電動(dòng)自行車的綜合評(píng)分較高，監(jiān)管部門(mén)決定從該次投放的這批電動(dòng)自行車中隨機(jī)地抽取一輛綠色電動(dòng)自行車，送技術(shù)部門(mén)做進(jìn)一步性能檢測(cè)，并規(guī)定，若抽到的是綠色電動(dòng)自行車，則抽樣結(jié)束：若抽取的是紅色電動(dòng)自行車，則將其放回后，繼續(xù)從中隨機(jī)地抽取下一輛電動(dòng)自行車，且規(guī)定抽取的次數(shù)最多不超過(guò)次在抽樣結(jié)束時(shí)，設(shè)已抽到的紅色電動(dòng)自行車的數(shù)量用表示，問(wèn)：的數(shù)學(xué)期望能否超過(guò)3？【解析】（1）∵抽取一輛電動(dòng)車為綠色的概率為∴4輛電動(dòng)車至少有3輛是綠色的概率．（2）的所有可能取值為0，1，2…，n，，∴的分布列如下：012…nP…記①∴②①-②得：∴，∴的數(shù)學(xué)期望不能超過(guò)3．變式13．（2022·廣東·金山中學(xué)高三階段練習(xí)）某中學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)小組在某區(qū)域內(nèi)通過(guò)一定的有效調(diào)查方式對(duì)“北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式”當(dāng)晚的收看情況進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，通過(guò)手機(jī)收看的約占，通過(guò)電視收看的約占，其他為未收看者：(1)從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人，其中至少有1人通過(guò)手機(jī)收看的概率；(2)從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人，用表示通過(guò)電視收看的人數(shù)，求的分布列和期望．【解析】（1）記事件為至少有1人通過(guò)手機(jī)收看，由題意知，通過(guò)手機(jī)收看的概率為，沒(méi)有通過(guò)手機(jī)收看的概率為，則；（2）由題意知：，則的可能取值為0，1，2，3，；；；；所以的分布列為：0123所以.變式14．（2022·江蘇·新淮高中三模）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)釘子恰好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過(guò)兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球.（Ⅰ）理論上，小球落入4號(hào)容器的概率是多少？（Ⅱ）一數(shù)學(xué)興趣小組取3個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】（Ⅰ）記“小球落入4號(hào)容器”為事件，若要小球落入4號(hào)容器，則在通過(guò)的四層中有三層需要向右，一層向左，∴理論上，小球落入4號(hào)容器的概率.（Ⅱ）落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，∴，，，，∴的分布列為：0123∴.【方法技巧與總結(jié)】1、二項(xiàng)分布求解隨機(jī)變量涉及“至少”“至多”問(wèn)題的取值概率，其實(shí)質(zhì)是求在某一取值范圍內(nèi)的概率，一般轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對(duì)立事件求概率．2、二項(xiàng)分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用是求次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率．解題的一般思路是：（1）根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；（2）分析出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布；（3）找到參數(shù)，；（4）寫(xiě)出二項(xiàng)分布的分布列；（5）將值代入求解概率．題型四：超幾何分布例10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一批產(chǎn)品共有20件，其中2件次品，18件合格品，從這批產(chǎn)品中任意抽取2件，則至少有1件是次品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】至少有1件是次品的概率是.故選：C.例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設(shè)抽取的次品數(shù)為ξ，則E(5ξ＋1)＝(

)A．2 B．1 C．3 D．4【答案】C【解析】的可能取值為.，，.∴的分布列為：ξ012P于是，故.故選：C.例12．（2022·北京·高三專題練習(xí)）為了解順義區(qū)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的（）班（）班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下：（軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（）班的名學(xué)生中抽出人，設(shè)表示人中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀．寫(xiě)出方差的大小關(guān)系（不必寫(xiě)出證明過(guò)程）．【解析】（1）抽取的人中，身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀有人，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)人，該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率.（2）由散點(diǎn)圖可知：高一（）班的名學(xué)生中，身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為人，所有可能的取值為，；；；則的分布列為：數(shù)學(xué)期望.