四年級(jí)奧數(shù)題第35講 容斥原理

第講一、專題簡析：容斥問題涉及到一個(gè)重要原理——包含與排除原理,也叫容斥原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí),為了不重復(fù)計(jì)數(shù)應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。容斥原理：對(duì)n個(gè)事物如果采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn)按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖）,那么具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=N＋NN。abNabNaNb二、精講精練：例1：一個(gè)班有48,班主任在班會(huì)上問：“誰做完語文作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有42人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。練習(xí)一1、五年級(jí)有122名學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試,每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有65人數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？12、四年級(jí)一班有54人訂閱《小學(xué)生優(yōu)秀作文》和《數(shù)學(xué)大世界》兩種讀物的有13人訂《小學(xué)生優(yōu)秀作文》的有45人每人至少訂一種讀物,訂《數(shù)學(xué)大世界》的有多少人？例2：某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中答對(duì)第一題的有25人,答對(duì)第二題的有23,兩題都答對(duì)的有15人。問多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對(duì)？練習(xí)二1、五（）班有40個(gè)學(xué)生,其中25人參加數(shù)學(xué)小組,23人參加科技小組有19人兩個(gè)小組都參加了。那么,有多少人兩個(gè)小組都沒有參加？22、一個(gè)班有55名學(xué)生訂閱《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》的有32,訂閱《中國少年報(bào)》的有29,兩種報(bào)紙都訂閱的有25人。兩種報(bào)紙都沒有訂閱的有多少人？例356人參加語文競(jìng)賽的有28人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27,如果兩科都沒有參加的有25人,那么同時(shí)參加語文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有多少人？練習(xí)三1、一個(gè)旅行社有36人其中會(huì)英語的有24人會(huì)法語的有18人兩樣都不會(huì)的有4人。兩樣都會(huì)的有多少人？2103,其中會(huì)下中國象棋的有69人會(huì)下國際象棋的有52人,這兩種棋都不會(huì)下的有12人。問這兩種棋都會(huì)下的有多少人？3例4：在1到100的自然數(shù)中,既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？練習(xí)四11到200的全部自然數(shù)中既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？21到130的全部自然數(shù)中既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？例5品,其中有24幅不是五年級(jí)的,有22幅不是六年級(jí)的,五、六年級(jí)參展的書法作品共有10,其他年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？4練習(xí)五1、科技節(jié)那天學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品,其中有110件不是一年級(jí)的,有100件不是二年級(jí)的一、二年級(jí)參展的作品共有32件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件？2、六（1）兒童節(jié)那天,學(xué)校的畫廊里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫作品,其中有25幅畫不是三年級(jí)的,有19幅畫不是四年級(jí)的,三、四兩個(gè)年級(jí)參展的畫共有8幅。其他年級(jí)參展的畫共有多少幅？三、課后作業(yè)1、學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂器,已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有24人會(huì)彈電子琴的有17,其中兩種樂器都會(huì)演奏的有8人。這個(gè)文藝組一共有多少人？5250名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽結(jié)果3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了,有27人兩項(xiàng)比賽都沒有獲獎(jiǎng)。已知作文比賽獲獎(jiǎng)的有14人,問數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有多少人？3、三年級(jí)一班參加合唱隊(duì)的有40參加舞蹈隊(duì)的有20人,既參加合唱隊(duì)又參加舞蹈隊(duì)的有14人。這兩隊(duì)都沒有參加的有10這個(gè)班共有多少人？4、五（）班做廣播操全班排成4行,每行的人數(shù)相等。小華排的位置是：從前面數(shù)第5,從后面數(shù)第8個(gè)。這個(gè)班共有多少個(gè)學(xué)生？5、實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書法展,學(xué)校的櫥窗里展出每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品,其中有28幅不是五年級(jí)的,有24幅不是六年級(jí)的,五、六年級(jí)參展的書法作品共有20幅。一、二年級(jí)參展的作品總數(shù)比三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)少4幅。一、二年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？6專題簡析：容斥問題涉及到一個(gè)重要原理——包含與排除原理,也叫容斥原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí),為了不重復(fù)計(jì)數(shù),應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。n個(gè)事物,如果采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn),按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b,那么具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=N＋N－N。