三重積分的變量代換

三重積分的變量代換演示文稿目前一頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點（優(yōu)選）三重積分的變量代換目前二頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點一、三重積分的換元法目前三頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點例1.求由下面方程表示的曲面所圍立體的體積:其中解:令則目前四頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點1.利用柱坐標(biāo)計算三重積分

就稱為點M的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面目前五頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點因此適用范圍:1)積分域是圓柱或它在某坐標(biāo)面上的投影為圓(或一部分)

;2)被積函數(shù)中含有x2+y2(相應(yīng)地,y2+z2,x2+z2)形式.目前六頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點其中為由例2.計算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.目前七頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點例3.

計算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=目前八頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點2.利用球坐標(biāo)計算三重積分

就稱為點M的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面目前九頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點因此有適用范圍:1)積分域表面是球面或頂點在原點的圓錐面;2)被積函數(shù)含x2+y2+z2一類式子..目前十頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點例4.計算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與球面目前十一頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點3.廣義球坐標(biāo)變換

直角坐標(biāo)與廣義球坐標(biāo)的關(guān)系例13.3.9.橢球的體積目前十二頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;目前十三頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點二、利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：１.積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；２.被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的奇偶性．目前十四頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),目前十五頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點解目前十六頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點目前十七頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點目前十八頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點例7.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于xoz

目前十九頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點輪換對稱性：若積分區(qū)域Ω的表達(dá)式中將x,y,z依次輪換,表達(dá)式不變,則稱Ω關(guān)于x,y,z輪換對稱.此時有例8.設(shè)是由平面x+y+z=1和三個坐標(biāo)面所圍成的

區(qū)域,求解:由輪換對稱性,目前二十頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點說明：二重積分也有輪換對稱性.若積分區(qū)域D的表達(dá)式中將x,y依次輪換,表達(dá)式不變,則稱D關(guān)于x,y輪換對稱.此時有例9.

設(shè)證:由輪換對稱性,目前二十一頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點1.將用三次積分表示,其中由所提示:綜合例子六個平面圍成,目前二十二頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點2.

設(shè)由錐面和球面所圍成,計算提示:利用對稱性用球坐標(biāo)目前二十三頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點3.計算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,則有計算較繁!采用“先一后二”較好.目前二十四頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點所圍,故可表為解:目前二十五頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點4.計算其中解:利用對稱性目前二十六頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點思考題目前二十七頁\總數(shù)三十二頁\編于二十點練習(xí)題目前二十八