河海大學5結構力學全部核心考點講義

2013河海大學結構力學（I）

基礎知識點框架梳理及其解析

第一章體系的幾何組成分析

本章需要重點掌握幾何不變體系、自由度、剛片、約束等基本概念，重點掌握幾何不變體系組成的三

規(guī)則——兩剛片規(guī)則，三剛片規(guī)則和二元體規(guī)則。

一、基本概念

1、幾何不變體系：在荷載作用下能保持其幾何形狀和位置都不改變的體系。

2、幾何可變體系：在荷載作用下不能保持其幾何形狀和位置都不改變的體系。

3、剛片：假想的一個在平面內完全不變形的剛性物體叫作剛片。在平面桿件體系中，一根直桿、折

桿或曲桿都可以視為剛片，并且山這些構件組成的幾何不變體系也可視為剛片。剛片中任一兩點間的距離

保持不變，既由剛片中任意兩點間的一條直線的位置可確定剛片中任一點的位置。所以可由剛片中的一條

直線代表剛片。

4、自由度的概念:

一個點：在平面內運動完全不受限制的一個點有2個自由度。

一個剛片：在平面內運動完全不受限制的一個剛片有3個自山度。

X

(a)

5、約束，是能減少體系自由度數的裝置。

1）鏈桿根單鏈桿或一個可動較（一根支座鏈桿）具有1個約束。

2）單較個單餃或一個固定較支座（兩個支座鏈桿）具有兩個約束。

3）單剛結點個單剛結點或一個固定支座具有3個約束。

y小

6、必要約束：除去該約束后，體系的自由度將增加，這類約束稱為必要約束。

多余約束：除去該約束后，體系的自由度不變，這類約束稱為多余約束。

7、無多余約束的幾何不變體系是靜定結構，有多余約束的幾何不變體系是超靜定結構。

一、幾何不變體系的簡單組成規(guī)則

規(guī)則'兩個剛片之間的連接（兩剛片規(guī)則）：（圖2-3-1）

兩個剛片用不全交于一點也不全平行的三根鏈桿相連，組成無多余約束的幾何不變體系。

規(guī)則二三個剛片之間的接（三剛片規(guī)則）：

三個剛片用不全在一條直線上的三個單錢（可以是虛錢）兩兩相連，組成無多余約束的幾何不變體系。

規(guī)則三剛片與點之間的連接（二元體規(guī)則）：

二元體特性：在體系上加上或拆去一個二元體，不改變體系原有的自由度數。

利用二元體規(guī)則簡化體系，使體系的幾何組成分析簡單明了。

【例題1】：分析圖示體系的幾何組成。

解答：DF、FE為二元桿，將其去掉并不影響體系的可變性。將其去掉后，ACD為較接三角形，視為

剛片I,CBE為剛片n,基礎視為剛片HI。三個剛片通過三個不在同一條直線上的三個較相連，組成沒有

多余約束的幾何不變體系。即原體系為幾何不變體系。

【例題2】：分析圖示體系的幾何組成。

解答：將基礎視為剛片I,25、35、23三根桿組成較結三角形，視為剛片II,46桿視為剛片川，剛

片I與剛片1【通過兩個鏈桿組成的虛錢相連,剛片I與剛片III通過14桿、鏈桿組成的虛錢相連，剛片II

與剛片III通過24桿、56桿組成的虛銳相連。這樣三個剛片通過三個在同一直線上的三個虛錢相連，組成

幾何瞬變體系，即圖示體系為幾何瞬變體系。

習題：對下列平面體系進行幾何組成分析。

5、6、

第二章靜定結構受力分析

本章包括章跨梁的靜定受力分析，多跨靜定梁的受力分析，桁架的受力分析，靜定剛架的受力分析，

靜定組合結構的受力分析及靜定結構的性質幾個部分。要求同學們掌握荷載與內力的關系，疊加原理，主

從和附加部分，結點法和截面法等知識點，能熟練地計算各種靜定結構的內力。

第一節(jié)單跨靜定梁

單跨靜定梁的類型：簡支梁、伸臂梁、懸臂梁。

