2019版 第1部分 專題1 第2講 解三角形教育

sinAsinAC22第講

解三角形熱點題型題型1利用正、余弦定理解三角形題型2與三角形有關(guān)的最值范圍問題題型3與解三角形有關(guān)的交匯問題

高考統(tǒng)定方向真題統(tǒng)計2019國卷Ⅰ；2019國卷ⅡT162019國卷ⅢT92019國卷Ⅰ；全國卷Ⅱ；全國卷ⅢT17國卷ⅠT172019全國卷ⅡT132019國卷Ⅰ；2019國卷Ⅰ2019國卷ⅢT8；2019國卷Ⅱ命題規(guī)律分析近五年全國卷發(fā)現(xiàn)高考命題有以下規(guī)律：1.解三角形是每年必考題，重點考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式的應(yīng)用.2.解三角形常與三角恒等變換、平面幾何圖形、向量等知識交匯命題3.若以解答題形式出現(xiàn)主要是考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題，一般位于第17.題型1

利用正、余弦定理解三角形(對應(yīng)學(xué)生用書第13)■核心知識儲備·1．正弦理及其變形ac在△ABC中，＝＝＝2RR為△ABC外接圓的半徑)．變形：a＝2sinA，＝，∶∶c＝sin∶sinB∶C．2．余弦理及其變形在△ABC中，a＝b＋－2bc；1頁

222222222222222552225222222222222222222222222225522252222222222222變形：b＋c－a＝cosA，cosA＝a＝(b＋c)－bc＋．3．三角面積公式

b＋c－a2bc

，S

1＝＝bcAsinB■高考考法示例·C5【例1】全國卷在△ABC中cos＝BC＝1＝5，則AB＝)A．42C．

B．30D．25在△ABC中，內(nèi)角，B，的對邊分別是，，，若＝2abB－1a＝a，則sin＝()A．

74

B．

34C．

73

D．

13全國卷Ⅰeq\o\ac(△,))的內(nèi)角A，C的對邊分別為，b，，已知2cos(acosB＋bcosA)＝.①求C；33②若c＝，△ABC的面積為，求△的周長．C13A(2)[(1)因為cos＝2cos－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得＝＋BC－2ACcos＝＋－××1×，所以42，故選A．11由b－asinA＝a及正弦定理可得－＝acb＝a＋ac，1∵c＝2a，∴a＋c－b＝＋4a－a－×＝a，2頁

2223a32222222222222222223a32222222222222222故cosB＝

a＋c－b2＝＝，2ac2a×2a4又∵0＜＝1－cosB＝

971－＝選A．]164]，由正弦定理得：2cosCA＋sinB，2cosC＝A，＞0，1π∴2cosC＝1＝，，.23②由余弦定理得：c＝a＋bcosC17＝a＋b－3ab＝7，21333S＝＝ab＝，∴ab＝6，242－18＝7，a＋b＝5.∴△ABC周長為＋b＝5＋7.方法歸納]1．關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)見的三角變換方法和原則都適用是角的范圍受到了限制．同時要注“三統(tǒng)一，“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)，這是使問題獲得解決的突破口．2．在三角形中，正、余弦定理可以實現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a＋c

－2bccosA，有a

2

＋c

和兩項，二者的關(guān)a

2

＋c

經(jīng)常用到．3對于含有a及a＋b的式，求其中一個的范圍時，可利用基本3頁

22sin5255522sin52555不等式轉(zhuǎn)化為以該量為變量的不等式求解．4．三角形狀判斷的兩種思路：一是化角為邊；二是化邊為角．注意已知兩邊和其中一邊的對角用余弦定理求第三邊時應(yīng)注意檢驗，否則易產(chǎn)生增根．■對點即時訓(xùn)練·1．在ABC中，AB，所對的邊分別為，bc，若acosA＝bcosB則△ABC為()A．等腰角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D

[題得sincosA＝sinBcos，1∴sin2＝sin2，∴＝2B，∵0＜2＜2π，0＜2＜2，sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或＋2＝ππ∴A＝，或＋B，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形故選D．]2．全國卷)平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°∠＝45°，＝2，BD＝5.求∠ADB；若DC＝22求．[]

(1)eq\o\ac(△,在)中，由正弦定理得

BDAB＝sin∠A∠ADB5由題設(shè)知，＝

22，所以sin∠＝.sin∠ADB由題設(shè)知，∠ADB＜，所以∠ADB＝

2231－＝.2由題設(shè)及(知，BDC＝sinADB＝4頁

2226sinCB662226sinCB66在△BCD中，由余弦定理得

2

＝BD

＋

－2·BD∠BDC＝258－2×5×22＝25.以BC＝5.題型2

25與三角形有關(guān)的最值(范圍)問題(對應(yīng)學(xué)生用書第14)■核心知識儲備·1．△中的常見的不等關(guān)系內(nèi)角A，B，滿足：＋B＋＝，0＜，B，π；三邊ab，滿足：－＜a＜b＋；三角形中大邊對大角等．2函數(shù)＝sin(或＝)的有界性、單調(diào)性、在區(qū)[]的值域的求法等．3．不等式a＋b≥2，≤■高考考法示例·

