1.2-有理數(shù)講義-學生版

第1章有理數(shù)1.2有理數(shù)學習要求1、掌握一個數(shù)的相反數(shù)的求法和性質(zhì)，學習使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解相反數(shù)的幾何意義，會借助數(shù)軸比較有理數(shù)的大小．2、掌握一個數(shù)的絕對值的求法和性質(zhì)，進一步學習使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解絕對值的幾何意義．知識點一：有理數(shù)的概念例1．下列說法正確的是（）A．有理數(shù)是指整數(shù)、分數(shù)、零、正有理數(shù)、負有理數(shù)這五類B．一個有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)C．一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)D．以上說法都正確變式1．下列說法正確的是（）A．非負數(shù)包括零和整數(shù) B．正整數(shù)包括自然數(shù)和零C．零是最小的整數(shù) D．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)變式2．下列說法不正確的是（）A．0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)B．0的絕對值是0C．一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)D．1是絕對值最小的正數(shù)知識點二：有理數(shù)的分類例2．下列八個有理數(shù)：﹣2、35、﹣0.2、、0、﹣、3.14、2；其中分數(shù)共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個變式1．在﹣2，π，15，0，﹣，0.555…六個數(shù)中，整數(shù)的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4變式2．把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的集合內(nèi)：﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9分數(shù)集：．負數(shù)集：．有理數(shù)集：．變式3．下列各數(shù)：2，﹣5，0，﹣0.06，+，20%，0.1，其中分數(shù)有個．變式4．把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號內(nèi)5，﹣2，1.4，﹣，0，﹣3.14．正數(shù)：{…}；非負整數(shù)：{…}；整數(shù)：{…}；負分數(shù)：{…}．變式5．將下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號里：5，﹣，2013，﹣0.2，6.8，0，﹣，﹣10，，﹣2．正數(shù)集合{}整數(shù)集{}負數(shù)集合{}分數(shù)集{}．變式6．把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號內(nèi)．15；﹣；0.81；﹣3；﹣3.1；17；0；3.14正數(shù)集合{}；負數(shù)集合{}；整數(shù)集合{}；分數(shù)集合{}．有理數(shù)集合{}．知識點三：數(shù)軸例3．如圖所示的圖形為四位同學畫的數(shù)軸，其中正確的是（）A． B． C． D．變式1．已知蝸牛從A點出發(fā)，在一條數(shù)軸上來回爬行，規(guī)定：向正半軸運動記作“+”，向負半軸運動記作“﹣”，從開始到結(jié)束爬行的各段路程（單位：cm）依次為：+7，﹣5，﹣10，﹣8，+9，﹣6，+12，+4（1）若A點在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣3，則蝸牛停在數(shù)軸上何處，請通過計算加以說明；（2）若蝸牛的爬行速度為每秒，請問蝸牛一共爬行了多少秒？知識點四：相反數(shù)例4．﹣5的相反數(shù)是（）A．5 B．﹣5 C． D．變式1．已知m，n互為相反數(shù)，則3+m+n=．變式2．的相反數(shù)是．變式3．3﹣π的相反數(shù)是．知識點五：絕對值例5．若|a|=2，則a的值是（）A．﹣2 B．2 C． D．±2變式1．下列說法正確的是（）A．有理數(shù)的絕對值一定是正數(shù)B．如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等C．如果一個數(shù)是負數(shù)，那么這個數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)D．絕對值越大，這個數(shù)就越大變式2．已知a的相反數(shù)是5，|b|=4，求|a+b|﹣|a﹣b|的值．變式3．已知|x|=3，|y|=7．（1）若x＜y，求x+y的值；（2）若xy＜0，求x﹣y的值．知識點六：有理數(shù)的大小比較例6．