平面問題的極坐標(biāo)解答

平面問題的極坐標(biāo)解答要點(diǎn)：（1）極坐標(biāo)中平面問題的基本方程：——平衡方程、幾何方程、物理方程、相容方程、邊界條件。（2）極坐標(biāo)中平面問題的求解方法及應(yīng)用應(yīng)用：圓盤、圓環(huán)、厚壁圓筒、楔形體、半無限平面體等的應(yīng)力與變形分析。彈性力學(xué)§4-1極坐標(biāo)中的平衡微分方程§4-2極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程§4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫毫λ矶础?-7曲梁的純彎曲§4-8圓盤在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力與位移§4-9圓孔的孔邊應(yīng)力集中§4-10楔形體的楔頂與楔面受力§4-11半平面體在邊界上受法向集中力§4-12半平面體在邊界上受法向分布力主要內(nèi)容

彈性力學(xué)§4-1極坐標(biāo)中的平衡微分方程1.極坐標(biāo)中的微元體xyOPABC體力：應(yīng)力：PA面PB面BC面BC面應(yīng)力正向規(guī)定：正應(yīng)力——拉為正，壓為負(fù)；剪應(yīng)力——

r、θ的正面上，與坐標(biāo)方向一致時(shí)為正；r、θ的負(fù)面上，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為正。彈性力學(xué)xyOPABC2.平衡微分方程考慮微元體平衡（取厚度為1）：將上式化開：（高階小量，舍去）彈性力學(xué)xyOPABC兩邊同除以：兩邊同除以，并略去高階小量：彈性力學(xué)xyOPABC——剪應(yīng)力互等定理于是，極坐標(biāo)下的平衡方程為：（4－1）方程（4－1）中包含三個(gè)未知量，而只有二個(gè)方程，是一次超靜定問題，需考慮變形協(xié)調(diào)條件才能求解。彈性力學(xué)§4-2極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程1.幾何方程xyOPAB(1)只有徑向變形，無環(huán)向變形。徑向線段PA的相對(duì)伸長：（a）徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：（b）線段PB的相對(duì)伸長：（c）環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：（d）彈性力學(xué)xyOPBA徑向線段PA的相對(duì)伸長：（a）徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：（b）環(huán)向線段PB的相對(duì)伸長：（c）環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：（d）剪應(yīng)變?yōu)椋海╡）彈性力學(xué)yxOPBA(2)只有環(huán)向變形，無徑向變形。徑向線段PA的相對(duì)伸長：（f）徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：（g）環(huán)向線段PB的相對(duì)伸長：環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：（h）（i）剪應(yīng)變?yōu)椋海╦）彈性力學(xué)(3)總應(yīng)變整理得：（4－2）——極坐標(biāo)下的幾何方程彈性力學(xué)2.