a＋b．2角度一

長度的最值(范圍)問π【例2－1(2019·石家莊一模)在△ABC中AB＝2＝則AC＋的最大值為()A．B2．37．47D

[正弦定理，得＝＝＝sin

＝4，π65π又∵A＋＝，∴＋3BC＝B＋4A＝＋4－5頁

22()52sinsin32sinBsinπ2π2π22()52sinsin32sinBsinπ2π2π264243＝＋43B＋＝2B＋10sin＝4＋φ

tanφ＝π故當＋＝時，AC＋的最大值為故選D．]【教師備選】安慶二模)在銳角△ABC中，A＝B，則的取值范圍是()A．－1,3)C．(2，

B．(1,3)D．(1,2)D

sin[＝＝＝＝－4sin，因為△ABC是銳角三角形，，所以＜，0＜－，ππ得＜＜?sin

2

1∈，.所以＝－

2

∈．故選D．]?角度二

面積的最值(范圍)問【例－】＝bC＋sinB

在△ABC中，內(nèi)角A，，C的對邊分別為ab，，已求B；若b2，求△ABC面積的最大值．[]

由題意及正弦定理得sin＝cosC＋sinsin①，又A＝－＋C)，故A＋C)＝cosC＋sinC②，由①②和C∈(0π)π得sinB，又∈(0，，所以＝6頁

2424222241b22224b2224b2229932424222241b22224b2224b2229931△ABC的面積S＝acsinBac.由已知及余弦定理得4＝a

2

＋c

π－2accos.又＋≥2，故≤

42－

，當且僅當a＝c，等號成立．因此△ABC面積的最大值為2＋1.【教師備選】在△ABC，＝，D為中點，BD＝1，則△ABC面積的最大值為________．23

bb＋－15[△中，由余弦定理得cos＝＝－，2b則sin＝

11－－，所以△ABC的面積為S＝sinA＝

12b·

111－－

20256－9－≤，2所以△ABC的面積的最大值為.][法歸納]

與三角形有關(guān)的最值求解策略與三角形有關(guān)的最值涉及三角形的角度、邊長、面積、周長等的最大、最小問題.常見求解策略如下：策略一可選擇適當?shù)膮?shù)將問題轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)的問題處理解題中要借助于正弦定理、余弦定理等工具將邊角問題統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為形如sin或＝cos問題，然后根據(jù)參數(shù)的范圍求解策略二借助正余弦定理化角的正余弦函數(shù)為邊然后借助均值不等式對含有a

2

＋b

2

，a＋b，ab的等式最值.■對點即時訓(xùn)練·7頁

222222221b＋c－a22bc23sinBπ3222222＋π6π222222221b＋c－a22bc23sinBπ3222222＋π6ππ626662262322321在銳角△ABC中內(nèi)角B的對邊分別為ab且滿足(a－b＋sin＝－bC．若a＝3，則b＋c的取值范圍是)A．C．(5,6]

B．(3,5)D．[5,6]C

[(a－b＋sinB＝(c－b正弦定理可得(a－ba＋b)＝c－bc，即b＋c－a＝bc，∴cosA＝

π＝，又A∈A＝，bc∵＝＝＝，sin∴b＋c＝4(sin＋)＝＋(A＋)]2－cos[2＝422＝2－cos2＋4＝∵△ABC是銳角三角形，∴∈，π5π∴2B－∈，1π∴＜sin∴5＜b＋c≤6.選C]→→2在△中內(nèi)角AB的對邊分別是bc點D滿足＝2BC，π若B＝AD3則2a＋c的最大值為________．6

→→[△ABC中，如圖所示，由點滿足D＝，→→∴點D在的延長線上且|BD＝2|BC，π由余弦定理得c＋a－×2×cos＝3，∴(2a＋c)－＝3×2.8頁

24223322222422332222∵2ac≤∴(2a＋c)

3－9≤a＋)

2

，即(2a)≤36∴2a＋c≤6，3當且僅當2a，即a，c＝3時，2a＋取得最大值，最大值為題型3

與解三角形有關(guān)的交匯問題(對應(yīng)學(xué)生用書第15)■核心知識儲備·解三角形的問題常以平面幾何圖形平面向量等知識為載體體現(xiàn)知識交匯命題的特點，題設(shè)條件常涉及有關(guān)的幾何元素：如角平分線、中線、高、三角形的內(nèi)切圓等．其中角平分線問題的求解要注意三個方面：(1)對稱性，平分線定理，三角形的面積；中線問題的求解，注意鄰角的互補關(guān)系．■高考考法示例·→【例3】(1)在△ABC角AC所對邊的邊長分別為ac若CA→→→－CB＝，CA6，則△面積的最大值為________π如圖2-1-5，在四邊形中，∠＝，ADAB＝2∶3，BD＝7，AB⊥．圖2-1-5①求sin∠ABD的值；2π②若∠BCD＝，求的長．(1)

