《金融數(shù)學(xué)》資產(chǎn)組合管理

第五章資產(chǎn)組合管理

本章主要討論風(fēng)險(xiǎn)證券的投資組合問題，也即分散投資問題.主要包括：收益率的期望和方差；兩證券、多證券及含無風(fēng)險(xiǎn)證券的資產(chǎn)組合線及有效前沿；CAPM模型、貝塔(Beta)因子、資本市場(chǎng)線(CML)、證券市場(chǎng)線(SML)、證券特征線(SCL);系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。5.1兩風(fēng)險(xiǎn)證券中的風(fēng)險(xiǎn)度量方法1

設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率K為隨機(jī)變量，參照值取期望，方差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量。有時(shí)用收益率的標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量風(fēng)險(xiǎn)。單個(gè)時(shí)間段的投資問題，一般采取此收益率。其中方法2

利用對(duì)數(shù)收益率的方差,或者，對(duì)多個(gè)時(shí)間段相關(guān)的投資，采用對(duì)數(shù)收益率比較方便因?yàn)閷?duì)數(shù)收益率滿足可加性。5.1.1期望收益和方差5.1.2兩證券情形用表示組合的收益率，用分別表示投資在證券1和2上的權(quán)重,則若表示賣空第i支股票。

記作例1

假設(shè)兩種股票的每股價(jià)格分別為美元，美元，美元，購買第一種股票20股，購買第二種股票10股，求兩個(gè)股票的資金分配權(quán)重。例2考慮如下資產(chǎn)組合：狀況概率收益率收益率

0.40.20.4分別求下述情形下資產(chǎn)組合的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)。(1)(2)(3)解：依題意得，(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)

時(shí)，(3)當(dāng)時(shí)，

由(1)、(2)和(3)發(fā)現(xiàn)，高收益通常伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)；另外，當(dāng)不允許賣空時(shí)，組合的風(fēng)險(xiǎn)介于單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)之間(如(1)(2)所示)，當(dāng)允許賣空時(shí)，組合的風(fēng)險(xiǎn)則可能比任何單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)都大(如(3)所示)。命題5.3

如果不允許賣空，則有問題：在兩風(fēng)險(xiǎn)證券中，有沒有風(fēng)險(xiǎn)最小的組合權(quán)重(即找一個(gè)權(quán)重組合，使得組合的方差最小)？命題5.4(1)如果，當(dāng)，且時(shí)，。(必須有一支股票賣空.）(2)如果，當(dāng)時(shí)，。(不必賣空.）5.2資產(chǎn)組合線及有效前沿資產(chǎn)組合線(白色和紅色)、非賣空(紅色)及有效前沿(藍(lán)色虛線)，下同。

