專題44 二項式定理（原卷版）

專題44二項式定理【題型歸納目錄】題型一：求二項展開式中的參數(shù)題型二：求二項展開式中的常數(shù)項題型三：求二項展開式中的有理項題型四：求二項展開式中的特定項系數(shù)題型五：求三項展開式中的指定項題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數(shù)題型七：求二項式系數(shù)最值題型八：求項的系數(shù)最值題型九：求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和題型十：求奇數(shù)項或偶數(shù)項系數(shù)和題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題題型十二：近似計算問題題型十三：證明組合恒等式題型十四：二項式定理與數(shù)列求和題型十五：楊輝三角【考點預測】知識點1、二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題（1）二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)，都有：，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，（2）二項式的展開式的特點：①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；②二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次數(shù)從到，每一項中，，次數(shù)和均為；④項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是，項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）．（3）兩個常用的二項展開式：①（）②（4）二項展開式的通項公式二項展開式的通項：公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；③與的次數(shù)之和為．注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．②通項是針對在這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．2、二項式展開式中的最值問題（1）二項式系數(shù)的性質=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．=2\*GB3②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即．=3\*GB3③二項式系數(shù)和令，則二項式系數(shù)的和為，變形式．=4\*GB3④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令，則，從而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．（2）系數(shù)的最大項求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設展開式中各項系數(shù)分別為，設第項系數(shù)最大，應有，從而解出來．知識點3、二項式展開式中系數(shù)和有關問題常用賦值舉例：（1）設，二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設為偶數(shù)），再結合①可得：．（2）若，則①常數(shù)項：令，得．②各項系數(shù)和：令，得．③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和（i）當為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）（ii）當為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）若，同理可得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應的結果．【典例例題】題型一：求二項展開式中的參數(shù)例1．（2022·湖南·模擬預測）已知的展開式中的常數(shù)項為，則實數(shù)（

）A．2 B．-2 C．8 D．-8例2．（2022·全國·高三專題練習）展開式中的常數(shù)項為－160，則a＝（

）A．－1 B．1 C．±1 D．2例3．（2022·全國·高三專題練習）已知二項式的展開式中，項的系數(shù)為40，則（

）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4例4．（2022·湖北·高三階段練習）若的展開式中項的系數(shù)為160，則正整數(shù)n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7例5．（2022·四川·樂山市教育科學研究所三模（理））展開式中的系數(shù)為，則（

）A．2 B．1 C．3 D．【方法技巧與總結】在形如的展開式中求的系數(shù)，關鍵是利用通項求，則．題型二：求二項展開式中的常數(shù)項例6．（2022·全國·高三階段練習（理））展開式中的常數(shù)項為（

）A． B． C． D．例7．（2022·浙江·慈溪中學高三開學考試）的展開式中的常數(shù)項為（

）A． B．60 C．64 D．120例8．（2022·全國·高三專題練習（理））二項式的展開式中含有常數(shù)項，則的最小值等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5例9．（2022·全國·模擬預測）二項式的展開式中的常數(shù)項為（

）A．210 B．－210 C．252 D．－252【方法技巧與總結】寫出通項，令指數(shù)為零，確定，代入．題型三：求二項展開式中的有理項例10．（2022·全國·高三專題練習）在二項式的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是_____.例11．（2022·湖南·長郡中學模擬預測）已知展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是________．例12．（2022·湖南長沙·模擬預測）已知的展開式中有且僅有兩項的系數(shù)為有理數(shù)，試寫出符合題意的一個的值______．例13．（2022·全國·高三專題練習）的展開式中系數(shù)為有理數(shù)項的共有_______項.例14．（2022·上?！じ裰轮袑W高三階段練習）在的展開式中有__項為有理數(shù)．【方法技巧與總結】先寫出通項，再根據(jù)數(shù)的整除性確定有理項．題型四：求二項展開式中的特定項系數(shù)例15．（2022·北京海淀·一模）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B．1 C． D．4例16．（2022·云南·高三階段練習（理））在的二項展開式中，第4項的二項式系數(shù)是（

）A．20 B． C．15 D．例17．（2022·全國·高三專題練習）若的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則（

）．A．9 B．10 C．11 D．12例18．（2022·甘肅·武威第八中學高三階段練習）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】寫出通項，確定r，代入．題型五：求三項展開式中的指定項例19．（2022·廣東·高三階段練習）的展開式中，項的系數(shù)為___________．例20．（2022·廣東·仲元中學高三階段練習）的展開式中，的系數(shù)為______.例21．（2022·山西大附中高三階段練習（理））的展開式中常數(shù)項為_________.例22．（2022·廣東·廣州市慶豐實驗學校一模）的展開式中的常數(shù)項為__________．（用數(shù)字填寫正確答案）例23．（2022·全國·高三專題練習）的展開式合并前的項數(shù)為（）A． B． C． D．例24．（2022·河北邢臺·高三期末（理））的展開式的常數(shù)項為A． B． C． D．例25．（2022·四川綿陽·三模（理））在的展開式中，項的系數(shù)為（）A． B． C．30 D．50例26．（2022·全國·高三專題練習）的展開式中，的系數(shù)是（