物理方程平面應(yīng)力情形：平面應(yīng)變情形：（4－3）（4－4）彈性力學(xué)彈性力學(xué)平面問題極坐標(biāo)求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）幾何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面應(yīng)力情形)彈性力學(xué)邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位移單值條件）rrr彈性力學(xué)rlr彈性力學(xué)a取半徑為a的半圓分析，由其平衡得：彈性力學(xué)彈性力學(xué)§4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程1.直角坐標(biāo)下變形調(diào)方程（相容方程）（2-22）（2-23）（平面應(yīng)力情形）（2-25）(2-27)(2-26)應(yīng)力的應(yīng)力函數(shù)表示：彈性力學(xué)2.極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與相容方程方法1：（步驟）（1）利用極坐標(biāo)下的幾何方程，求得應(yīng)變表示的相容方程：（2）利用極坐標(biāo)下的物理方程，得應(yīng)力表示的相容方程：（常體力情形）（3）利用平衡方程求出用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量：（4）將上述應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程，得應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程：（常體力情形）彈性力學(xué)方法2：（用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的變換關(guān)系求得到）xyOrPxy（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的關(guān)系：（2）應(yīng)力分量與相容方程的坐標(biāo)變換：應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換彈性力學(xué)(a囑)(b門)彈性碎力學(xué)(c跪)xyOrPxy由直昨角坐俗標(biāo)下搭應(yīng)力衛(wèi)函數(shù)陡與應(yīng)冊力的置關(guān)系枯（2就－2抬6）墨：彈性言力學(xué)彈性繩力學(xué)極坐射標(biāo)下竹應(yīng)力頭分量妻計(jì)算賢公式距：（4搬－5頑）可以煎證明帥：式殘（4寒－5通）滿吸足平烏衡方謝程（丹4－汽1）乎。相容子方程代的坐薪標(biāo)變嘆換說明終：式求（4正－5藍(lán)）僅闊給出哨體力爭為零厭時(shí)的矩應(yīng)力劈燕分量矛表達(dá)奧式。彈性秘力學(xué)相容營方程偵的坐霉標(biāo)變晨換(a集)(b微)將式粒(a栗)與惱(b境)相殊加，嬸得彈性尤力學(xué)得到熔極坐機(jī)標(biāo)下艱的頓L故ap鍬la皺ce紀(jì)微脆分算緊子：極坐勉標(biāo)下呀的相揉容方析程為挺：（4分－6非）方程損（4竹－6吉）為旺常體已力情胖形的蛛相容刻方程脊。說明檔：彈性護(hù)力學(xué)彈性煙力學(xué)嗓極坐堅(jiān)標(biāo)求倍解歸落結(jié)為結(jié)論鑼：（1逆）由問次題的攜條件不求出歇滿足陳式（沒4－遍6）慢的應(yīng)籃力函級(jí)數(shù)（4顏－6淹）（2金）由式俗（4承－5兄）求暴出相沒應(yīng)的掉應(yīng)力船分量果：（4爛－5絲式）（3導(dǎo)）將上述應(yīng)力分量滿足問題的邊界條件：位移災(zāi)邊界肝條件牙：應(yīng)力盾邊界柏條件壺：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位助移單贈(zèng)值條啞件）彈性厭力學(xué)3.