專題22 勾股定理及幾何證明-全國初三數(shù)學(xué)自主招生專題大揭秘（含答案詳解）

專題22勾股定理及幾何證明一．選擇題（共10小題）1．（2021?黃州區(qū)校級自主招生）有下列四個命題：①若x2＝4，則x＝2；②若，則；③命題“若a＞b，則am2＞bm2”的逆命題；④若一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根是1和2，則方程cx2﹣bx+a＝0的兩根是﹣1和．其中真命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2020?衡陽縣自主招生）下列四個命題中只有一個是正確的，則正確的命題的選項為（）A．若＝，則0＜a＜1 B．﹣1＞2﹣3 C．若α為銳角且cosα＞，則0°＜α＜60° D．（1+）2019（1﹣）2020＝1﹣3．（2020?渝北區(qū)自主招生）下列命題正確的是（）A．有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等 B．一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個多邊形是七邊形 C．一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形 D．相等的圓心角所對的弧也相等4．（2020?郎溪縣校級自主招生）如圖，四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分線恰相交于一點(diǎn)P（A、P、C三點(diǎn)不共線），記△APD、△APB、△BPC、△DPC的面積分別為S1、S2、S3、S4，則有（）A．S1+S3＝S2+S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S4＝S2+S3 D．S1＝S35．（2019?武侯區(qū)校級自主招生）若關(guān)于x的方程x2+ax+b﹣3＝0有實(shí)根，則a2+（b﹣4）2的最小值為（）A．0 B．1 C．4 D．96．（2019?西湖區(qū)校級自主招生）在⊙O中，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點(diǎn)E在上，CF⊥AE于點(diǎn)F．若點(diǎn)F三等分弦AE，⊙O的直徑為12，則CF的長是（）A． B． C． D．7．（2020?浙江自主招生）代數(shù)式的最小值為（）A．12 B．13 C．14 D．118．（2019?北京）用三個不等式a＞b，ab＞0，＜中的兩個不等式作為題設(shè)，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，組成真命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．39．（2018?青羊區(qū)校級自主招生）大小完全相同的兩等腰直角三角形如圖放置，其中∠ABC＝∠E＝90°，AB＝BC＝DE＝EF，DE與AC交于AC中點(diǎn)N，DF過點(diǎn)C，S△DEF＝98，BD⊥DF且BD＝6，則點(diǎn)D到直線BC的距離為（）A． B． C．3 D．10．（2018?溫江區(qū)校級自主招生）設(shè)P1，P2，…Pn為直角坐標(biāo)系平面xOy內(nèi)的n個點(diǎn)，在平面α內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到點(diǎn)P1，P2，…Pn的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為P1，P2，…Pn的一個“中位點(diǎn)”，例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A，B的中位點(diǎn)，則有下列命題：①若三個點(diǎn)A、B、C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點(diǎn)；②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；③若四個點(diǎn)A、B、C、D共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；④梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．其中的真命題有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共7小題）11．（2020?和平區(qū)校級自主招生）若直角三角形兩邊長x，y滿足+|y﹣1|＝0，則其第三條邊長為．12．（2020?浙江自主招生）如圖，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB，與AB交于點(diǎn)M，AD⊥BC于點(diǎn)D，ME⊥BC于點(diǎn)E，MF⊥MC與BC交于點(diǎn)F，若CF＝10，則DE＝．13．（2020?武昌區(qū)校級自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形MNPQ的頂點(diǎn)M，N分別在x軸，y軸正半軸上滑動，頂點(diǎn)P、Q在第一象限，若MN＝8，PN＝4，在滑動過程中，點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的最大值為．