?、截面法求某一指定截面的內力

1、內力的符號規(guī)定

①彎矩M：對梁而言，使桿件上凹者為正（也即下側纖維受拉為正），反之為負。一般情況下作內力

圖時，規(guī)定彎矩圖縱標畫在受拉--側，不標注正負號。

②剪力Q：使截開后保留部分產生順時針旋轉者為正，反之為負。

③軸力N：拉為正，壓為負。剪力圖和軸力圖可繪在桿軸的任意一側，但必須標注正負號。

2、截面法的步驟

（1）以整體為研究對象，利用靜力平衡條件求支座反力（簡支梁、外伸梁）

（2）截面法，取隔離體利用靜力平衡條件求截面內力

二、荷載與內力的關系

1、微分關系：

dFN/dx=-qxdFQ/dx=-qydM/dx=Qd2M/dx2=-qy

2、利用荷載和內力關系的幾何意義，可由荷載的分布和類型定性地判斷或校核區(qū)段上的內力圖形狀以

及突變點和突變值的大小。

(1)在無荷區(qū)段q(x)=O,剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線。

(2)在口(刈=常量段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。

(3)集中力作用點兩側，剪力值有突變、彎矩圖形成尖點；集中力偶作用點兩側，彎矩值突變、剪

力值無變化。

三、疊加法作彎矩圖

1、簡支梁的彎矩圖疊加法

2、彎矩圖疊加的實質

指彎矩豎標的疊加(而不是圖形的簡單疊加)，當同?截面在兩個彎矩豎標在基線不同側時，疊加后

是兩個豎標絕對值相減，彎矩豎標畫在絕對值大的一側；當兩個豎標在基線同?側時，則疊加后是兩個豎

標絕對值相加，豎標畫在同側。

基線接力法概念。

3、直桿段彎矩圖的區(qū)段疊加法

直桿區(qū)段的彎矩圖疊加可利用簡支梁的彎矩圖疊加法。其步驟是：

(1)計算直桿區(qū)段兩端的最后彎矩值，畫出這兩個值的豎標，并將兩豎標連一直線；

(2)將所連直線作為新的基線,疊加相應簡支梁在跨間荷載作用下的彎矩圖。

A"q以7q

\11111111111111

"1r

或AB

1右

MAqMB

KIIIIIIIIINA.（『lllllllhmilllllp-

-；

八〃1mm....

廣MB1P

yB

II

MAq

式川川

+

M+Ma,1111*,

四、用“擬簡支梁法”繪彎矩圖

用“擬簡支梁法”繪彎矩圖時，先繪出控制截面的彎矩豎標，其間若無外荷載作用，可用直線相連;

若有外荷載作用，則以上述直線為基線，再疊加上荷載在相應簡支梁上的彎矩圖。

【例題1】：試繪制圖示外伸梁的內力圖

斛

160kn40kn(

q(x)=40kn/m

H=OA80kn.m

AIIIIlJ]IIv

E

1m2m4m

極

VB=^XOKN

VA=130KN

Q(KN)

解答:

（一）求支座反力:

EX=o

E氏=0

M4-o

Z匕二130KN〕)

M-o

月

VB=310KN〕)

=130+310-160-40-40x6=0

校核:

（二）繪制內力圖:

V=I30KN

2

z$=0

Z2c=+130KN

MC=\3OKN.M

第

-節(jié)

-多跨靜定梁的受力分析

基本部分：結構中不依賴于其它部分而獨立與大地形成幾何不變的部分。

附屬部分：結構中依賴基本部分的支承才能保持幾何不變的部分。

把結構中各部分之間的這種依賴、支承關系形象的畫成如圖示的層疊圖，可以清楚的看出多跨靜定梁

所具有的如下特征:

1）組成順序：先基本部分，后附屬部分;