（3）由散點(diǎn)圖知：，，；，，；，，；，，；.變式15．（2022·上?！じ呷_(kāi)學(xué)考試）研究表明，過(guò)量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變暖等環(huán)境問(wèn)題，減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義．中國(guó)明確提出節(jié)能減排的目標(biāo)與各項(xiàng)措施，在公路交通運(yùn)輸領(lǐng)域，新能源汽車逐步取代燃油車是措施之一．中國(guó)某地區(qū)從2015年至2021年每年汽車總銷量如圖，每年新能源汽車銷量占比如表．（注：汽車總銷量指新能源汽車銷量與非新能源汽車銷量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽車銷量占比(1)從2015年至2021年中隨機(jī)選取一年，求這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于5.5萬(wàn)輛的概率；(2)從2015年至2021年中隨機(jī)選取兩年，設(shè)X表示新能源汽車銷量超過(guò)0.5萬(wàn)輛的年份的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由汽車銷量圖得7年中有6年汽車總銷量不小于5.5萬(wàn)輛，則隨機(jī)選取一年，這一年該地區(qū)汽車總銷量不小丁5.5萬(wàn)輛的概率為．（2）由圖表得新能源汽車2015-2021年的銷量如下表：年份2015201620172018201920202021新能源汽年銷量0.06250.1120.1680.2750.4560.541.16新能源汽車銷量超過(guò)0.5萬(wàn)輛的年份有2個(gè)，不超過(guò)0.5萬(wàn)輛的年份有5個(gè)，則隨機(jī)變量X可能取值為0，1，2，，，，所以X的分布列為所以．變式16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對(duì)A，B兩個(gè)公司的掃碼支付情況進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從國(guó)內(nèi)個(gè)人口超過(guò)1000萬(wàn)的超大城市和8個(gè)人口低于100萬(wàn)的小城市中隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).若一次抽取2個(gè)城市，全是小城市的概率為.(1)求n的值；(2)若一次抽取4個(gè)城市，①假設(shè)抽取出的小城市的個(gè)數(shù)為X，求X的可能值及相應(yīng)的概率；②若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.【答案】(1)；(2)①X的可能取值為0，1，2，3，4，相應(yīng)概率見(jiàn)解析；②.【分析】⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2個(gè)城市全是小城市的概率表示出來(lái)，解方程即可；⑵①的分布符合超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算方法求概率即可；②利用條件概率求概率的方法求概率即可.（1）從個(gè)城市中一次抽取2個(gè)城市，有種情況，其中全是小城市的有種情況，則全是小城市的概率為，解得（負(fù)值舍去）.（2）①由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，4，相應(yīng)的概率分別記為，，，，，.②若抽取的4個(gè)城市全是超大城市，共有種情況；若抽取的4個(gè)城市全是小城市，共有種情況，所以若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，則全為超大城市的概率為.變式17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）北京某高校有20名志愿者報(bào)名參加2022年北京冬奧會(huì)服務(wù)工作，其中有2名老師，18名學(xué)生.若從中隨機(jī)抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老師的人數(shù).(1)若，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，的概率取得最大值?最大值是多少?【解析】（1）當(dāng)時(shí)，X的所有可能取值為0，1，2，則，，，所以X的分布列為X012P.（2）的概率為，，且.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的概率取最大值，最大值是.變式18．（2022·山西大附中高三階段練習(xí)）北京時(shí)間2022年7月25日3時(shí)13分，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙成功對(duì)接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時(shí)03分，神舟十四號(hào)航天員乘組成功開(kāi)啟問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙艙門(mén)，順利進(jìn)入問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙.8月，中國(guó)空間站第2個(gè)實(shí)驗(yàn)艙段——夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙已運(yùn)抵文昌航天發(fā)射場(chǎng)，計(jì)劃10月發(fā)射.中國(guó)空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務(wù)，成為長(zhǎng)期有人照料的國(guó)家級(jí)太空實(shí)驗(yàn)室，支持開(kāi)展大規(guī)模、多學(xué)科交叉的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn).為普及空間站相關(guān)知識(shí)，某部門(mén)門(mén)組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動(dòng)，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽(yáng)能、空間運(yùn)輸?shù)?0個(gè)相互獨(dú)立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫(xiě)程序能夠正常運(yùn)行即為程序正確.每位參賽者從10個(gè)不同的題目中隨機(jī)選擇3個(gè)進(jìn)行編程，全部結(jié)束后提交評(píng)委測(cè)試，若其中2個(gè)及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個(gè)程序中，甲只能正確完成其中6個(gè)，乙正確完成每個(gè)程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關(guān)成功的概率；(2)求甲編寫(xiě)程序正確的個(gè)數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰(shuí)闖關(guān)成功的可能性更大.【解析】（1）乙正確完成2個(gè)程序或者3個(gè)程序則闖關(guān)成功，記乙闖關(guān)成功為事件A，則.（2）由題意知隨機(jī)變量X所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列為X0123P所以.所以甲闖關(guān)成功的概率為，因?yàn)?，所以甲比乙闖關(guān)成功的可能性大.變式19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市移動(dòng)公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對(duì)使用A，B兩種套餐的集團(tuán)用戶進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市n（）個(gè)人數(shù)超過(guò)1000人的大集團(tuán)和4個(gè)人數(shù)低于200人的小集團(tuán)中隨機(jī)抽取若干個(gè)集團(tuán)進(jìn)行調(diào)查，若一次抽取2個(gè)集團(tuán)，全是小集團(tuán)的概率為.(1)在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，求全為大集團(tuán)的概率；(2)若一次抽取3個(gè)集團(tuán)，假設(shè)取出小集團(tuán)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望.【解析】（1）由題意知共有個(gè)集團(tuán)，取出2個(gè)集團(tuán)的方法總數(shù)是，其中全是小集團(tuán)的情況有，故全是小集團(tuán)的概率是，整理得到即，解得．若2個(gè)全是大集團(tuán)，共有種情況；若2個(gè)全是小集團(tuán)，共有種情況；故在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，全為大集團(tuán)的概率為．（2）由題意知，隨機(jī)變量的可能取值為，計(jì)算，，，，故的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望為．變式20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)科研團(tuán)隊(duì)在研發(fā)“新冠疫苗”的過(guò)程中，為了測(cè)試疫苗的效果，科研人員以小白鼠為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，進(jìn)行了一些實(shí)驗(yàn)．(1)實(shí)驗(yàn)一：選取10只健康小白鼠，編號(hào)1至10號(hào)，注射一次新冠疫苗后，再讓它們暴露在含有新冠病毒的環(huán)境中．實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，除2號(hào)、3號(hào)和7號(hào)小白鼠仍然感染了新冠病毒，其他小白鼠未被感染．現(xiàn)從這10只小白鼠中隨機(jī)抽取4只進(jìn)行研究，將仍被感染的小白鼠只數(shù)記作X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．(2)科研人員在另一個(gè)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，疫苗可多次連續(xù)注射，小白鼠多次注射疫苗后，每次注射的疫苗對(duì)小白鼠是否有效互相不影響，相互獨(dú)立．若將實(shí)驗(yàn)一中未感染新冠病毒的小白鼠的頻率當(dāng)做疫苗的有效率，那么一只小白鼠注射兩次疫苗能否保證有效率達(dá)到96%？若可以請(qǐng)說(shuō)明理由；若不可以，請(qǐng)問(wèn)每支疫苗的有效率至少要達(dá)到多少才能滿足以上要求．【解析】（1）因?yàn)閄的所有可能取值為0，1，2，3，且X服從的超幾何分布，所以，，，，X的分布列如下：X0123P（或）．（2）因?yàn)閷?shí)驗(yàn)一中未感染新冠病毒的小白鼠的頻率為0.7，所以注射一次疫苗的有效率為0.7．又每次注射的疫苗對(duì)小白鼠是否有效相互獨(dú)立，所以一只小白鼠注射兩次疫苗的有效率為，所以注射兩次疫苗無(wú)法保證有效率達(dá)到96%，設(shè)每支疫苗有效率至少達(dá)到t才能滿足要求，則，解得，所以每支疫苗的有效率至少要達(dá)到0.8才能滿足以上要求．【方法技巧與總結(jié)】1、隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗(yàn)是不放回地抽取次；(2)隨機(jī)變量表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件)，反之亦然．2、求超幾何分布的分布列的步驟（1）驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)，，的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；（3）列出分布列．題型五：二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用例13．