5.2.1含兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券情形5.臨2.悅2含無回風(fēng)險(xiǎn)李證券旦和一鑒個(gè)風(fēng)脆險(xiǎn)證臨券的幻玉情形5.畢2.委3含n個(gè)風(fēng)鼓險(xiǎn)證腐券情卷形下面館給出屈有效坐前沿宰的方捎程。對(duì)際指定逐的期商望收氣益率蠢，多方差擊最小認(rèn)的證婆券組關(guān)合應(yīng)照在前追沿上燙，從轉(zhuǎn)而求指前沿胸上的識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)鉗化為皇解下均列規(guī)烤劃問速題：記則對(duì)揭指定訂的齊，方句差最墊小的驅(qū)證券膚組合壞為：此即命題5.毀10的結(jié)貌論。有效吃前沿這：瘋其中炎如前所述率。因此訴對(duì)只咽含多謊種風(fēng)槍險(xiǎn)證澡券而倘言，桃有效糞前沿瞧為雙炭曲線的收右支屆，最境小方栽差的宰點(diǎn)為(筆)黨,稱為最小目方差雁證券書組合壞，記筆作MV鐘P.此點(diǎn)連權(quán)重趨對(duì)應(yīng)命題5.藝9的結(jié)番論。5.憶2.綁4既含敗多個(gè)的風(fēng)險(xiǎn)脅證券剃又含頭無風(fēng)拾險(xiǎn)證浮券情厚形設(shè)含刑有譽(yù)種昆風(fēng)險(xiǎn)站證券(股票)和一喚種無嘗風(fēng)險(xiǎn)龜證券(債券)，以疤為念種勢(shì)股票白上的親投資撕比例殲，則航就是械投資例在債袖券上酬的比壟例。芹對(duì)指原定的舉期望糞收益微率擴(kuò)，蟲求投后資比姐例五，使天得方納差最還小，田就是某解下汗列規(guī)醋劃問屋題：解上倚述規(guī)偽劃，筆得知猾對(duì)指循定的杰期望探收益機(jī)率投，爽方差紡最小妹的投仗資組匠合為庭：標(biāo)準(zhǔn)謊差為懇：其中廉如迷前述脖。由此畏可知敲，含煙多種幟風(fēng)險(xiǎn)拾證券參和無敗風(fēng)險(xiǎn)捷證券桂的有碰效前幕沿是白過點(diǎn)血的陡一條粗射線技。會(huì)嘗是什宿么樣郊的射蓬線呢透？假設(shè)配含有榨兩支皇股票筋和鵲及一扎種債緊券米，識(shí)由前余面討矮論知用，把叼全部陷資金扒投入架股票幻玉和萄，在得到若雙曲喜線的粒一支梅，而完如果扇投資草于股午票度及洋債券督，夜得到琴有效張前沿泳為射沒線;而如券果投礦資于析股票過及跡債券嗓，教得到端有效狡前沿挎為射活線;如果新把資猶金投山資于瓶和債混券疫中，群則連臂接春和曲搬線血上任趟意一聯(lián)點(diǎn)的欄射線犬都是梅可能準(zhǔn)的投襖資組冬合。背因此研從威出矮發(fā)，廳與曲岡線砍相切地的射戀線，鼓為有便效前糊沿(為什垮么？)記切蜜點(diǎn)為扁。如果角投資匠者選干擇切肅點(diǎn)姜，則戴表示叫將資惱金全隔部購享買股站票舟和精；誓如果牌選擇段點(diǎn)造，則壤是把奔一部泥分資背金用瞧于買踐債券布，余匯下部屯分用秘來買脈股票常和赤，繞而資便金在分和欺上冊(cè)分配拾比例欺與切穴點(diǎn)話一樣驕；如趟果選相擇穗點(diǎn)，均則是塵以效借允入資墻金，應(yīng)連同悼原有挑資金罰一起殿用來忠買股線票汪和析，而籮資金揀在科和季上分換配比渴例仍狼與切濕點(diǎn)吊一樣寺。見價(jià)下頁箏圖示憑。有效姜前沿廳為藍(lán)望色虛段線部徐分，持紅色丘部分四表示仙不允疲許賣價(jià)空的投情形針。切洪點(diǎn)證賠券組友合旁，它怠決定允有效璃前沿茫上任尺意點(diǎn)井處的靠風(fēng)險(xiǎn)太投資礎(chǔ)比例他。例于一砌投資望者擁往有資倆金10浩00霜0美元鑒。(1稀)用40久00美元逃購買傅股票掙，其沸余全烘部購掉買爹股質(zhì)票，荷則在材點(diǎn)處頸的投授資組淺合為耐；(2證)如果量該投紋資者愿抽取50見00美元業(yè)作無渴風(fēng)險(xiǎn)革投資拳，其腐余仍沖用于螞購買天股垂票，犯則此災(zāi)時(shí)購喇買桃股查票的扭資金堡分別漢是20混00美元驗(yàn)和30號(hào)00美元賠。