2）傳力順序：先附屬部分，后基本部分。

由于這種多跨靜定梁的層疊圖象階梯，可稱為階梯形多跨靜定梁。

【例題2】試作圖示多跨靜定梁的內力圖。

多跨靜定梁小結

了解多跨靜定梁兩種基本類型的幾何組成特點。多跨靜定梁分層計算的目的，為了不解聯立方程。

計算要點：按先附屬，后基本的順序。

習題：作出下列結構的彎矩圖

1、2、

40kN40kN

II20kN/m2P2PaP

出亡6X2》2Y

2m2m2m2m4m

第三節(jié)靜定剛架的受力析

-、靜定剛架的計算步驟：

（1）計算支座反力（或約束力）；

（2）計算桿端截面內力（簡稱桿端力）和控制截面內力；

（3）畫各內力圖。

二、繪制剛架內力圖時應注意的問題

1、計算懸臂剛架時，可不必先求支座反力，從懸臂端算起即可。

2、計算簡支剛架時，■-般先求支座反力，而后用截面法計算。

3、計算三較剛架時，要利用中間較彎矩為零的條件。

4、繪Q圖、N圖必須標正、負號；繪M圖不標正負號，M圖繪在受拉一側。

5、求支座反力后及繪內力圖后都應進行校核。

注意：三校剛架結構中，支座反力的計算是內力計算的關鍵所在。

通常情況下，支座反力是兩兩偶聯的，需要通過解聯立方程組來計算支座反力，因此尋找建立相互獨

立的支座反力的靜力平衡方程，可以大大降低計算反力的復雜程度和難度。

【例題3】試繪制下圖所示剛架的彎矩圖。

40

麻M圖(kN-m)A

解答：（1）對整體進行分析，對A點取矩，ZA/A=0,20+30x2-匕-4=0,。

利用Y方向的平衡，ZY’=0,YA+YB=30,?

（2）取右半邊為隔離體，利用C點彎矩為0,對C點取矩，ZM,=0,YB-2+XB-4=0,解得

XB=-10kN(向左)。

（3）對整體進行分析，ZX,=0,XA+XB=0,XA=10kN（向右）。

（4）繪制彎矩圖。

習題：作出下列結構的彎矩圖

1、2、

第四節(jié)平面桁架的受力分析

一、理想桁架假定：

1、桁架中的較為絕對光滑而無磨擦的理想較；

2、桁架中的各桿件軸線絕對平直，且通過它兩端餃中心；

3、桁架上的荷載和支座都在結點上。

理想桁架桿件只產生軸向內力，即理想桁架桿件是二力桿件（由以上假定提供的可能性及二力平衡原

理）。以下提及的桁架均為理想桁架，桁架中的桿件叫桁架桿或二力桿，桁架內力及內力計算均指桁架桿

軸力計算。

二、結構單桿與零桿

僅截面取某結點為隔離體，并且結點連接的全部內力未知，對于僅用一個平衡議程就可以求出內力的,

稱為結點單桿。利用這個概念，根據荷載狀況可判斷此桿內力是否為零。零內力桿簡稱零桿。

求解桁架前先要找出零桿，將零桿去年以簡化計算。

三、結點法

依次取桁架中的單個結點為隔離體，由結點的平衡條件計算桁架內力的方法叫結點法。

山于理想桁架的上述假設，匯交于結點的各桿軸力（包括荷載和支座反力）均過錢結點中心。所以，

以單個結點為隔離體的受力圖是平面匯交力系，只有兩個獨立的平衡方程。

一般情況下截取結點的原則是：?個結點只能截斷兩根待求桿件。

四、截面法

計算桁架內力的截面法，是假想用一個截面將桁架的某些桿件切開，使桁架分成兩部分，利用任一部

分計算被切斷桿件的軸力的方法。

顯然，由于桁架被切開后的任一部分沒有對其所含的結點數的限制，所以截面法所取的隔離體應是平

面一般力系。平面一般力系只能列出三個獨立的平衡方程，因此，截面法切斷的待求軸力桿件最多是三根。

￡Fy=O

FNCY2/2+100-80=0

FNC=-28.28kN

取截面I-I以左:

gM4=0

Faxx3+100x6-40x3=0

Fax=-160kN

FNa=(Fax/lax)xla=-164.92kN

Fay=(Fax/la)xlay=-40kN

ZFy=0Fby-Fay+40-100=0

Fby=20kN

FNb=(Fby/lby)xlb=33.33kN

FNa=-164.92kN,FN=33.33kN,FNc=-28.28Kn

習題：計算圖示桁架中桿八2、3的內力。

第三章靜定結構位移計算

本章包括虛功原理，單位荷載法，圖乘法，其它外因作用下的位移，互等定理等知識點。其中虛

功原理和互等定理只會考小題，需要重點理解。要求會計算外荷載作用下的位移，這就要求熟練掌握單位

荷載法和圖乘法。其它外因作用卜的位移不會考計算，只需了解位移產生的原理。

一、位移的基本概念

結構在荷載、溫度變化、支座移動與制造誤差等各種因素作用下發(fā)生變形，因而結構上個點的位置

會有變動。這種位置的變動稱為位移。

結構的位移通常有兩種，如F圖：截面的移動--線位移；截面的轉動--角位移。

產生位移的原因：

(1)荷載作用；

(2)溫度變化和材料脹縮；

(3)支座的沉降和制造誤差。

二、虛功原理的兩種表述

任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移時所做的總虛

功，恒等于變形體所接受的總虛變形功。也即有如下虛功方程成立：

8We=3W:

以上為虛位移原理表述，其中有兩個狀態(tài)，位移狀態(tài)為虛設的，平衡力系為實際狀態(tài)。虛位移用于求

機構的位移，不會考計算題，僅作了解。下面重點講解虛力原理。

虛力原理：平衡力系為虛設的，而另一種位移狀態(tài)為真實的，虛設力系在真實位移上做的虛功等于內

1-Za+RK1?QI+RK2-Ca2=Z+2晅K,九ds+ZJWK3ds

于是得到鼠=ZWK?K/s+X?r如+ZP？K4ds2KC“

三、單位荷載法

在擬求位移的方向上虛設單位荷載，利用平衡條件求支反力。利用虛力原理列出虛力方程進行求解，

由于是在所求位移處設置單位荷載，因此，這種解法又稱單位荷載法。

單位荷載法由虛力原理推導得到，求哪個方向的位移就在要求位移的方向上施加相應的單位力。其步

驟如下：

(D求出在外荷載作于下的內力圖.

(2)在所求位移的方向上施加單位力，求出內力圖

(3)由下列公式求出所求位移

^Y\Md6+^\FNdX+Y\FQdri-YFl(KcK

式中，苻=，.跖豆公於是結構在集中單位荷載P=1作用下的支反力和內力，它們都可以

有由靜力平衡條件求出。而位移則是實際結構中的位移。

四、荷載作用下位移的計算

荷載作用下（無支座沉降），位移計算的統一公式：

1?4￡LnUn

弓的內力

訪瓦，取虛設單位荷載引起的內力

（1）梁和剛架

由于梁和剛架是以彎曲為主要變形，因此位移計算可簡化為

A=EJ-^&

⑵桁架

桁架中桿件只受軸力作用，且每根桿件的截面面積、軸力均為常數，故位移計算可簡化為

A=￡J障"=￡制?盤F

unZwl&Wl

（3）組合結構

桁粱混合結構中，?些桿件以彎為主，一些桿件只受軸力，故位移計算可簡化為

A=￡4&+￡邑

乙1Bi21&A

五、圖乘法

根據計算粱和剛架位移的公式：

A=EJ警&

為避免微分運算，以下介紹一種計算方法一圖乘法。

下圖為某直桿段AB的兩個彎矩圖，其中有一個圖形為直線（Mi圖）,如果抗彎剛度EI為常數，則可

進行以下計算:

dA=MKds是比史中陰影的微面積，利用靜矩的概念可得

JxdA=AXXQ代入上式

A

上式中yO是在MK圖形心C對應處的Mi圖標距，A是MK圖的面積，因此：

位移計算的問題轉化為求圖形的面積、形心和標距的問題。

應用圖乘法應注意兩點：

1.應用條件：桿段應是等截面直桿段；兩個圖形中至少有一個是直線，標距yO應取自直線圖形中。

2.正負號規(guī)定：面積A與標距yO在同一側時，乘積取正號；反之取負號。

常見圖形的面枳和形心

根據圖乘法，位移計算主要是計算圖形的血積、形心和標距，下面介紹常見圖形的形心和面積:

A=-lh

3

三角形二次拋物線

3

二次拋物線二次拋物線

三次拋物線n次拋物線

應用圖乘法時的幾個具體問題

(1)如果兩個圖形都是直線圖形，則標距可任取自其中一個圖形。

(2)如果一個圖形為曲線，另一個圖形為折線，則應分段考慮。如下圖所示

則計算結果應為：

f,熊1”=心++2$

(3)如果圖形比較復雜，可以將圖形分解為幾個簡單圖形，分項計算后再進行疊加。

如圖6-8兩個圖形均為梯形，將梯形分為兩個三角形再進行圖乘。因此，

對于非標準拋物線的圖乘，由于彎矩圖中的非標準拋物線是由疊加原理獲得，因此可以將非標準拋物

線分解為標準拋物線圖形和直線圖形。

yI|I,,：?：IM.5、?j[j]!jj[.J.s-.j....IIv

3;**I1

|I

K一一；"

