第13講.三角恒等變換

變題級(jí)三函8級(jí)三恒變?nèi)龁?wèn)

三角函數(shù)解三角形三角函數(shù)級(jí)和差角公式和二倍角公式13.1角運(yùn)知識(shí)點(diǎn)睛．兩角和與差的余弦公式C．兩角和與差的正弦公式

sin

C

cos

．兩角和與差的正切公式

cos

sin

Ttan

tan1tan

T

tantan1tan

．．二倍角公式:2．C:cos2T:．tan

2sin

．<>⑴角變第13講·目標(biāo)班·教師版

302

π6⑵函數(shù)名稱的變換：⑶常數(shù)代換：

1sin

ππππ2sinsin24⑷冪的變換：cos2

2

1sin2冪處理

2sin

12(sin

⑸公式變形

tan(

)tan

)經(jīng)典精講考點(diǎn)：給值求角問(wèn)題【鋪墊】⑴知是三角形的內(nèi)，且sin

2，則等（）2π3πππA．或D．446⑵已

，為角，且

13,5

，則

．⑶已為角，且tan

43

，

．⑴C

第13講·目標(biāo)班·教師版

ππππ35ππππ35⑵

π4

25

110

cos

22

sin

2sin∴

0

π4cos

πcos2

∴

π∴

ππ∴2

212coscos(cossin,5102⑶

3πtan

ππ3π02

【例1】⑴

已知2x

πππ，x，，求角x.3⑵

1已知銳角，且tantan，2

．⑶

（目標(biāo)班專用）已知tan

11，tan，27

值．⑴

π6

；∵x≤cos

π

πππ∴2∴336⑵

π4

∵tan

1∴2

tan

15∴

tan

1818

第13講·目標(biāo)班·教師版

3

∵0

1tan58∴0

ππππ0∴444

π∴3π⑶；4∵

tan1tan

13

ππ0①3

tan

155∴②766π①②2∵tanπ∴2

tan1tan

<⑴⑵

2(

)

(

)

考點(diǎn)：角的代換.【例2】⑴

求

sin9

值⑵

求

2cos10cos20

的值；⑶

（目標(biāo)班專用）求

70cos70

的值．⑴2；

sincos15sin156cos15cos15cos60⑵；

45cos6045

3

2cos

22020

第13講·目標(biāo)班·教師版

tan(1tan(1⑶；

3202020

3．

2cos(15070cos70cos70=

370cos70

3

【備選已知

tan(

sin2

0

，求證：

21.212

222

.2

tan(tan(tan(tan(ktan(

111

tan(tan(

tan(tan(tan(

①

tan(tan(tan(tan(tan(tan(2cos(sin(2cos(2sin②

tantan

ABABA)cosAcosBAB

【例3】⑴

∴

1sin.1π5已知為銳角，且cos，則cos

的為．⑵

已知、均鈍角，且cos

1，cos2，sin_____．4⑶

已知tan

1，，25

．⑷

(目標(biāo)班專用2012江11是角

ππ2=.12⑴C

πππcoscos6第13講·目標(biāo)班·教師版

52π452π4∵sin

π

ππ6

C

∵0

πππ2π∴63∴sin

π1113

∴cos

cos6

ππ66

51132⑵∵π15∴sin1cos4∵

π2

π2∴sin2

1cos

12213∴sin

121⑶

tan1112

．17⑷；50ππ7cos22cos3

ππ4π33

πππππ24cos2.325ππππππ172cossin1234345023π【備選已知cosx，x，．44⑴求sinx值；⑵求sinx的．⑴

πππ，2

2

ππ72sinxsinsinxcosxsin4441025

221cosxsinxsin21056

第13講·目標(biāo)班·教師版

25sin

x

43sinx55

πx，x4π⑵4

11

24sincoscos22cosx25

π243sinxsin2xsin50

輔應(yīng)考點(diǎn)：輔助角公式知識(shí)點(diǎn)睛<>x輔助角公式：

sin

cos

a

所的象限由的號(hào)確定．<

22sin22

π

sin

y

sincos,a

b

Pa,b)P

Oax

第13講·目標(biāo)班·教師版

ππππππa,b⑴

π3

⑵y

ππsincos

y3sin

4sin

4sin3經(jīng)典精講【鋪墊】（西城一模理2）函數(shù)cosxcosx的最小值和最小正周期分別)．A

BπA3ππxsin3．2

．3

D．【例4】⑴

函數(shù)f(x)sin

x3sin在區(qū)間，上的最大值()2AB．

132

C．D．1⑵

函數(shù)f2cosxcosx4BπAπ

π

D．2的小值和最小正周期分別()．．π⑶

（目標(biāo)班專用）已知cos

sin6

，sin的為．6⑴Cf()

1cos2sin22

1π22sin22

ππππx，∴，∴sin1266∴f)⑵D

8

ππfx2cossin3sin244ππsin2x2cos2xx22第13講·目標(biāo)班·教師版

ππππ⑶

45

π1sin

3cossin

3

π7πππsinsin566

【例5】⑴已函數(shù)f(x2x2x的象關(guān)于x

π

對(duì)稱，則a_____⑵（新標(biāo)全國(guó)當(dāng)數(shù)f()2cosx得最大值

．⑶（標(biāo)班專用已函數(shù)（，b為數(shù)，0，在得最小值，則數(shù)f．⑴；

πf

1sin

π

ππtan2

tana3

2⑵；5f

x

5sin

x

，sin

25

，x

π

kk

cos

2

5⑶fx)sinxxa

xf(x)

a

，

sincos33

．∴(x)3xx6∴x．【例6】

（2010天理）已知函數(shù)f

x⑴求數(shù)f()最小正周期及在區(qū)間0上最大值和最小值；第13講·目標(biāo)班·教師版

ππ，，πππ，，πxRxπZ.ππππ⑵若f

，x，，求x0

的值．⑴

f(x)cosx2xf)

xcosx

sinxf()π

πππf(x)2sinx6f

f

f

f()