（2022·江蘇南通·高三開(kāi)學(xué)考試）某藥廠研制了治療一種疾病的新藥，該藥的治愈率為.現(xiàn)用此藥給位病人治療，記被治愈的人數(shù)為.(1)若，從這人中隨機(jī)選人進(jìn)行用藥體驗(yàn)訪談，求被選中的治愈人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)為何值時(shí)，概率最大？并說(shuō)明理由.【解析】（1）由題意可知的可能取值有、、、，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.（2）由題意可得，由題意可得，即，解得，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，最大.例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，作為國(guó)家戰(zhàn)略性空間基礎(chǔ)設(shè)施，我國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不僅對(duì)國(guó)防安全意義重大，而且在民用領(lǐng)域的精準(zhǔn)化應(yīng)用也越來(lái)越廣泛.2020年6月23日，中國(guó)第55顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星成功發(fā)射標(biāo)志著擁有全部知識(shí)產(chǎn)權(quán)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全面建成．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2019年衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值達(dá)到億元，較2018年約增長(zhǎng)．從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中選取了個(gè)城市進(jìn)行調(diào)研，上圖是這個(gè)城市北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬(wàn)元）的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于萬(wàn)元的調(diào)研城市個(gè)數(shù)；(2)在上述抽取的個(gè)城市中任取個(gè)，設(shè)為產(chǎn)值不超過(guò)萬(wàn)元的城市個(gè)數(shù)，求的分布列及期望和方差．(3)把頻率視為概率，從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中任取個(gè)城市，求恰有個(gè)城市的產(chǎn)值超過(guò)萬(wàn)元的概率．【解析】（1）由頻率分布直方圖可知產(chǎn)值小于萬(wàn)元的頻率為，所以產(chǎn)值小于萬(wàn)元的調(diào)研城市個(gè)數(shù)為（個(gè)）；（2）由（1）得產(chǎn)值不超過(guò)萬(wàn)元的調(diào)研城市有個(gè)，超過(guò)萬(wàn)元的調(diào)研城市有（個(gè)），所以隨機(jī)變量的取值可能為，，，所以，，，所以可得分布列期望；方差；（3）由頻率分布直方圖可知城市的產(chǎn)值超過(guò)萬(wàn)元的概率為，設(shè)任取個(gè)城市中城市的產(chǎn)值超過(guò)萬(wàn)元的城市個(gè)數(shù)為，可知隨機(jī)變量滿足，所以.例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知條件①采用無(wú)放回抽?。孩诓捎糜蟹呕爻槿。?qǐng)?jiān)谏鲜鰞蓚€(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中橫線上并作答，選兩個(gè)條件作答的以條件①評(píng)分.問(wèn)題：在一個(gè)口袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，若___________，從這7個(gè)球中隨機(jī)抽取3個(gè)球，記取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望.【解析】若選①，由題意，隨機(jī)變量的可能值為0，1，2，3，，，；所以的分布列為0123期望；若選②，由題意，隨機(jī)變量的可能值為0，1，2，3，且，，，，，的分布列為：0123期望.變式21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙去某公司應(yīng)聘面試.該公司的面試方案為：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行篩選.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列；(2)請(qǐng)分析比較甲、乙兩人誰(shuí)的面試通過(guò)的可能性較大？【解析】（1）設(shè)為甲正確完成面試題的數(shù)量，為乙正確完成面試題的數(shù)量，由題意可得的可能取值為：，，所以，，，所以的分布列為：123由題意可得，所以，，，，所以的分布列為：0123（2），.，，因?yàn)椋约装l(fā)揮的穩(wěn)定性更強(qiáng)，則甲通過(guò)面試的概率較大.變式22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開(kāi)發(fā)了一個(gè)“AI作業(yè)”項(xiàng)目，并且在甲、乙兩個(gè)學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測(cè)試．經(jīng)過(guò)一個(gè)階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對(duì)他們“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)掌握情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：甲校乙校使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)基本掌握32285030沒(méi)有掌握8141226用樣本頻率估計(jì)概率，并假設(shè)每位學(xué)生是否掌據(jù)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)相互獨(dú)立．