MQ■歲‘憐

【例題1】試求出圖6-lla所示剛架結點B的水平位移,EI為常數。

(C)

解:作實際狀態(tài)和單位荷載的彎矩圖

*間的面積可分知P4舄計算

J4dJ2.V3

7224、43812

硒上相應的標距為

.=于，八=在

T<_

AeHifjl浦a,/"/*l｝黎一

?7Bl磯4343122)膽

六、溫度改變時的位移計算

河海大學的考研結構力學中，溫度改變時的位移計算不會出計算題，只可能出小題，所以這部分對計

算不作要求，只要求理解位移產生的原理。

特別注意：對于靜定結構而言，溫度變化會使桿件發(fā)生變形，從而產生位移，但是不會引起內力。對

于超靜定結構，山于存在多余約束，桿件變形后會產生內力。

溫度改變時位移的計算公式：

A=￡atJ弘+￡要［私

其中，a為線膨脹系數，‘。=&+'2)/2,加=上唄

正負號的規(guī)定：當桿高溫的側與而受拉的側在同?側時，上式中第二項的乘積為正，否則為負。

七、互等定理

1、功的互等定理

設有兩組外力分別作用在同一結構圖，分別稱為第?狀態(tài)和第二狀態(tài)。

.1%,

屏、、一A2R1北

第一狀態(tài)

IV

iA12

第二狀態(tài)

圖6-16

對于兩種狀態(tài)應用虛功原理:

外虛功有兩個下標，第一個表示受力狀態(tài)，第二個表示位移狀態(tài)，位移也有兩個下標，第一個表示

位移的位置，第二個表示引起位移的力狀態(tài)。

于是可得功的互等定理：

第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)位移上所做的功等于第二狀態(tài)外力在第一狀態(tài)位移上所做的功。即

2、位移互等定理

如下圖所示的兩種狀態(tài)

第一狀態(tài)

第二狀態(tài)

有功的互等定理可得

4Ali=電卸

當兩個作用荷載都等于一時，此時的位移記作512和52U

于是得

金=%

512和321又可稱為位移影響系數,即:A12=P12812

這就是位移互等定理：

有叫弓眼的與荷勒M的位移舲響系數小等于由制如弓眼的與背初制應的物幅數小.

位移互等定理表明第二個單位力在第一個單位力作用點沿其方向引起的位移等于第一個單位力在第

二個單位力作用點沿其方向引起的位移。

注意：這里的荷我和位移都是廣義荷載和廣義位移，一般情況下定理中的兩個廣義位移的量綱可能不

相同，但是影響系數在數值和量綱上仍然保持相等。

3、反力互等定理

如上圖所示為同一線性變形的兩種狀態(tài)。下面討論由于圖中的變形一起的反力的變化，注意圖中的反

力在用雙下標，第一個下標i表示反力與相應的位移Ci對應，第二個下標表示位移產生的反力，如F12表

示由位移C2引起的與位移C1對應的反力。

應用功的互等定理可得：

坨x,+穌/0=%"0+鳥產.

