數(shù)學(xué)理科二輪總復(fù)習(xí)23題逐題特訓(xùn)（二）立體幾何

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(二)立體幾何1．(2017·江蘇揚州調(diào)研)如圖,在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形,CD∥AB，AB＝2CD，AC交BD于O，銳角△PAD所在平面⊥底面ABCD,PA⊥BD，點Q在側(cè)棱PC上，且PQ＝2QC。求證：(1)PA∥平面QBD;（2)BD⊥AD.證明(1）如圖，連結(jié)OQ，因為AB∥CD,AB＝2CD，所以AO＝2OC。又PQ＝2QC，所以PA∥OQ。又OQ?平面QBD，PA?平面QBD，所以PA∥平面QBD.（2）在平面PAD內(nèi)過P作PH⊥AD于點H，因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH?平面PAD，所以PH⊥平面ABCD。又BD?平面ABCD，所以PH⊥BD.又PA⊥BD，PA∩PH＝P，所以BD⊥平面PAD。又AD?平面PAD，所以BD⊥AD。2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O,PC⊥底面ABCD，E為PB上一點，G為PO的中點．（1)若PD∥平面ACE，求證：E為PB的中點；（2)若AB＝eq\r（2）PC，求證：CG⊥平面PBD。證明(1）連結(jié)OE，由四邊形ABCD是正方形知，O為BD的中點,因為PD∥平面ACE，PD?平面PBD,平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.因為O為BD的中點,所以E為PB的中點．（2)在四棱錐P－ABCD中,AB＝eq\r（2)PC，因為四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)C＝eq\f（\r（2），2)AB，所以PC＝OC.因為G為PO的中點，所以CG⊥PO。又因為PC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，所以PC⊥BD.而四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因為AC,PC?平面PAC,AC∩PC＝C，所以BD⊥平面PAC，因為CG?平面PAC，所以BD⊥CG.因為PO，BD?平面PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平面PBD.3．(2017·江蘇懷仁中學(xué)模擬)如圖,在四棱錐E－ABCD中，△ABD為正三角形，EB＝ED,CB＝CD.(1)求證：EC⊥BD；(2）若AB⊥BC,M,N分別為線段AE,AB的中點，求證：平面DMN∥平面BCE。證明（1）取BD的中點O，連結(jié)EO，CO.∵CD＝CB，EB＝ED，∴CO⊥BD，EO⊥BD。又CO∩EO＝O，CO，EO?平面EOC，∴BD⊥平面EOC.又EC?平面EOC,∴BD⊥EC。（2）∵N是AB的中點，△ABD為正三角形，∴DN⊥AB,∵BC⊥AB，∴DN∥BC。又BC?平面BCE，DN?平面BCE,∴DN∥平面BCE.∵M(jìn)為AE的中點,N為AB的中點，∴MN∥BE，又MN?平面BCE，BE?平面BCE,∴MN∥平面BCE.∵M(jìn)N∩DN＝N，∴平面DMN∥平面BCE。4．(2017·江蘇楚水中學(xué)質(zhì)檢)如圖，在三棱錐P－ABC中,點E，F(xiàn)分別是棱PC，AC的中點．(1)求證:PA∥平面BEF;(2）若平面PAB⊥平面ABC，PB⊥BC,求證：BC⊥PA.證明(1)在△PAC中,E,F分別是棱PC，AC的中點，所以PA∥EF.又PA?平面BEF,EF?平面BEF，所以PA∥平面BEF.(2)在平面PAB內(nèi)過點P作PD⊥AB，垂足為D.因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB,PD?平面PAB，所以PD⊥平面ABC,因為BC?平面ABC,所以PD⊥BC，又PB⊥BC，PD∩PB＝P，PD?平面PAB,PB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以BC⊥PA。

攀上山峰，見