(1)從兩校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生對(duì)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)基本掌握的概率；(2)從樣本中沒(méi)有掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，以表示這2人中使用AI作業(yè)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“Al作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生，用“”表示該使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“”表示該使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒(méi)有掌握“向量數(shù)量積”，用“”表示該不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“”表示該不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒(méi)有掌握“向量數(shù)量積”．直接寫(xiě)出方差DX和DY的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）在兩所學(xué)校被調(diào)查的200名學(xué)生中，對(duì)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)基本掌握的學(xué)生有140人，所以估計(jì)從兩校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人．該學(xué)生對(duì)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)基本掌握的概率為（2）依題意，，1，2，且，，，所以的分布列為：012P故（3）由題意，易知服從二項(xiàng)分布，，服從二項(xiàng)分布，，故.變式23．（2022·陜西·安康市教學(xué)研究室高三階段練習(xí)（理））國(guó)慶節(jié)期間，某大型服裝團(tuán)購(gòu)會(huì)舉辦了一次“你消費(fèi)我促銷”活動(dòng)，顧客消費(fèi)滿300元（含300元）可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種（顧客只能選擇其中的一種）.方案一:從裝有5個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球1個(gè)，黑球4個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回地摸出3個(gè)球，每摸出1次紅球，立減100元.方案二:從裝有10個(gè)形狀，大小完全相同的小球（其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，不放回地摸出3個(gè)球，中多規(guī)則為:若摸出2個(gè)紅球，1個(gè)白球，享受免單優(yōu)惠;若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打5折;若摸出1個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，則打7.5折;其余情況不打折.(1)某顧客恰好消費(fèi)300元，選擇抽獎(jiǎng)方案一，求他實(shí)付金額的分布列和期望;(2)若顧客消費(fèi)500元，試從實(shí)付金額的期望值分析顧客選擇何種抽獎(jiǎng)方案更合理?【解析】（1）設(shè)實(shí)付金額為元，可能的取值為0，100，200，300，則，，故的分布列為0100200300所以（元）.（2）若選擇方案一，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，實(shí)付金額為，則，由題意可得，故，所以（元）；若選擇方案二，設(shè)實(shí)付金額為元，可能的取值為0，250，375，500，則，故的分布列為0250375500所以（元）.因?yàn)?，故從?shí)付金額的期望值分析顧客選擇方案一更合理.【方法技巧與總結(jié)】超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項(xiàng)分布是“有放回”抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的3倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】由已知得的所有可能取值為0，1，且，代入，得，所以，故選:D．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從這些零件中任取3個(gè)，那么至少有1個(gè)是一等品的概率是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】全部都是二等品的概率為，故至少有1個(gè)是一等品的概率為.故選：D.3．（2022·廣東·鶴山市鶴華中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）新冠肺炎疫情期間，某公司采用網(wǎng)絡(luò)遠(yuǎn)程面試招聘新員工，其面試方案為：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨(dú)立完成．規(guī)定：至少正確完成其中2道題的應(yīng)聘者才可通過(guò)面試．已知應(yīng)聘者小王在6道備選題中有4道題能正確完成，2道題不能完成，則小王正確完成面試題數(shù)的均值為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】設(shè)小王正確完成的面試題數(shù)為，則的可能取值為1，2，3．；；．∴．故選：B．另設(shè)小王正確完成的面試題數(shù)為，則，∴．故選：B．4．