14．（2019?霞山區(qū)校級自主招生）如圖，等邊△ABC的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣，0）、（0，1），點(diǎn)P（3，a）在第一象限內(nèi)，且滿足2S△ABP＝S△ABC，則a的值為．15．（2019?海港區(qū)校級自主招生）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE為等腰直角三角形，∠ADE＝90°，則BE＝．16．（2019?海港區(qū)校級自主招生）在△ABC中，若a4+b4+c4﹣2（a2+b2）c2+2a2b2＝0，則∠C＝．17．（2018?武昌區(qū)校級自主招生）以下四個命題中，正確的命題有．（填所有正確命題的序號）①若abc＞0，則++﹣＝2；②若方程（2018x）2﹣2017×2019x﹣1＝0的較大根為a，方程x2+2017x﹣2018＝0的較小根為b，則a﹣b＝2019；③如圖，正比例函數(shù)y＝x和y＝ax（a＞0，a≠1）的圖象與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象在第一象限分別交于點(diǎn)A、C，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則△AOB的面積等于△COD的面積；④已知函數(shù)y＝，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a＜3．三．解答題（共5小題）18．（2019?柯橋區(qū)自主招生）已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，第三邊BC＝5．（1）k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？（2）k為何值時，△ABC是等腰三角形？并求此時△ABC的周長．19．（2021?黃州區(qū)校級自主招生）南海諸島自古以來都是中國的領(lǐng)土，4月12日，中央軍委在南海海域隆重舉行海上閱兵，軍委主席習(xí)近平登上長沙艦檢閱海軍艦艇編隊，包括遼寧號航母在內(nèi)的48艘艦艇參加了閱兵儀式．如圖，A、B是兩處海港，其中A在B東偏南30?方向千米處，遼寧號航母從海港A出發(fā)，沿東偏北45?方向，以15千米/小時的速度勻速航行，兩小時后，長沙艦從海港B出發(fā)，沿東偏北15?的方向勻速航行，兩艦恰好同時到達(dá)閱兵地點(diǎn)C．（1）長沙艦從海港出發(fā)航行到達(dá)閱兵地點(diǎn)用了多少時間？（2）求長沙艦的航行速度．（結(jié)果保留根號）20．（2018?青羊區(qū)校級自主招生）地震是人類一直在研究并試圖戰(zhàn)勝的自然災(zāi)害，四川是地震頻發(fā)區(qū)，為更好的研究地震的破壞性，石創(chuàng)中學(xué)創(chuàng)新基地同學(xué)做了如下模擬監(jiān)測實(shí)驗．如圖為地面（AB）以下至地震波反射面（MN）的橫截面示意圖，其中，O為震源，A為震中，B為觀測站，OA⊥AB，AB∥MN．從O會同時發(fā)出兩種震波：直達(dá)波（路徑為OB）和反射波（路徑為OCB），它們的傳播速度相同．已知震源深度h＝14km，震中至觀測站距離AB＝48km．（1）求直達(dá)波傳播的距離OB；（2）已知反射波（路徑OCB）滿足∠OCM＝∠BCN，地震波的傳播速度為5km/s，觀測站收到兩種地震波的時間差為2s，求地面與反射面的距離H．21．（2019?和平區(qū)校級自主招生）如圖，在四邊形ABCD中，BC＝，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∠BDC＝∠A＝30°，求AD的長．22．（2017?福田區(qū)校級自主招生）如圖，一把“T型”尺（圖1），其中MN⊥OP，將這把“T型”尺放置于矩形ABCD中（其中AB＝4，AD＝5），使邊OP始終經(jīng)過點(diǎn)A，且保持OA＝AB，“T型”尺在繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動的過程中，直線MN交邊BC、CD于E、F兩點(diǎn)．（圖2）（1）試問線段BE與OE的長度關(guān)系如何？并說明理由；（2）當(dāng)△CEF是等腰直角三角形時，求線段BE的長；（3）設(shè)BE＝x，CF＝y(tǒng)，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域．專題22勾股定理及幾何證明參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．【解答】解：①若x2＝4，則x＝±2，本小題說法是假命題；②x＝時，2x﹣1＝0，無意義，本小題說法是假命題；③“a＞b，則若am2＞bm2”的逆命題是“若am2＞bm2，則a＞b”，本小題說法是真命題；④若一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根是1和2，則方程為（x﹣1）（x﹣2）＝0，即x2﹣3x+2＝0，∴a＝1，b＝﹣3，c＝2，∴方程cx2﹣bx+a＝0為2x2﹣3x+1＝0，解得：x1＝﹣1和x2＝﹣，本小題說法是真命題．故選：B．2．