）A．120 B．-120 C．60 D．30【方法技巧與總結】三項式的展開式：若令，便得到三項式展開式通項公式：，其中叫三項式系數(shù)．題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數(shù)例27．（2022·江蘇江蘇·高三階段練習）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．例28．（2022·四川·高三開學考試（理））的展開式中的常數(shù)項為（

）A．240 B． C．400 D．80例29．（2022·云南師大附中高三階段練習）的展開式中的系數(shù)為（

）A．160 B． C．148 D．例30．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））已知的展開式中常數(shù)項為，則（

）A． B．C． D．例31．（2022·江蘇南京·三模）（1＋x）4（1＋2y）a（a∈N*）的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f（m，n）．若f（0，1）＋f（1，0）＝8，則a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例32．（2022·全國·高三專題練習）在的展開式中，含的項的系數(shù)是（

）A．10 B．12 C．15 D．20【方法技巧與總結】分配系數(shù)法題型七：求二項式系數(shù)最值例33．（2022·全國·高三專題練習）在（）的展開式中，若第5項為二項式系數(shù)最大的項，則n的值不可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10例34．（2022·全國·高三專題練習）展開式中二項式系數(shù)最大的項是（

）A． B． C．和 D．和例35．（2022·湖南·高三階段練習）設為正整數(shù)，的展開式中二項式系數(shù)的最大值為，的展開式中的二項式系數(shù)的最大值為.若，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8例36．（2022·全國·高三專題練習）的展開式中x的系數(shù)等于其二項式系數(shù)的最大值，則a的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．例37．（2022·安徽·高三階段練習（理））在的展開式中，只有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】利用二項式系數(shù)性質中的最大值求解即可．題型八：求項的系數(shù)最值例38．（2022·全國·高三專題練習）已知的展開式中各項系數(shù)之和為64，則該展開式中系數(shù)最大的項為___________．例39．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）的展開式中系數(shù)最小項為第______項．例40．（2022·全國·高三專題練習）若n展開式中前三項的系數(shù)和為163，則展開式中系數(shù)最大的項為_______．例41．（2022·江蘇·姜堰中學高三階段練習）展開式中只有第6項系數(shù)最大，則其常數(shù)項為______.例42．（2022·上海·高三開學考試）假如的二項展開式中項的系數(shù)是，則二項展開式中系數(shù)最小的項是__________.【方法技巧與總結】有兩種類型問題，一是找是否與二項式系數(shù)有關，如有關系，則轉化為二項式系數(shù)最值問題；如無關系，則轉化為解不等式組：，注意：系數(shù)比較大小．題型九：求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和例43．（2022·全國·高三專題練習）若，則_________.（用數(shù)字作答）例44．（2022·廣東·高三階段練習）已知，若，則自然數(shù)n等于_____．例45．（2022·廣東·廣州大學附屬中學高三階段練習（理））若的展開式中各項系數(shù)的和為256，則該展開式中含字母且的次數(shù)為1的項的系數(shù)為___________.例46．（2022·全國·高三專題練習）設，若則非零實數(shù)a的值為（

）A．2 B．0 C．1 D．-1例47．（2022·全國·高三專題練習）已知，則（

）A． B．C． D．例48．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）若，則（

）A． B．C． D．例49．（2022·全國·高三專題練習）設，求(1)展開式中各二項式系數(shù)的和；(2)的值．例50．（2022·全國·高三專題練習）在①只有第5項的二項式系數(shù)最大；②第4項與第6項的二項式系數(shù)相等；③奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128；這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.已知（n∈N*），___________(1)求的值：(2)求的值.例51．（2022·全國·高三專題練習）.求：(1)；(2)；(3)；(4)展開式中二項式系數(shù)和以及偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(5)求展開式二項式系數(shù)最大的項是第幾項？(6).例52．（2022·全國·高三專題練習）已知(1)求；(2)求.【方法技巧與總結】二項展開式二項式系數(shù)和：；奇數(shù)項與偶數(shù)項二項式系數(shù)和相等：．系數(shù)和：賦值法，二項展開式的系數(shù)表示式：（是系數(shù)），令得系數(shù)和：．題型十：求奇數(shù)項或偶數(shù)項系數(shù)和例53．（2022·浙江·模擬預測）已知多項式，則_______，________．例54．（2022·全國·模擬預測）若的展開式中，所有x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)和為64，則正實數(shù)a的值為______．例55．（2022·內蒙古·海拉爾第二中學模擬預測（理））已知，若，則_____________.例56．（2022·湖北武漢·模擬預測）在展開式中，x的所有奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為20，則_____________．例57．（2022·全國·高三專題練習）若，且，則實數(shù)的值可以為（