鞏軸杰對(duì)稱濾問題誰應(yīng)力叨分量女與相粒容方不程軸對(duì)嘴稱問臘題：qO（4－5）（4－6）由式賣（4掘－5麥）和肚（4但－6海）得仁應(yīng)力廚分量柴和相鋸容方場程為如：（4忌－1收0）應(yīng)力妖分量杰：相容鉗方程何：彈性軟力學(xué)§4疏-4鬼應(yīng)力胡分量捎的坐網(wǎng)標(biāo)變萌換式(1牧)用極縣坐標(biāo)逝下的紗應(yīng)力傭分量婦表示飼直角個(gè)坐標(biāo)置下的煎應(yīng)力朵分量(2得)用直沿角坐愈標(biāo)下曲的應(yīng)懷力分御量表矛示極萄坐標(biāo)震下的脖應(yīng)力越分量（4咐－8枕）（4癢－9鼠）彈性給力學(xué)§4舉-5蘇軸萌對(duì)稱芹應(yīng)力拒與相均應(yīng)的壺位移求解哭方法夫：——潔逆解箭法1.脖軸濁對(duì)稱權(quán)問題迅應(yīng)力呀分量映與相漸容方宗程（1鉆）應(yīng)夸力分渣量（4孔－1痰0）（2礦）相息容方陷程2.足相更容方檔程的逝求解將相尖容方恐程表速示為戀：4階修變系捎數(shù)齊幻玉次微芝分方坐程將其練展開場，有彈性興力學(xué)——4階變系數(shù)齊次微分方程方程兩邊同乘以：——眾E脈ul昏er藏齊中次微徹分方抗程令：有代入上述方程其特征方程為方程的特征值彈性缺力學(xué)方程消的特罰征根露為：于是逗，方舊程的因解為挨：將代回：（4斬－1被1）——握軸對(duì)拍稱問敏題相毯容方頑程的涌通解析，A、B、C、D為待睜定常院數(shù)。3.終應(yīng)默力分暗量（4善－1必0）將方遮程（科4-供11茫）代李入應(yīng)桑力分嘆量表保達(dá)式（4殲－1碼2）——梁軸對(duì)擁稱平郵面問裂題的策應(yīng)力汽分量浩表達(dá)洞式彈性神力學(xué)4.位移分量對(duì)于成平面牌應(yīng)力懂問題握，有悠物理彈方程（a獅）積分狠式（勿a）本，有彈性質(zhì)力學(xué)（b謎）——是任意的待定函數(shù)將式愿（b澡）代仍入式護(hù)（a辮）中冠第二隨式，動(dòng)得將上雪式積肝分，暢得:（c雜）——是r任意函數(shù)將式被（b返）代老入式逗（c頭）中追第三貞式，野得或?qū)憣懗桑阂刮鹪撌酵莱闪⒓?，兩固邊須書為同驚一常開數(shù)。彈性嚼力學(xué)（d拌）（e惹）式中F為常樸數(shù)。桐對(duì)其閥積分刑有：（f懷）其中H為常旱數(shù)。至對(duì)式砍（e于）兩德邊求飯導(dǎo)其解悲為：（g反）（h慘）將式均（f某）槐（h投）代識(shí)入式型（b協(xié)）釋（c露），容得（b）（c）（4北-1揀3）彈性真力學(xué)平面非軸對(duì)斬稱問丟題小奪結(jié)：（4絕－1墊1）（1秧）應(yīng)力子函數(shù)（2士）應(yīng)力慶分量（4飛－1恒2）（3棉）位移扮分量（4療-1墨3）式中績：A、譯B、疏C、銀H、概I、厘K由應(yīng)加力和淘位移跪邊界扯條件曾確定戴。彈性足力學(xué)（3）位移分量（4-13）式中：A、B、C、H、I、K由應(yīng)力和位移邊界條件確定。由式慰（4耐-1議3）沉可以界看出我：應(yīng)力政軸對(duì)酬稱并礙不表匯示位復(fù)移也例是軸山對(duì)稱陰的。但在借軸對(duì)鋸稱應(yīng)盜力情貧況下載，若幣物體爸的幾丙何形兩狀、爛受力緊、位呈移約汗束都懶是軸鑼對(duì)稱卵的，鉛則位院移也身應(yīng)該就是軸精對(duì)稱料的。這風(fēng)時(shí)，座物體慰內(nèi)各擱點(diǎn)都倍不會(huì)有環(huán)愿向位舌移，誼即不歇論r和θ取何徑值，緒都應(yīng)遠(yuǎn)有：辨。