坨=

/一小

el?I

進一步有

=%

r

門11

上式實際上就是反力互等定理：

在任一線性變形體中，由位移C1引起的與位移C2相應的反力影響系數r21,等于由位移C2所應起

的與位移C1相應的反力影響系數rl2。

定理的關鍵是支反力應與位移相對應，可以是廣義力和廣義位移。

4、反力與位移互等定理：

由于單位荷載使體系中某一支座所產生的反力，等于該支座發(fā)生與反力方向相一致的單位位移

時，在單位荷載作用處所引起的位移，唯符號相反。

rl2=-821

習題：1、求圖示結構E點的豎向位移。EI=常數。

q

I1/321/31/3

1*^----一|<-------------------------------

2、求圖示結構B點的豎向位移，E/=常數。

+------------M

B

第四章力法

本章內容在考研結構力學中會出一道20分的大題，必須熟練力法的計算，熟悉力法的基本思路。要

計算力法，就必須掌握三部分內容，1、找出多余約束，2、會計算系數和自由項，3、組合成最終的彎

矩圖。另外，對稱性的利用是本章的另一個重點，簡化時要特別小心，否則一錯全錯。

第一節(jié)超靜定結構概述

超靜定結構是具有多余約束的幾何不變體系。

結構的超靜定次數=結構的多余約束數。

要求出超靜定結構的內力必須先求出多余約束的內力，一旦求出它們，就變成靜定結構內力計算問題

了。所以關鍵在于解決多余約束的內力。

結構超靜定次數的判定方法（拆除約束法）——去掉超靜定結構的多余約束，使其成為靜定結構；則

去抻多余約束的個數即為該結構的超靜定次數。

1）去掉一根支座鏈桿或截斷一根桁架桿，相當拆除1個約束：

2）去掉一個固定較支座或切開一個單較，相當拆除2個約束；

3）去掉一個固定支座或切開一根梁式桿，相當拆除3個約束；

4）在一根梁式桿上加一個單較，相當拆除1個約束。

【例題1】判斷下列結構的超靜定次數

第二節(jié)力法解超靜定結構

有多余約束是超靜定與靜定的根本區(qū)別，因此，解決多余約束中的多余約束力是解超靜定的關鍵。

X1

A]=0An+A1P=0

品=用/，為X|+5=0

1、力法基本未知量

結構的多余約束中產生的多余未知力(簡稱多余力)。

2、力法基本體系

力法基本結構，是原結構拆除多余約束后得到的靜定結構；力法基本體系，是原結構拆除多余約束后

得到的基本結構在荷載(原有各種因素)和多余力共同作用的體系。

3、力法基本方程

b][X]+<512X2+A]p=0

%X1+&2X2+△2P=0

系數、自由項的物理意義：

4—基本結構在Xj=i作用下，沿Xi方向的位移；

△評—基本結構在荷載作用下，沿xi方向的位移；

4、力法的基本步驟

(1)選取力法基本體系；

(2)列力法基本方程；

(3)繪單位彎矩圖、荷載彎矩圖；

(4)求力法方程各系數，解力法方程；

(5)繪內力圖。

注意：同一超靜定結構可以選出不同的多余約束，可以選取不同的基本體系，選取基本體系時要盡量

使計算簡便。

【例題2】用力法計算圖示超靜定剛架

z

l

T

l

分析：此結構可選取三種不同的基本體系，現選取一種計算較為簡便的基本體系進行計算。

解題：（1）選取基本體系。如下圖所示，可選取三種不同的基本體系，現用第一種基本體系進行計算。

（2）列出力法基本方程

A）=0g|X[+九、2+4p二°

A.,=0&]X[+&2X2+A2P=0

（3）繪制荷載彎矩圖、單位荷載圖

6

嘛

fG

Mz(kN'w)

MiXj=J小腳.叫

X2=l

（4）求力法方程各系數，解力法方程

.v甌702

將“，圖與陷圖圖乘得到：“JEIEI,

A”=Zj^/x=.當

將仞戶圖與圖圖乘得到：」ElE1

KMM/207

r,r,c>.i=Lv―L—=-----

將“I圖與Mi圖自乘得到：JEiEi

MMocv也1必，〃135

將何I圖與仞2圖圖乘得到：耳2=心|=ZJ—=一弁

“LL匕1

M

Mo_v(M2rM,_144

將他2圖與例2圖自乘得到：^22=ZJp-dX^—

“HLI

(4)求力法方程各系數，解力法方程

207X1,-135X2,+702=0,得到：\[X.1=-2.61kN

—135X1+144X2-520=0X2^\.UkN

(5)繪制彎矩圖M=MtX,+M2X2+MP

3.33

3.33

HnsH

M(kNm)

第三節(jié)利用對稱性的簡化

結構具有對稱性時應滿足:

1）結構的幾何形狀（由桿軸圍成的圖形）和支座形式正對稱于某??軸線;