把如圖的直線補充成一條數(shù)軸，并表示下列各數(shù)：0，﹣（+4），3，﹣（﹣2），|﹣3|，+（﹣5），并用“＜”號連接．變式1．（1）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并按從小到大的順序用“＜”把這些數(shù)連接起來：﹣3.5，0，﹣2，2，1.6，﹣．（2）小明的家（記為A）與他上學的學校（記為B）、書店（記為C）依次坐落再一條東西走向的大街上，小明家位于學校西邊30米處，書店位于學校東邊50米處，小明從學校沿這條大街向東走了40米，接著又向西走了70米達到D處．如果把這條大街看作一條數(shù)軸，以向東為正方向，以校門口為原點，請用數(shù)軸表示上述A，B，C，D的位置．變式2．在數(shù)軸上表示下列有理數(shù)：﹣2.5，﹣（+1），﹣（﹣2），﹣|﹣3|，并把它們按從小到大的順序用“＜”連接起來．變式3．把32，（﹣2）3，0，|﹣|，﹣（2﹣5），+（﹣1）表示在數(shù)軸上，并將它們按從小到大的順序排列．變式4．比較下列各組數(shù)的大?。?）與；（2），，，0．拓展點一：有理數(shù)的數(shù)集問題例7．如圖，兩個圈分別表示負數(shù)集和整數(shù)集，請你從﹣3，9，0，﹣10%，3.14，，1300這些數(shù)中，選擇適當?shù)臄?shù)填在這兩個圈的重疊部分．變式1．將下列各數(shù)填在相應(yīng)的圓圈里：+6，﹣8，75，﹣0.4，0，23%，，﹣2006，﹣1.8；﹣變式2．把下列各數(shù)填入大括號：﹣2.4，3，2.004，﹣，1，﹣，0，π，﹣（﹣2.28），3.14，﹣|﹣4|，﹣2.1010010001…（每兩個1之間依次增加1個0）正有理數(shù)集合：（…）；整數(shù)集合：（…）；負分數(shù)集合：（…）；無理數(shù)集合：（…）．拓展點二：符號化簡問題例8．化簡：（1）﹣{+[﹣（+3）]}；（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．變式1．化簡：（1）+（﹣0.5）（2）﹣（+10.1）（3）+（+7）（4）﹣（﹣20）（5）+[﹣（﹣10）]（6）﹣[﹣（﹣）]．拓展點三：利用數(shù)軸解決問題例9．在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并把下列各數(shù)用“＜”號連接起來：﹣，﹣2，，﹣|﹣5|，﹣（﹣5）變式1．如下圖在數(shù)軸上有三個點A，B，C，請回答：（1）將點B向左移動3個單位后，三個點所表示的數(shù)誰最??？是多少？（2）將點A向右移動4個單位后，三個點所表示的數(shù)誰最小？是多少？（3）將C點向左移動6個單位后，這時B點所表示的數(shù)比C點表示的數(shù)大多少？變式2．數(shù)軸上的點A、B、C、D、O分別表示、﹣5、2、、0．（1）在如圖所示的數(shù)軸上畫出點A、B、C、D、O；（2）比較這五點所表示的數(shù)的大小，用“＜”號連接起來；（3）有同學說：“B、D兩點間的距離恰好是A、C兩點間的距離的3倍”，你覺得這位同學的說法正確嗎？請你作出判斷，并說明理由．變式3．郵遞員騎摩托車從郵局出發(fā)，先向東騎行2km到達A村，繼續(xù)向東騎行3km到達B村，然后向西騎行9km到C村，最后回到郵局．（1）以郵局為原點，以向東方向為正方向，用1個單位長度表示1km，請你在數(shù)軸上表示出A、B、C三個村莊的位置；（2）C村離A村有多遠？（3）若摩托車每1km耗油0.03升，這趟路共耗油多少升？變式4．如圖，在數(shù)軸上有三個點A、B、C，請回答問題：（1）將A點向左移動5個單位長度，這時的點表示的數(shù)是．（2）怎樣移動A、B、C的其中一個點，才能使點C恰好是線段AB的中點？請寫出三種移動的方法．方法一：，方法二：，方法三：．拓展點四：互為相反數(shù)的性質(zhì)例10．已知2x與﹣6互為相反數(shù)，求x的值．變式1．如果a，b表示有理數(shù)，a的相反數(shù)是2a+1，b的相反數(shù)是3a+1，求2a﹣b的值．變式2．已知|x﹣3|=0，|2y|=4，求x﹣y的值．拓展點五：利用絕對值得性質(zhì)解決問題例11．已知|a|=7，|b|=3，求a+b的值．變式1．在數(shù)軸上表示a，0，1，b四個數(shù)的點如圖所示，已知O為AB的中點．求|a+b|++|a+1|的值．變式2．閱讀材料：我們知道，若點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點間的距離表示為AB．則AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)3的點與表示有理數(shù)x的點之間的距離．根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）若|x﹣3|=|x+1|，則x=；（2）式子|x﹣3|+|x+1|的最小值為；（3）請說出|x﹣3|+|x+1|=7所表示的幾何意義，并求出x的值．變式3．已知零件的標準直徑是100mm，超過標準直徑長度的數(shù)量（mm）記作正數(shù)，不足標準直徑長度的數(shù)量（mm）記作負數(shù)，檢驗員某次抽查了五件樣品，檢查結(jié)果如下：序號12345直徑長度（mm）+0.1﹣0.150