3334

→→→→[為|－CB＝所以AB＝又因為·CB＝6以cosC＝6，∴cos＝

6ab21由余弦定理得9＝a＋－2abcos＝a＋－≥2－12.∴.9頁

2222＝22a222244222332×BD7773332222＝22a222244222332×BD7773331所以＝abC＝

11－C＝ab

1－

361a2

a＝

12

a

－≤

12

3633.故面積的最大值為.][解]

①∵ADAB＝2∶3∴可設(shè)AD＝2k＝3k.又BD＝∠DABππ＝.∴由余弦定理，(＝k)＋(2k)－23k×2，解得＝1∴AD＝2，AB＝3，ABD＝

3AD21＝＝721②∵AB⊥，cosDBC＝sinABD＝，27BDCD∴sin∠＝，∵＝，sin∠∠DBC∴＝

277×7＝.32【教師備選】→→→→在△ABC中，AB＝AC－AB＝，則△ABC面積的最大值為()A．

B．

3214C．

212

D．321湖北八校聯(lián)考)圖2-1-6，平面四邊形中，AB⊥AD，2ππ＝1，＝7，∠ABC＝，∠ACD＝.圖2-1-6①求sin∠；②求的長．B

[角A，，C對的邊分別為，，c，→→→→∵·AB＝AC－AB＝3，10

222b＋c－a2bc2bc2552242222sinB777377222b＋c－a2bc2bc2552242222sinB777377214sinDsin7∴bccosA＝a＝3.又＝

93cosA≥1－＝－，221∴cosA≥，∴A≤，1321321∴△ABC的面積S＝bcsin＝tanA≤×＝，故△ABC面積的最321大值為.][解]

①在△ABC中，由余弦定理得：＝＋－2BCcosB，即BC＋BC－6＝0解得BC＝2或BC－舍，由正弦定理得：B21＝?sin∠＝＝sin∠21②由①有∠CAD＝BAC，sin∠＝

31－＝，所以2721357sinD＋×＋×＝.由正弦定理得：＝∠AC?＝＝

277×57

＝

475

.14[法歸納]1．求解三角形相關(guān)的平面幾何問題的策略一般先將所給的圖形拆分成若干個三角形據(jù)已知條件確定解三角形的先后順序，再根據(jù)各個三角形之間的關(guān)系，交叉使用公共條件，求得結(jié)果，同時注意相關(guān)平面幾何知識的應(yīng)用．2．求解角形與平面向量交匯問題的策略11

2222272277277513522222722772775135平面向量的數(shù)量積運算涉及向量的模和夾角其與三角形中的面積公式余弦定理完美的交匯在一起求解此類問題的關(guān)鍵是熟知其內(nèi)在的聯(lián)系同時借助同角三角函數(shù)的關(guān)系這一媒介解題．■對點即時訓(xùn)練·1(2019·大連雙基測試圖2-1-7所示圓內(nèi)接四邊形中AB＝6，＝，＝，AD＝5，則四邊形的面積為_．圖2-1-7610

[圖所示接ABCD為圓內(nèi)接四邊形＋C＝180°，則cos＝－cosC，利用余弦定理得cos＝247解得BD＝，

6＋5－＋－，cosC＝，2×6×5××3所以＝－.sin＋cos＝1，得＝

2107

，因為＋C＝180°，210所以sinA＝＝，S

ABCD

＝S

△

＋SABD

1210210＝×5×6×＋×34×＝10.]2．(2019·濮陽二模)如圖2-1-8，在△中，點在邊AB，AD3DB45cosA，∠ACB＝，BC＝13.圖2-1-8求B的值；求CD的長．[]

4(1)eq\o\ac(△,在)ABC中，A＝，A∈(0，12

2255135131365sinA31342652423462212422π＝cosC，所以在△2255135131365sinA31342652423462212422π＝cosC，所以在△中，＝.]43所以sinA＝

1－A＝

31－12同理可得，sin∠＝所以＝cos[π－(＋∠)]＝－cos(A∠ACB＝sinAsin∠－cos31216∠ACB＝×－×＝.1312在△ABC中，由正弦定理得＝ACB＝×＝20.51又AD3DB所以BD＝AB＝5.在△BCD中，由余弦定理得，＝

BD＋－2BDB＝

5

2

＋13

2

16－2×5××＝2.[考真題]全國卷Ⅲeq\o\ac(△,))內(nèi)角，B，C的對邊分別為，，.若△ABC的面積為

a＋b－c

，則C＝()A．

π

B．

πππC．D．C

a＋－c[根題意及三角形的面積公式知ab＝，所以C＝a

2

＋b－c2ab4π全國卷Ⅲ)在△ABC中，B，BC邊上的高等于，則cosA()A．

31010

B．

1010

C．－

1010

D．－

31010C[如圖，設(shè)BC＝3，則邊上的高＝，13

4222AB323226AD12224222AB323226AD1222π又＝，∴BD＝1，AB＝2；同理＝2，＝5.在△ABC中，由余弦定理得cosA＝

＋AC－BC2＋5－9＝＝－2××

1010

.]全國卷Ⅲeq\o\ac(△,))內(nèi)角，B，C的對邊分別為，，，已知sinA＋3cosA＝0，a27，b＝2.求；設(shè)D為邊上一點，且⊥，求△的面積