2）結構的材料性質及截面形狀特征（E、I、A）也對稱于同一軸線。

正對稱荷載作用下，只有正對稱的未知力（彎矩，軸力），結構的內力和變形是對稱的。

反對稱荷載作用卜，只有反對稱的未知力（剪力），結構的內力和變形是反對稱的。

利用對稱性簡化有兩種方法，一種是選取對稱的未知力，一種是將結構取一半進行分析，下面分別討

論兩種方法。

一、選取對稱的未知力

將與軸線相交的截面截開，利用對稱性，有：在正對稱荷載作用下，反對稱的未知力為0；在反對稱

的荷載作用下，正對稱的未知力為0。從使典型方程而減少待求的未知力的個數。

1、正對稱荷載作用下的簡化

jllx1+3i2x2+63X3+金=0

比=%=0?="=。

的工+622X2+&3X3+&P=01此種情況下，>=乂3=0

A3P=0.

當XI+%乂2+"+。=0

典型方程組可a/簡+a化?x為?+二Ap二=o八

S2[X{+622X2+A”=0

2、反對稱荷載作用下的簡化

4因+%乂2+〃3+和=0

%=61=°?23=62=0

b,[X]+<^27-^2+^23X3+A“—0卜此種情況下,>nX1=X2=0

△1P=°,A3P=°,

%X1+^i2X2+633X3+43戶=0

典型方程組可簡化

633X3+A3P=O

二、選取半個結構

當對稱結構承受正對稱或反對稱荷載時，可以沿對稱軸切開，取結構的一半進行計算。

選取半結構的原則是，該半結構能等效代替原結構半邊的受力與變形狀態(tài)。即在切口處按原結構的位

移條件和靜力條件設置相應的支承。

【例題3】利用對稱性簡化下圖中的結構，寫出簡化后的典型方程。

<5Pti++Alp=°

1^3+A3p=0

&］巧+S22x2+A2P=0

習題：用力法計算圖示結構并作M圖。E/=常數。

q=16kN/m

n-rmTTTTTT1ii1??HH

XX

4m

*3

2m2m2m2m_

第五章位移法

本章在考研結構力學中會考?道15到25分的大題。本章內容包括等截面直桿的轉角位移方程，形

常數和我常數的概念，位移法求解超靜定結構。用位移法求解的超靜定結構又分為有側移的剛架和無側移

的剛架兩種。

第一節(jié)等截面直桿的轉角位移方程

下圖為等截面桿件，截面慣性矩為常數。已知端點A和B的角位移分別是6A和0B，兩端垂直于

桿軸的相對線位移為A,擬求桿端彎矩。

在位移法中位移的正負號規(guī)定為:

結點轉角，弦轉角和桿端彎矩?律以順時針為正。這點?定要注意與以前的不同。

應用單位荷載法可得出:

JC01i

■Jt4

桿件的線剛度i=EI/l

解聯立方程可得：

<=，/+方%-吟

Ma=2i-—吟

利用平衡條件可求出桿端剪力如下:

于是可將卜一式寫為:

3

2i4

竺612i

則矩陣產」稱為桿件的剛度矩陣，其中的系數稱為剛度系數，又稱為形常數。

根據前血的討論得出一般情況下的剛度方程

以下將利用以上結論討論桿件在不同的支承條件下的剛度方程。

對于圖a,B端為固定支座，0B=0,則得

Ma=43%-吟

%=淡％-吟

對于圖b,B端為較支座，MBA=O,則得

仁=吟

對于圖c,B端為滑動支座，0B=O和FQAB=OFQBA=O,則得

“a"

UM=-iOA

由荷載引起的固端彎矩見教材中的表格。

最后利用疊加原理得到桿端彎矩的一般公式為：

—哈

=24%-吟+S

上式也稱為等截面直桿的轉角-位移方程。

上式也稱為等截面直桿的轉角-位移方程。

第二節(jié)位移法求解無側移的剛架

無側移剛架：剛架的各結點(不包括支座)只有角位移而沒有線位移。

對于無側移的剛架，位移法的未知量只有轉角位移，用結點平衡方程求解較為簡便。對于有側移的剛

架需要建立位移法基本方程來求解。

位移法求解無側移剛架的步驟：

(1)找出基本未知量

(2)用轉角位移方程表示出桿端彎矩

(3)利用結點平衡條件建立方程組，求解出基本未知量

(4)求出桿端彎矩，繪出彎矩圖

【例題1】利用位移法求解圖示剛架，繪出彎矩圖。

1.基本未知量

共有兩個剛結點，因而有兩個基本未知量：0B和8C

2.用轉角位移方程表達桿端彎矩

心=更工40kNm

8

*Jj=-a=T1.7kNB

12

各桿線剛度的計算

列各桿的桿端彎矩

=3,+心=現+40

+狙-41.7

Mg=3.+4dc+*二=如+4%+41.7

M.=^CBPC=

M.=有?=30.*口=L50.

