九年級人教版相似相似三角形相似三角形的判定 - PPT

27.2.3相似三角形的判定（3）課前預(yù)習(xí)1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，下列

條件能使△BCD和△ABC相似的是（）A.∠ACD=∠BB.∠ADC=∠BDC C.AC2=AD?ABD.BC2=BD?BA2.如圖，無法保證△ADE與△ABC

相似的條件是（）A.∠1=∠CB.∠A=∠C C.∠2=∠BD． 3.如圖，D為△ABC的邊AB上的點(diǎn)，

請補(bǔ)充一個條件

，

使△ADC∽△ACB．DB∠ADC=∠ACB4.已知40°和50°分別為兩個直角三角形中的一個

銳角，這兩個直角三角形

（選填“是”或

“不是”）相似的．是課堂精講知識點(diǎn)1相似三角形的判定定理3兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．如圖所示，在△ABC與△DEF中，∠B=∠E，，可判定△ABC∽△DEF.注意在利用該方法時，相等的角必須是已知兩對應(yīng)邊的夾角，才能使這兩個三角形相似，不要錯誤地認(rèn)為是任意一角對應(yīng)相等，兩個三角形就相似.

注意：在兩個直角三角形中，若兩組直角邊的比相等，則這兩個直角三角形相似．【例1】如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，

點(diǎn)F在邊CD上，且CF=3FD，△ABE與△DEF相

似嗎？為什么？解析：先根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠A=∠D=90°，AB=AD=CD，設(shè)AB=AD=CD=4a，利用E為邊AD的

中點(diǎn)，CF=3FD，得到AE=DE=2a，DF=a，則可

計(jì)算出=2，加上∠A=∠D，于是根據(jù)

相似三角形的判定方法即可得到△ABE∽△DEF.解：△ABE與△DEF相似．理由如下：∵四邊形ABCD為正方形∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD設(shè)AB=AD=CD=4a∵E為邊AD的中點(diǎn)，CF=3FD∴AE=DE=2a，DF=a∴=2，=2∴而∠A=∠D∴△ABE∽△DEF變式拓展1.已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分

別AB、CB延長線上的點(diǎn)，CE=9，AD=15，連接DE.

若BC=6，AC=8，求證：△ABC∽△DBE．證明：∵在RT△ABC中，

∠C=90°，BC=6，AC=8∴AB==10∴DB=AD-AB=15-10=5∴DB：AB=1：2又∵EB=CE-BC=9-6=3∴EB：BC=1：2，∴EB：BC=DB：AB

又∵∠DBE=∠ABC，∴△ABC∽△DBE．5知識點(diǎn)2相似三角形的判定定理4兩角分別相等的兩個三角形相似，如圖所示，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC∽△.

注意：在兩個直角三角形中，若有一個銳角對應(yīng)相等，則這兩個直角三角形相似．【例2】如圖，點(diǎn)D在等邊△ABC的BC

邊上，△ADE為等邊三角形，DE與AC交于點(diǎn)F．（1）證明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，請寫出

圖中其他所有的相似三角形．解析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角

形的判定方法兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似

得出即可；（2）利用對頂角的性質(zhì)以及相似

三角形的性質(zhì)進(jìn)而判斷得出即可．（1）證明：∵△ABC，△ADE為等邊三角形

∴∠B=∠C=∠3=60°

∴∠1+∠2=∠DFC+∠2

∴∠1=∠DFC

∴△ABD∽△DCF（2）解：∵∠C=∠E，

∠AFE=∠DFC

∴△AEF∽△DCF

∴△ABD∽△AEF

故除了△ABD∽△DCF外，

圖中相似三角形還有：

△AEF∽△DCF

△ABD∽△AEF

△ABC∽△ADE

△ADF∽△ACD．變式拓展2.如上圖，要使△ADB∽△ABC，還需增添的條件是

（寫一個即可）.∠ABD=∠C知識點(diǎn)3相似三角形的判定定理的綜合運(yùn)用

判定三角形相似的幾種基本思路：（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形基本

定理；（2）條件中若有一對等角，可再找一對等角或再

找夾邊成比例；（3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；（4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角

或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；（5）條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等或一對

底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例.9【例3】如圖，在△ABC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，

連結(jié)DE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)DC、BE，若∠BDE+∠BCE=180°.請寫出圖

中的兩對相似三角形（不另外添加字母和

線），并選擇其中的一對進(jìn)行證明.解析：由于∠BDE+∠BCE=180°，

∠BDE+∠ADE=180°，

根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得到

∠ADE=∠BCE，加上

∠DAE=∠CAB，根據(jù)有兩

組角對應(yīng)相等的兩個三角

形相似可判斷ADE∽△ACB,

用同樣的方法可證明△FCE∽△FDB.解：△ADE∽△ACB,△FCE∽△FDB.

對△ADE∽△ACB進(jìn)行證明：

∵∠BDE+∠BCE=180°

而∠BDE+∠ADE=180°

∴∠ADE=∠BCE

即∠ADE=∠ACB

而∠DAE=∠CAB

∴△ADE∽△ACB變式拓展3.如圖，在平行四邊形ABCD中，

過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，

連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B.（1）求證：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=，AF=，求AE的長.（1）證明：∵在ABCD中，∴AB∥CD，AD∥BC

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C，而在△ADF與△DEC中，∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵在ABCD中，∴CD=AB=8由（1）知△ADF∽△DEC∴∴DE===12，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=隨堂檢測1.如圖所示，給出下列條件：①∠ACD=∠ADC；

②∠ADC=∠ACB；③；

④.其中單獨(dú)能夠判定

△ABC∽△ACD的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.42.已知一個三角形的兩個內(nèi)角分別是30°，70°，

另一個三角形的兩個內(nèi)角分別是70°，80°，則

這兩個三角形（） A.一定相似B.不一定相似 C.一定不相似D.不能確定BA3.如圖，在△ABC于△ADE中，

，要使△ABC于△ADE

相似，還需要添加一個條件，

這個條件是

.4.如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直

平分線AD交于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F．試說明：

△ABF∽△CAF．證明：∵AD是∠BAC的平分線

∴∠BAD=∠CAD(設(shè)為α)

∵EF⊥AD，且EF平分AD

∴AF=DF，∠ADF=∠DAF

∵∠ACF=∠ADF+α=∠DAF+α=∠BAC而∠AFC=∠AFB，∴△ABF∽△CAF∠B=∠E5.如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC

邊上一點(diǎn)，且∠ADE=60°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的邊長.（1）證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠BAC=∠B=∠C=60°∴∠CDE+∠CED=180°-∠C=120°