【解答】解：A、，可得：0＜a≤1，原命題是假命題；B、，，，，∴，原命題是假命題；C、cosα＝，則∠α＝60°，∵余弦值在0°~90°之間y隨x增大而減小，∴0°＜α＜60°，是真命題；D、（1+）2019（1﹣）2020＝﹣1，原命題是假命題；故選：C．3．【解答】解：A、有兩邊和其夾角分別相等的兩個三角形全等，原命題是假命題；B、一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個多邊形是六邊形，原命題是假命題；C、一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形，是真命題；D、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧也相等，原命題是假命題；故選：C．4．【解答】解：四邊形ABCD，四個內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)P，則P是該四邊形內(nèi)切圓的圓心，如圖，可將四邊形分成8個三角形，面積分別是a、a、b、b、c、c、d、d，則S1＝a+d，S2＝a+b，S3＝b+c，S4＝c+d，∴S1+S3＝a+b+c+d＝S2+S4，故選：A．5．【解答】解：由x2+ax+b﹣3＝0知b關(guān)于a的函數(shù)解析式為b+ax+x2﹣3＝0，∵a2+（b﹣4）2的最小值可看作點(diǎn)（a，b）到（0，4）距離的最小值，則兩點(diǎn)的距離d＝＝＝≥1，∴點(diǎn)（a，b）到（0，4）距離的最小值為1，即a2+（b﹣4）2的最小值為1，故選：B．6．【解答】解：如圖，連接AC，EC．設(shè)AE交OC于點(diǎn)K，設(shè)EF＝a．∵AF＝2EF，EF＝a，∴AF＝2a，∵AB⊥CD，∴∠AOC＝90°，∴∠CEA＝∠AOC＝45°，∵CF⊥EF，∴∠CFE＝90°，∴∠FCE＝∠FEC＝45°，∴CF＝EF＝a，∴AC＝＝a，∵OA＝OC＝6，∴AC＝6，∴a＝6，∴a＝∴CF＝故選：D．7．【解答】解：如圖所示：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，0），原式可化為+，即＝AP，＝BP，AB＝＝13．代數(shù)式的最小值為13．故選：B．8．【解答】解：①若a＞b，ab＞0，則＜；真命題：理由：∵a＞b，ab＞0，∴＞∴＜；②若ab＞0，＜，則a＞b，真命題；理由：∵ab＞0，∴×ab＜×ab，∴a＞b．③若a＞b，＜，則ab＞0，真命題；理由：∵＜，∴﹣＜0，即＜0，∵a＞b，∴b﹣a＜0，∴ab＞0∴組成真命題的個數(shù)為3個；故選：D．9．【解答】解：∵∠ABC＝∠E＝90°，S△DEF＝98，∴AB＝BC＝DE＝EF＝14，∵BD⊥DF，∴∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，得CD＝＝＝4，設(shè)點(diǎn)D到直線BC的距離為h，∴S△BCD＝BC?h＝BD?CD，即14h＝6×4，解得h＝．則點(diǎn)D到直線BC的距離為．故選：B．10．【解答】解：①若三個點(diǎn)A、B、C共線，若C在線段AB上，則線段AB上任一點(diǎn)都為“中位點(diǎn)”，C也不例外，則C是A，B，C的中位點(diǎn)，①是真命題．②舉一個反例，如邊長為3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜邊的中點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離之和為5+2.5＝7.5，而直角頂點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離之和為7，所以直角三角形斜邊的中點(diǎn)不是該直角三角形三個頂點(diǎn)的中位點(diǎn)，故②是假命題．③若四個點(diǎn)A、B、C、D共線，則它們的中位點(diǎn)是中間兩點(diǎn)連線段上的任意一個點(diǎn)，故它們的中位點(diǎn)存在但不唯一，故③是假命題．④如圖，在梯形ABCD中，對角線的交點(diǎn)O，P是任意一點(diǎn)，則根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得PA+PB+PC+PD≥AC+BD＝OA+OB+OC+OD，所以梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)，故④是真命題．故選：B．二．填空題（共7小題）11．【解答】解：∵+|y﹣1|＝0，∴x2﹣x＝0，y﹣1＝0，∴x＝1或0（舍去），y＝1，∵x＝y(tǒng)＝1，所以只有x，y是兩條直角邊，一種情況，∴第三條邊長＝，故答案為：．12．【解答】解：取CF的中點(diǎn)G，連接MG，設(shè)DE＝x，EF＝y(tǒng)，可得DC＝CF﹣EF﹣DE＝10﹣x﹣y，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝10﹣x﹣y，BE＝BD﹣DE＝10﹣2x﹣y…①，∵FG＝CG＝5，∴EG＝FG﹣EF＝5﹣y…②，∵M(jìn)G是Rt△MFC斜邊上的中線，∴∠FGM＝2∠BCM＝∠ACB，∠FGM＝∠B，又ME⊥BG，∴BE＝EG，∴由①、②得10﹣2x﹣y＝5﹣y，∴．故答案為：．13．【解答】解：如圖，取MN的中點(diǎn)E，連接OE，PE，OP，∵∠MON＝90°，∴Rt△MON中，OE＝MN＝4，又∵∠MQP＝90°，MN＝8，PN＝4，NE＝4，∴Rt△PNE中，PE＝，又∵OP≤PE+OE＝4+4，∴OP的最大值為4+4，即點(diǎn)P到原點(diǎn)O距離的最大值是4+4，故答案為：4+4．