%=3。=啊*R=%

3.利用結點B、C的力矩平衡方程

￡”.=0*.+**+*■=0

BPt(Wa+2flc-1.7=0

EMc=0*.+*B+*b=0

V20A4-9^；+41.7=0

4.求基本未知量

0B=1.15

ec=-4.89

5.計算桿端彎矩并畫彎矩圖

JfM=43.5kNn>

Mm=T6.9kNm

M0=245kN<m

=-14.7kNm

M?-3.AUS-m

Mn=1.7kNm

Mb=-9.78kNm

JGcny.SSkNin

習題：用位移法計算圖示結構并作M圖，各桿線剛度均為i,各桿長均為/。

q

亂年,一%

A

第三節(jié)位移法求解有側移的剛架

一、位移法基本方程的建立

現在用如卜圖所示的基本體系建立位移法基本方程。

1.控制附加約束，使結點位移和A2全部為零，結構處于鎖住狀態(tài)，施加荷載，可求出結構的內力,

同時在附加約束中產生反力F1P和F2P。這些約束力在原結構中是沒有的。

2.再控制附加約束，使控制點發(fā)生位移如果位移與原結構相同，則附加約束反力完全消失，附加約束

不起作用，基本體系與原結構完全相同。

由此得出基本體系轉化為原結構的條件：基本結構在給定荷載以及結點位移和A2共同作用卜一，附

加約束反力應等于零。即

F1=O

F2=0

利用疊加原理進行計算

1.荷載單獨作用--相應的反力F1P和F2P。

2.單位位移Al=l單獨作用--相應的約束力kll和k2E

3.單位位移A2=l單獨作用--相應的約束力k21和k22?

疊加以上結果即可得到位移法的基本方程

耳=4j|A|=0

瑪=.|A[—0

【例題2】用位移法求解下圖中的超靜定結構，繪出彎矩圖

(1)找出基本未知量，㈣出基本體系

（2）繪出圖，求出自由項

尸》BC

&）。Z：X

4B-60

取B結點為隔離體，建立力矩平衡方程，得片p=4kN-m

取BC桿為隔離體，建立平衡方程，得尸2P=-6kN-m

（3）繪出"i圖，求出系數加溫2

俎&11=4i+6i=1Oi

取B結點為隔離體，建立力矩平衡方程,

取BC桿為隔離體，建立平衡方程，得%2=-1-5,

(3)繪出而2圖，求出系數&2”422

取B結點為隔離體，建立力矩平衡方程，得匕2=一1?5,

22—14

取BC桿為隔離體，建立平衡方程，得16

(4)建立基本方程，解出基本未知量

10/A,-1.5ZA+4=0=0.737-

2i

15=><

—1.5zA.H------6=0

1162=7.580-

4i

(5)繪出彎矩圖

M=而白+而242+例2

習題：用位移法計算圖示結構并作M圖。E/=常數。

第六章力矩分配法

本章在考研結構力學中會出一道15到25分的大題。本章主要包括轉動剛度、分配系數、傳遞系數等

基本概念，要求掌握用力矩分配法計算無側移的連續(xù)梁和剛架。

第一節(jié)力矩分配法的基本概念和思路

一、轉動剛度：表示桿端對轉動的抵抗能力。

在數值上=僅使桿端發(fā)生單位轉動時需在桿端施加的力矩。

注意：S,6與桿的i（材料的性質、橫截面的形狀和尺寸、桿長）及遠端支承有關，而與近端支承無

關。

二、分配系數

在下圖所示的結構中，設A點有力矩M,求M“B、MAC和MAD

C

如用位移法求解:

MAB：=4幾a=二SAB"

MAC=兒〃=S.c。A

MAD：=3，1血=ZSAD?A

M

此5