ababNabNaNb例1：一個(gè)班有48人,班主任在班會(huì)上問：“誰做完語文作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有37人舉手。又42沒有人舉手。求這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。分析完成語文作業(yè)的有37人,完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人,一共有＋42=79人,多于全,在統(tǒng)計(jì)做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)時(shí)又算了一次,這樣就多算了一次。所以,這個(gè)班語文、數(shù)作業(yè)都完成的有：79－48=31人。練習(xí)一1,五年級(jí)有122,文成績優(yōu)秀的有65人,數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？2,四年級(jí)一班有54人,訂閱《小學(xué)生優(yōu)秀作文》和《數(shù)學(xué)大世界》兩種讀物的有13人,訂《小學(xué)生優(yōu)秀作文》的有45人,每人至少訂一種讀物,訂《數(shù)學(xué)大世界》的有多少人？3,學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂器,已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有24,會(huì)彈電子琴的有17人,其中兩種樂器都會(huì)演奏的有8人。這個(gè)文藝組一共有多少人？【答案】1.65+87-122=30（人）2.54-45+13=22（人）3.24-8+17=33（人）例2：某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中,答對(duì)第一題的有25人,答對(duì)第二題的有23人,兩題都答對(duì)的有15人。問多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對(duì)？25人,兩題都答對(duì)的有15人,可以求出只答對(duì)第一題7的有25－15=1023人,用只答對(duì)第一題的人數(shù),加上答對(duì)第二題的10＋23=33,兩題都答得不對(duì)的有36－33=3人。練習(xí)二1,五（1）班有40個(gè)學(xué)生,其中25人參加數(shù)學(xué)小組,23人參加科技小組,有19人兩個(gè)小組都參加了。那么,有多少人兩個(gè)小組都沒有參加？2,一個(gè)班有55名學(xué)生,32人,29人,兩種報(bào)紙都訂閱的有25人。兩種報(bào)紙都沒有訂閱的有多少人？3,某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽,結(jié)果3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了,有27人兩項(xiàng)比賽都沒有獲獎(jiǎng)。已知作文比賽獲獎(jiǎng)的有14人,問數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有多少人？【答案】1.40-（23+25-19）=11（人）2.55-（32+29-25）=19（人）3.（50-27）+3-14=12（人）例3：某班有56人,參加語文競(jìng)賽的有28人,參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人,如果兩科都沒有參加的有25人,那么同時(shí)參加語文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有多少人？分析與解答：要求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù),應(yīng)先求出至少參加一科競(jìng)賽的人數(shù)：56－25=31人,再求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)：28＋27－31=24人。練習(xí)三1,一個(gè)旅行社有36人,其中會(huì)英語的有24人,會(huì)法語的有18人,兩樣都不會(huì)的有4人。兩樣都會(huì)的有多少人？2,一個(gè)俱樂部有103人,其中會(huì)下中國象棋的有69人,會(huì)下國際象棋的有52人,這兩種棋都不會(huì)下的有12人。問這兩種棋都會(huì)下的有多少人？3,三年級(jí)一班參加合唱隊(duì)的有40人,參加舞蹈隊(duì)的有20人,既參加合唱隊(duì)又參加舞蹈隊(duì)的有14人。這兩隊(duì)都沒有參加的有10人。請(qǐng)算一算,這個(gè)班共有多少人？【答案】1.24+18-（36-4）=10（人）2.69+52-（103-12）=30（人）3.40+20-14+10=56（人）例4：在1到100的自然數(shù)中,既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？分析與解答：從1到100的自然數(shù)中,減去5或6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。從1到100的自然數(shù)中,5的倍數(shù)有100÷5=20個(gè),6的倍數(shù)有16100÷6=16……4,其中既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)（即5和6的公倍數(shù)）的數(shù)有3個(gè)（÷30=3……10）。因此,是6或5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是16＋20－3=33個(gè),既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是：100－33=67個(gè)。8練習(xí)四1,在1到200的全部自然數(shù)中,既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？2,在1到130的全部自然數(shù)中,既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？3,1全班排成4行,每行的人數(shù)相等。小華排的位置是：從前面數(shù)第5個(gè),從后面數(shù)第8個(gè)。這個(gè)班共有多少個(gè)學(xué)生？【答案】1.140個(gè)2.87個(gè)3.（5+8-1）×4=48（人）例5,其中有24幅不是五年級(jí)的,有22幅不是六年級(jí)的,10幅,其他年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？分析與解答：由題意知,24幅作品是一、二、三、四、六年級(jí)參展作品的總數(shù),22幅是一、二、三、四、五年級(jí)參展作品的總數(shù)。24＋22=46幅,這是一個(gè)五、六年級(jí)和兩個(gè)一、二、,10幅作品,三、四年級(jí)參展作品的總數(shù),再除以2,即可求出其他年級(jí)參展作品的總數(shù)。（24＋22－10）÷2=18幅。練習(xí)五1,科技節(jié)那天,學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品,其中有110件不是一年級(jí)的,有100件不是二年級(jí)的,32少件