對(duì)這尚種情味形，酬有式（家4-保13繞）變壓為：[4嘴-1鋤3（私a）關(guān)]彈性時(shí)力學(xué)彈性情力學(xué)駛平面惹問題死極坐彼標(biāo)求牢解的院基本峽方程蘇：平衡星微分蒸方程展：（4姥－1腰）幾何頭方程脹：（4銅－2貞）物理故方程交：（4談－3馳）(平歸面應(yīng)女力情找形)彈性種力學(xué)彈性橋力學(xué)輕平面?zhèn)麊栴}申極坐專標(biāo)求侍解步零驟：（1惰）由問龍題的名條件新求出均滿足跨式（漁4－暈6）蹈的應(yīng)航力函激數(shù)（4長－6銳）（2妹）由式歐（4箭－5宮）求砍出相都應(yīng)的炸應(yīng)力祖分量萍：（4屑－5給）（3句）將上述應(yīng)力分量滿足問題的邊界條件：位移摸邊界鍛條件填：應(yīng)力濱邊界絮條件醒：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位板移單霞值條腹件）彈性浸力學(xué)平面處軸對(duì)原稱問然題的串求解燦：（4渠－1蠶1）（1史）應(yīng)力應(yīng)函數(shù)（2扎）應(yīng)力緣瑞分量（4翻－1廈2）（3蘭）位移池分量（4庸-1零3）式中蒸：A、偉B、尤C、墨H、盆I、巡壽K由應(yīng)館力和烘位移制邊界庫條件慎確定錯(cuò)。對(duì)于碧多連妖體問奔題，近位移怖須滿巨足位雹移單劍值條存件。彈性內(nèi)力學(xué)極坐適標(biāo)下緣瑞的平面踩問題月的基靈本方程（4－2）幾何方程賞：（4夫－1飄）物理方程繭：（4－3）平面古應(yīng)力毀情形（4－4）平面砌應(yīng)變濟(jì)情形平衡微分方程謎：彈性童力學(xué)邊界莊條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位疊移單披值條鳥件）相容眨方程：（4－6）——常體粱力情形屈的相怒容方衛(wèi)程。應(yīng)力訴分量臂計(jì)算僚式：（4－5）彈性鄭力學(xué)彈性漫力學(xué)劈燕極坐緒標(biāo)求紫解歸罩結(jié)為（1）由問題的條件求出滿足式（4－6）的應(yīng)力函數(shù)（4－6）（2）由式（4－5）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：（4－5）（3）將上述應(yīng)力分量滿足問題的邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：（位勵(lì)移單客值條欺件）彈性淺力學(xué)（1寬）應(yīng)濾力分厲量（4－10）（2望）相論容方粘程軸對(duì)醫(yī)稱問階題的隊(duì)?wèi)?yīng)力濾分量鉆與相手容方貴程：彈性稻力學(xué)平面街軸對(duì)膝稱問睡題小扛結(jié)：（4－11）（1）應(yīng)力函數(shù)（2）應(yīng)力分量（4－12）（3）位移分量（4-13）式中：A、B、C、H、I、K由應(yīng)力和位移邊界條件確定。彈性括力學(xué)§4裕-6場圓環(huán)齒或圓鐮筒受去均布虜壓力惑壓力狀隧洞1.件圓更環(huán)或則圓筒讓受均攪布?jí)悍哿σ阎担呵螅旱V應(yīng)力菊分布嫁。確定蘇應(yīng)力假分量項(xiàng)的表扣達(dá)式圈：（4－12）邊界深條件寸：（a丟）將式膽（4懂-1支2）通代入姻，有遍：（b斧）彈性店力學(xué)（b）式中涼有三乎個(gè)未預(yù)知常暗數(shù)，乖二個(gè)屑方程散不通由用確獅定。對(duì)于移多連院體問駕題，泡位移禾須滿辮足位招移單豎值條慈件。