（2022·浙江邵外高三階段練習(xí)）在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布.若在內(nèi)的概率是，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績(jī)不低于85的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閷W(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布，且，所以，，，所以從參加這次考試的學(xué)生中任意選取1名學(xué)生，其成績(jī)不低于85的概率是，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績(jī)不低于85的概率是.故選：A.5．（2022·廣東廣州·一模）已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是90%，則從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格產(chǎn)品的概率是（

）A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95【答案】B【解析】由甲乙兩廠所占比例及對(duì)應(yīng)的合格率可得，故選：B6．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））將10個(gè)不同的數(shù)字分成4組，第1組1個(gè)數(shù)，第2組2個(gè)數(shù)，第3組3個(gè)數(shù)，第4組4個(gè)數(shù)，記是第i組中最大的數(shù)，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】最大的數(shù)在第4組的概率，在前3組中，最大的數(shù)在第3組的概率，在前2組中，最大的數(shù)在第2組的概率，的概率.故選：A.7．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測(cè)）已知盒中裝有1個(gè)黑球與2個(gè)白球，每次從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，并換入一個(gè)黑球.設(shè)三次摸球后盒子中所剩黑球的個(gè)數(shù)為，則為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】可能的取值有1，2，3.故選：D8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為響應(yīng)國(guó)家鼓勵(lì)青年創(chuàng)業(yè)的號(hào)召，小王開(kāi)了兩家店鋪，每個(gè)店鋪招收了兩名員工，若某節(jié)假日每位員工休假的概率均為，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家店鋪無(wú)人休假，則從無(wú)人休假的店鋪調(diào)劑1人到員工全部休假的店鋪，使得該店鋪能夠正常營(yíng)業(yè)，否則該店就停業(yè).則兩家店鋪該節(jié)假日能正常營(yíng)業(yè)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)兩家店鋪都不能正常營(yíng)業(yè)為事件，由題意可知有4人休假的概率為，有3人休假的概率為，所以兩家店鋪都不能正常營(yíng)業(yè)的概率，所以兩家店鋪該節(jié)假日能正常營(yíng)業(yè)的概率為.故選：D二、多選題9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)B．某射擊手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)C．從裝有除顏色外其余均相同的5個(gè)紅球?3個(gè)白球的袋中任取1個(gè)球，設(shè)D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)【答案】BCD【解析】由題意可知B，C，D中的隨機(jī)事件只有兩種結(jié)果，隨機(jī)變量均服從兩點(diǎn)分布，而拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)的取值為1，2，3，4，5，6，所以A中的隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布.故選:BCD10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的10個(gè)球，其中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量為取出黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量為取出4個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由條件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4個(gè)球，所以，故B正確；的取值為，，，，，，可知A錯(cuò)；的取值為，且，，，，，則，，所以，故C錯(cuò)；的取值為，且，，，，，所以，故D正確；故選：BD.11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某工廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽測(cè)，兩位員工隨機(jī)從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工A從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，員工B從這一批產(chǎn)品中無(wú)放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品．設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X，員工B抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為Y，，1，2，3．則下列判斷正確的是（