14．【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的下方時，過點(diǎn)P作PD⊥OD于D，∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，∴DP＝3，∵等邊△ABC的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣，0）、（0，1），∴OA＝，OB＝1，∴AB＝＝2，∴AC＝2，∴S△ABC＝×2×＝，∵2S△ABP＝S△ABC，∴S△ABP＝S△ABC＝，∵S△ABP＝S△ABE+S△EBP，∴×BE×+×BE×3＝，∴BE＝，∴OE＝OB﹣BE＝，∵OE∥PF，∴，∴＝，∴PF＝，如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的上方時，∵S△ABP＝S△ABE+S△EBP，∴×BE×+×BE×3＝，∴BE＝，∴OE＝OB+BE＝，∵OE∥PF，∴，∴＝，∴PF＝2+，∴a＝或2+，故答案為：或2+．15．【解答】解：過點(diǎn)E作EF作∥AC，交BC于點(diǎn)F，∴∠BFC＝∠C＝90°，∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°∴AB＝2AC＝2，在Rt△ABC中，由勾股定理得：CB＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝DA，∵∠DAC+∠ADC＝90°，∠EDF+∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠EDF在△ADC和△DEF中，，∴△ADC≌△DEF（AAS），∴DF＝AC＝1，設(shè)CD＝x，所以EF＝x，BF＝﹣1﹣x∵EF∥AC∴＝即＝，解得：x＝2﹣．∴BE＝2x＝4﹣2，故答案為4﹣2．16．【解答】解：a4+b4+c4﹣2（a2+b2）c2+2a2b2＝0∴（a2+b2）2﹣2（a2+b2）c2+c4＝0∴[（a2+b2）﹣c2]2＝0∴a2+b2＝c2∴△ABC為直角三角形且∠C＝90°．故答案為90°．17．【解答】解：①∵abc＞0，∴a、b、c同時大于0或一個大于0，另外兩個小于0，∴＝3或﹣1，∵＝1，∴﹣＝±2，故①錯誤；②方程（2018x）2﹣2017×2019x﹣1＝0可化為（20182x+1）（x﹣1）＝0，∴較大根為a＝1，∵方程x2+2017x﹣2018＝0可化為（x+2018）（x﹣1）＝0，∴方程x2+2017x﹣2018＝0的較小根為b＝﹣2018，∴a﹣b＝2019，故②正確；③由題意得A、C兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，∴過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的積都等于k，∴△AOB的面積等于△COD的面積＝，故③正確；④∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，∴a﹣3＜0，2a＞0，（a﹣3）×1+5≥，解得：a＜3，a＞0且a≤2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤2，故④錯誤．故答案為：②③．三．解答題（共5小題）18．【解答】解：（1）根據(jù)題意得[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]＝0，解得，x1＝k+1，x2＝k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜邊，那么有（k+1）2+（k+2）2＝52，解得k1＝2，k2＝﹣5（不合題意舍去），∴k＝2；（2）由（1）得x1＝k+1，x2＝k+2，若△ABC是等腰三角形，則x1＝BC或x2＝BC，易求k＝4或3，k＝4時，AB＝5，AC＝6，周長L＝5+5+6＝16，k＝3時，AB＝4，AC＝5，周長L＝4+5+5＝14．19．【解答】解：（1）由題意得：AB＝30千米，∠ABC＝30°+15°＝45°，∠BAC＝（90°﹣30°）+45°＝105°，∴∠C＝180°﹣45°﹣105°＝30°，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，AD＝BD＝×30＝30（千米），在Rt△ADC中，∠C＝30°，∴AC＝2AD＝60，CD＝AD＝30（千米），∴BC＝（30+30）千米，∴遼寧號航母從A到C的時間為60÷15＝4（小時），則長沙艦從B到C所用時間為4﹣2＝2（小時），答：長沙艦從海港出發(fā)航行到達(dá)閱兵地點(diǎn)用了2小時．（2）長沙艦的速度為（30+30）÷2＝（15+15）千米/小時，答：長沙艦的航行速度為（15+15）千米/小時．20．【解答】解：（1）∵OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，又∵OA＝h＝14km，AB＝48km，∴OB＝＝＝50（km）；（2）延長AO交MN于P，延長BC交AO的延長線于Q，∵直達(dá)波和反射波傳播速度相同，地震波速度＝5km/s，觀測站收到兩種地震波的時間差為2s，∴﹣＝2，∵OB＝50km，∴OC+BC＝60km，∵∠OCM＝∠BCN，∠BCN＝