）A．1或 B． C．或3 D．例58．（2022·江蘇南通·高三開學考試）在的二項展開式中，奇數(shù)項的系數(shù)之和為（

）A． B． C． D．例59．（2022·全國·高三專題練習）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【方法技巧與總結】，令得系數(shù)和：=1\*GB3①；令得奇數(shù)項系數(shù)和減去偶數(shù)項系數(shù)和：=2\*GB3②，聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和．題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題例60．（2022·全國·高三專題練習）已知，則除以10所得的余數(shù)是（

）A．2 B．3 C．6 D．8例61．（2022·河南·南陽中學高三階段練習（理））已知能夠被15整除，則的一個可能取值是（

）A．1 B．2 C．0 D．例62．（2022·陜西·西安中學一模（理））設，且，若能被13整除，則（

）A．0 B．1 C．11 D．12例63．（2022·全國·高三專題練習）除以78的余數(shù)是（

）A． B．1 C． D．87例64．（2022·全國·高三專題練習（文））中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設a，b，為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是（

）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019題型十二：近似計算問題例65．（2022·山西·應縣一中高三開學考試（理））的計算結果精確到0.01的近似值是_________．例66．（2022·山東·高三階段練習）某同學在一個物理問題計算過程中遇到了對數(shù)據(jù)的處理，經(jīng)過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個近似值是________.例67．（2022·全國·高三專題練習）的計算結果精確到個位的近似值為A．106 B．107 C．108 D．109題型十三：證明組合恒等式例68．（2022·江蘇·高三專題練習）（1）閱讀以下案例，利用此案例的想法化簡．案例：考查恒等式左右兩邊的系數(shù)．因為右邊，所以，右邊的系數(shù)為，而左邊的系數(shù)為，所以＝．（2）求證：．例69．（多選題）（2022·江蘇·海安市曲塘中學高三期末）下列關系式成立的是（

）A．＋2＋22＋23＋…＋2n＝3nB．2＋＋2＋＋…＋＋2＝3·22n-1C．·12＋·22＋·32＋…＋n2＝n·2n-1D．()2＋()2＋()2＋…＋()2＝例70．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）設，下列恒等式正確的為（

）A．B．C．D．題型十四：二項式定理與數(shù)列求和例71．（2022·全國·高三專題練習（理））偉大的數(shù)學家歐拉28歲時解決了困擾數(shù)學界近一世紀的“巴賽爾級數(shù)”難題．當時，，又根據(jù)泰勒展開式可以得到，根據(jù)以上兩式可求得（

）A． B． C． D．例72．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，公比是的展開式的第二項（按的降冪排列）．(1)求數(shù)列的通項與前項和；(2)若，求．例73．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，．(1)試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？若不是，請說明理由；若是，試求出通項．(2)如果時，數(shù)列的前項和為．試求出，并證明．題型十五：楊輝三角例74．（2022·山東·高三開學考試）楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．某校數(shù)學興趣小組模仿楊輝三角制作了如下數(shù)表．1

2

3

4

5

6

…3

5

7

9

11

13

…8

12

16

20

24

28

……

…

…

…

…

…該數(shù)表的第一行是數(shù)列，從第二行起每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和，則這個數(shù)表中第4行的第5個數(shù)為______，各行的第一個數(shù)依次構成數(shù)列1，3，8，…，則該數(shù)列的前n項和______．例75．（2022·浙江省杭州學軍中學模擬預測）“楊輝三角”是我國數(shù)學史上的一個偉大成就，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．如圖所示，第行的數(shù)字之和為__________，去除所有1的項，依次構成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,則此數(shù)列的前28項和為_____________．例76．（2022·安徽·合肥市第五中學模擬預測（理））楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家．他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個由二項式展開式的系數(shù)構成的三角形數(shù)陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數(shù)值都是它上面的兩個數(shù)值之和，每一行第個數(shù)組成的數(shù)列稱為第斜列．該三角形數(shù)陣前5行如圖所示，則該三角形數(shù)陣前2022行第斜列與第斜列各項之和最大時，的值為（

）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012例77．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）在1261年，我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開始，第n行從左至右的數(shù)字之和記為，如：的前n項和記為，依次去掉每一行中所有的1構成的新數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，記為，的前n項和記為，則下列說法正確的有（

）A． B．的前n項和為 C． D．【過關測試】一、單選題1．（2022·江蘇·金陵中學高三階段練習）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022·福建師大附中高三階段練習）在的展開式中，含的項的系數(shù)為（

）A．-120 B．-40 C．-30 D．2003．（2022·福建泉州·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)等于（

）A． B． C．10 D．454．（2022·湖南益陽·模擬預測）若，，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2022·湖南·高三開學考試）已知的展開式中各項系數(shù)的和為，則該展開式中的系數(shù)