）A．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布 B．隨機(jī)變量Y服從超幾何分布C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，B選項(xiàng)，由超幾何分布和二項(xiàng)分布的概念可知兩個(gè)選項(xiàng)均正確；對(duì)于D選項(xiàng)，該批產(chǎn)品有M件，則，，因此D正確；對(duì)于C選項(xiàng)，假若C正確可得，則D錯(cuò)誤，矛盾！故C錯(cuò)誤．故選：ABD.12．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）一口袋中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列結(jié)論正確的是（

）A．從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有兩個(gè)白球的概率為C．從中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了紅球，則第二次再次取到紅球的概率為D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為【答案】ABD【解析】對(duì)選項(xiàng)A,從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到白球的個(gè)數(shù)，故恰好有兩個(gè)白球的概率為；對(duì)選項(xiàng)C，從中不放回的取球2次，每次任取1球，記A為“第一次取到紅球”，B為“第二次取到紅球”，則所求概率為，故C錯(cuò)誤。對(duì)選項(xiàng)D，從中有放回的取球3次，每次任取一球，則取到紅球的個(gè)數(shù)，至少有一次取到紅球的概率為，故D正確。故選：ABD三、填空題13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，服從二項(xiàng)分布，那么當(dāng)變化時(shí)，關(guān)于成立的的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【解析】由得：，即，，又，，，則的個(gè)數(shù)有個(gè).故答案為：.14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是______.【答案】【解析】根據(jù)題意，該實(shí)驗(yàn)為獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，記6點(diǎn)向上的次數(shù)為，則，，故，因此至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率為.故答案為：.15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則使取得最大值時(shí)，______．【答案】3或4【解析】依題意，依題意，，，，所以、不是的最大項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由，整理得，即，整理得，，所以當(dāng)為3或4時(shí)，取得最大值.故答案為：3或416．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）把半圓弧分成等份，以這些分點(diǎn)（包括直徑的兩端點(diǎn)）為頂點(diǎn)，作出三角形，從中任取個(gè)不同的三角形，則這個(gè)不同的三角形中鈍角三角形的個(gè)數(shù)不少于的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】如下圖所示，設(shè)為半圓弧的直徑，、、為半圓弧另外的三個(gè)四等分點(diǎn)，從、、、、這個(gè)點(diǎn)任取個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，一共能組成三角形的個(gè)數(shù)為.其中直角三角形有：、、，共個(gè)，鈍角三角形的個(gè)數(shù)為，由題意可知，，，因此，所求概率為.故答案為：.17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，以表示取到白球的個(gè)數(shù)，表示取到黑球的個(gè)數(shù)．給出下列各項(xiàng)：①，；②；③；④.其中正確的是________．(填上所有正確項(xiàng)的序號(hào))【答案】①②④【解析】由題意可知X服從超幾何分布，η也服從超幾何分布．∴E(X)＝＝，E(η)＝＝.又X的分布列X012P∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝，D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.η的分布列為η123P∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝.∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正確．故答案為：①②④.四、解答題18．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（理））疫情過(guò)后，某商場(chǎng)為了應(yīng)對(duì)銷售窘境，清明節(jié)前后特對(duì)1000臺(tái)筆記本電腦推出促銷活動(dòng)，其中高配400臺(tái)，低配600臺(tái).(1)若高配筆記本4月1日到4月6日的銷量分別為：9?m?12?10?n?10（單位：臺(tái)），把這些數(shù)據(jù)看作一個(gè)總體，其均值為10，方差為3，求的值；(2)現(xiàn)欲從這批筆記本電腦中分層抽取一個(gè)容量為25的樣本，將此部分樣本看成一個(gè)總體，再?gòu)闹腥稳?臺(tái)筆記本電腦，求至少有1臺(tái)為高配的概率（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.【解析】(1)由題知：，即，，即，所以所以(2)因?yàn)?000臺(tái)筆記本電腦中，高配400臺(tái)，低配600臺(tái)，所以，按照分層抽樣得容量為25的樣本，高配電腦有臺(tái)，低配電腦有臺(tái).所以，從中任取3臺(tái)筆記本電腦，沒(méi)有高配電腦的概率為，所以，從中任取3臺(tái)筆記本電腦，求至少有1臺(tái)