位移多值項(xiàng)要使鴿單值梢，須簡有：B=暴0狐，陽由式蝴（b本）得將其摟代回丸應(yīng)力閥分量朱式（擺4-排12脆），村有：彈性傻力學(xué)（4駝-1殲4）（1凝）若弱：(怎二向濤等壓悔情況綁)（2尾）若鋸：（壓貿(mào)應(yīng)力佩）（拉勞應(yīng)力果）彈性監(jiān)力學(xué)（3類）若慰：（壓榆應(yīng)力芒）（壓圣應(yīng)力質(zhì)）（4認(rèn)）若饒：——屢具有巴圓形劃孔道迫的無騙限大斯彈性貍體。邊緣聲處的張應(yīng)力既：彈性鋪力學(xué)2.撲壓旦力隧廁洞問題爹：厚壁猴圓筒蘆埋在柳無限罵大彈彈性體罰內(nèi)，窩受內(nèi)末壓q作用尾，求企圓筒賓的應(yīng)化力。1.丈分析淺：與以跡前相綢比較絕，相游當(dāng)于州兩個(gè)陷軸對(duì)單稱問掌題：(a沈)受內(nèi)瞞外壓拘力作左用的丑厚壁鑒圓筒罵；(b蔑)僅受蕉外壓美作用該的無傳限大開彈性育體。確定抱外壓p的兩庸個(gè)條坊件：徑向話變形帶連續(xù)清：徑向器應(yīng)力厲連續(xù)鏟：2.韻求解彈性勸力學(xué)2.蕉求解(1青)餡圓喉筒的寒應(yīng)力陵與邊刺界條鞭件應(yīng)力港：（a飾）邊界喪條件扮：(2鞏)隱無短限大范彈性隸體的興應(yīng)力賢與邊較界條襪件應(yīng)力筑：（b絕）邊界綁條件膝：將式谷（a蔥）、鍵（b盆）代販入相資應(yīng)的嗎邊界斬條件戰(zhàn)，得方到如喘下方如程：彈性差力學(xué)4個(gè)暢方程乓不能旦解5架個(gè)未岡知量岡，需由秩位移勉連續(xù)妄條件括確定筒。上式墨也可池整理炒為：(c獸)(d傍)彈性碑力學(xué)利用判：(e祝)要使對(duì)任意的成立，須有(f洪)對(duì)式笨（f捕）整艇理有店，有0彈性鐵力學(xué)(g斑)式（吩g）路中：將式應(yīng)（g細(xì)）與針式（膠c）乞（d趣）聯(lián)俯立求徒解(c)(d)（4靈-1冰6）當(dāng)n<餐1荷時(shí)因，應(yīng)屬力分萬布如貨圖所穗示。彈性刪力學(xué)討論芒：（1醬）壓力然隧洞暖問題歪為最矛簡單柔的接再觸問鎮(zhèn)題（版面接箱觸）積。完全例接觸欲：接觸逢面間偉既不漲互相裳脫離痕，也墓不互癢相滑癥動(dòng)。如接觸赤條件勁為應(yīng)力如：位移負(fù)：（1礦）非完沾全接議觸（呈光滑奸接觸劣）應(yīng)力叢：位移鵝：接觸膏條件寒：彈性賊力學(xué)§4臨-7包曲纏梁的條純彎欠曲1飲.揚(yáng)問凍題及桑其描滔述矩形鹿截面目曲梁狂：內(nèi)休半徑需為a，外聞半徑筒為b，在顆兩端涼受有下大小毅相等昆而轉(zhuǎn)柄向相居反的缺彎矩M作用戚（梁構(gòu)的厚逐度為訪單位貍1）救，O為曲股梁的逼曲率劑中心勺，兩駐端面春間極映角為β。取曲史梁的聰曲率黑中心O為坐貍標(biāo)的則原點(diǎn)甚，并晶按圖右示建街立坐抗標(biāo)系鍛。由于返各截接面上鴉彎矩M相同蛾，因勤而可梯假定盆各截纏面上學(xué)應(yīng)力卷相同因，構(gòu)哄成一哭軸對(duì)刪稱問濟(jì)題（垂對(duì)稱授軸為z軸）沫。2捧.西應(yīng)久力分鍋量1.掃曲稼梁的腎應(yīng)力彈性券力學(xué)3.遠(yuǎn)邊界講條件——巨自膀然滿摸足（1練）（2丟）將應(yīng)萬力分錘量代需入，猾有（a舅）（b墓）注：此處熔為單永連體挽問題烈，（3喘）端部頸：（c績）（d查）由軸千對(duì)稱截問題鈴應(yīng)力與分量平式將其桑代入刺式（旬c）彈性濕力學(xué)（c）（d）軸對(duì)稱問題應(yīng)力分量式：代入史式（啦c）玩，有代入霜式（估d）獄，有（分鐵部積來分）00彈性胡力學(xué)將其管代入隸，有整理肢，有（d填）（a卷）（b球）聯(lián)立襯求解賄式（星a）超（b監(jiān)）（童d）綢,可啟求得辮：彈性近力學(xué)其中繪：將其限代入查應(yīng)力職分量址式，道有（f茅）其截寇面上辦的應(yīng)逼力分隨布如劑