，⑵⑴f

π

f

π3205

ππ7π，，26

π

πx

ππππ2xcos2xcosxsin666

【例7】

（2012北理）已知函數(shù)f

cosxx

．⑴求f小正周期；⑵求f間．⑴sinπf

fx

cos2x

x

πxcos2x2x42f2

πkZ

⑵

x2kπ2π

πππ2k≤2x≤k242

k

≤x≤k88

第13講·目標(biāo)班·教師版

f

πkππkZ8<>積和公的入sin

sin

1cos2

12

679從函查0.92432418sin0.157296320.92432418

2

2

,積化和差與和差化積（選講）第13講·目標(biāo)班·教師版

積和差公式：cos

sin

<>和化積公式：sinsin2sin

2sin2cosxcos2cos

yxysin2y2xcosy

yysin2<>xx

yxyyxy22【鋪墊計(jì)算：①cos10575①

61；②．2【例題⑴計(jì)算：cos

50sin80⑵已知

求

cos

值⑶設(shè)又M是sin最大值，是sin最大值，求

m

．⑷已知⑴;

，求3

2

值12

第13講·目標(biāo)班·教師版

21[1cos100cos40233(2cos60．41⑵;2

cos21cos22cos(2

222

3πcos(cos4∵cos2

cos2

∴cos(

⑶∵

3πcos(．422∴

sin(1

111≤2sin222sin

1cos1]≤2

Mm

4sin

4(1cos1)

⑷

∵

19sin3

∵2sin2

cos2

cos

19cos225<>1【拓展求tan10．cos50第13講·目標(biāo)班·教師版

13

(cos60p4q22(cos60p4q223;

1sin10cos10cos10

1cos10(sin40sin32cos50cos1011cos(4040cos301

3cos40221cos402

cos802cos40cos402cos60sin40sin80sin80sin80

203sin80

3

考點(diǎn)：形如

三次sinsinx（cosxcos）型的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)睛主要研究?jī)深惻c二次函數(shù)相關(guān)的函數(shù)形式，第一類如下：⑴形如ysinpx（ypcosx）型的函數(shù)；<

psin

4pyxpxsinx2

p①≤≤p≤22sinxsinx24p②psinpsinx③

p2

sinpsinp

第13講·目標(biāo)班·教師版

ππππyy-1

O

-1

O

-1O

-x甲

乙

丙經(jīng)典精講【鋪墊】⑴y

的小值為_(kāi)________⑵cossin的小值_________．⑴

9ycoscos

cosx

y⑵

5xx4

sin

y【例8】⑴

函數(shù)ycos2的最大值是．⑵

函數(shù)y

的值域_____________．⑶

若關(guān)于x方程cosxsin在0，內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是．⑷

(目標(biāo)班專用)若函數(shù)

x

在sin取得最大值在sina時(shí)得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍_．⑴

yx

33xx8

x

y1⑵(1)sin2

34

sin

13x24

xy1⑶(；tsin∵,

∴ta

xsinsin

xsint4

t(0．∴

t

f(t)

∵tf(1]f()a(1)

第13講·目標(biāo)班·教師版

3⑷3sinxa1

t)

≤sinx

≤

sin≤0a備選已函數(shù)

f()⑴若f()在間上的最大值為，a．1⑵若f()在間上的最小值為，則a的值范圍．

f(

xx

2(xtxt

f(x)π⑴2

πx0f()2f(x)

0

πa22⑵，π；3

2121xπf(xxπf(x34342，πcosx1f(≥321fx)242aπa，考點(diǎn)：形如yxcos的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)睛⑵形ypxcos．<cos．ypsinxp

第13講·目標(biāo)班·教師版

2ππ2ππtxcosx，2t

t22sinxxcosx2

p

t

2

pppqtt2t222p

經(jīng)典精講

q2p【鋪墊】⑴函xsinxx的大值為多少？⑵求數(shù)fxsinxcosxx的域．⑴sinxcosx

1xx

t2sinxcosx|t≤22t∴(222∴t2y

2

12

⑵tcosxt

2sinxsinx

12

2

133()sinxcosxt22223

πtsinxsin

∴，

33tfx)t2fx(2222【例9】

5∴f)，已知x0,，求函數(shù)ycos2sinxcos的大值和最小值，并求出此時(shí)x的值．sinx

x

y

1t24

πππ∵tt

y2sinxmin4

02t2

ππy2xx第13講·目標(biāo)班·教師版

πππππ2πkππππππ2πkπ【備選】若，，函數(shù)ycos最值是（）12A0

B1

C．

D．

32D；y

22

cos

22yt24

∵，∴t12

π4

6，2

6ty

2622

（2010宣一模理）已知函數(shù)f2sinxx．⑴求數(shù)f及象的對(duì)稱軸方程；⑵設(shè)數(shù)g⑴f

1πcos2sinxxxcos2xxxsin22226∴T

22

ππxπxkZ2k∴x(k)23⑵g

πππfsin2xx6

1

π1πsin24

12練【演練】已知銳，tan第13講·目標(biāo)班·教師版

1tan，

．

∴π13∴π13

tan

1717

πππ,0022【演練】已知

πtan，則

π

．

π

πtan4

π

1414

【演練】設(shè)函數(shù)fxcos2

x．求函數(shù)f