有效醉前沿燙為藍(lán)內(nèi)色虛圍線部鑰分，逗切點(diǎn)們證券嗓組合鏡，限決定徑有效點(diǎn)前沿魚上任飄意點(diǎn)伴處的專風(fēng)險(xiǎn)云投資搏比例塔。切點(diǎn)憤處捆的投帆資組調(diào)合權(quán)通重為例設(shè)風(fēng)湯險(xiǎn)證師券營和津分簽別有惡期望尖收益獎(jiǎng)率，方脊差分木別為朽和億，它沾們之構(gòu)間的嬌協(xié)方澇差為宅。響又設(shè)染無風(fēng)頑險(xiǎn)利再率為.求切弓點(diǎn)證膽券組勸合李。5.概3稻CA階PM模型資本許資產(chǎn)憶定價(jià)乞模型(C肌ap攻it嘗al遺A斷ss歷et扯P傷ri忍ci押ng探M冰od胡el蹤蝶,鞭CA訊PM標(biāo))是在殃理想宣的，駛稱之地為完判善的待資本遣市場(chǎng)姻中建丙立的帆。它悔的基否本假倆設(shè)有駕：投資沾者對(duì)驢一個(gè)昏投資約組合糞以一志期的封期望貿(mào)回報(bào)木率和嶺方差殊來評(píng)跨價(jià)此組組合久；投資蝕者具叛有不怨?jié)M足守性(風(fēng)險(xiǎn)披相同鉤時(shí)，孩期望蜘越大最越好)；投資智者都搶是風(fēng)槽險(xiǎn)回榴避者(期望施相同港時(shí)，釋風(fēng)險(xiǎn)纖越小挑越好)；任何扮一種彼證券砌都是忠無限拿可分蜜的；存在蟻一個(gè)奧無風(fēng)罰險(xiǎn)利礎(chǔ)率，筐任何涉投資繡者都刃可以踢依此均利率看不受輩限制階地存欠、貸命款；(6宋)不存翁在稅破收和驗(yàn)交易爛費(fèi)用拒；(7乳)所有泡投資續(xù)者考劈燕慮的豪投資尼期都戲是一鏟樣的糕；(8袋)無風(fēng)江險(xiǎn)利潮率對(duì)吹任何呀投資干者都增相同鉛；(9彩)所有老信息肆對(duì)任暢何投驕資者還都是謠免費(fèi)封的，塌且及皂時(shí)提熔供；(1池0)所有駛投資圓者對(duì)炎每種猶股票深的看參法都巨相同蚊，即蜂不同梢投資蠶者對(duì)忍每種擴(kuò)股票箏的期番望和育方差雁的看夫法一嗎樣，嬌對(duì)個(gè)論證券釣之間牙的協(xié)爸方差語看法摔也一敘樣。同時(shí)掠滿足泡以上琴十個(gè)內(nèi)假設(shè)混的市眾場(chǎng)就封稱為完善銀資本厭市場(chǎng)款。在介濱紹了鵝完善爬資本膜市場(chǎng)亦之后抽，我槽們?cè)賵?jiān)介紹市場(chǎng)畫均衡和市場(chǎng)投投資挎組合的概漲念。市場(chǎng)豬均衡：在要完善奇的資荒本市虜場(chǎng)上執(zhí)，當(dāng)測(cè)證券合的價(jià)申格調(diào)躺整時(shí)篩，對(duì)陣證券混的需終求和蛋供給稍也相瓜應(yīng)變捷動(dòng)。垃如果殖隨著堡證券鮮價(jià)格鉆的調(diào)闊整，矩對(duì)證擱券的探需求折和供嗓給相邪應(yīng)調(diào)歇整為雁：每釋一種芬證券惰需求夾量正香好等腥于其妖供給念量，挪而且獲對(duì)無蓮風(fēng)險(xiǎn)沈證券僵，存蘭貸款役數(shù)目驗(yàn)正好歉相等榨的狀繁態(tài)，錯(cuò)就稱涌之為堡市場(chǎng)祖均衡浮。市場(chǎng)觸投資牧組合(M拒ar凳ke梨t吉Po管rt悔fo騎li嗽o)是指斥市場(chǎng)摩處于謙均衡它時(shí)，從切點(diǎn)帖的縫投資桑組合糕，為體了區(qū)度別，塌我們脖將市近場(chǎng)投嶺資組逗合記性為,坐標(biāo)謠為當(dāng)市私場(chǎng)處樂于均勤衡時(shí)橋，包慰含無輝風(fēng)險(xiǎn)捉債券蕩和多更種風(fēng)縣險(xiǎn)證券券的嘗有效涼前挑沿是漢在器平榮面上將，從拔點(diǎn)援出油發(fā)，句過桂點(diǎn)蒜的一時(shí)條射援線，孤稱它扣為資本蕩市場(chǎng)猴線(C善ap俯it霞al語M懲ar憐ke衣t姑Li廣ne訊,C孩ML鉗).其方搶程為鑰：其中穗的更斜率粉稱為緒風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬擁，而郵的截蜻距稱埋為等待休報(bào)酬禿。注意墨：震并遇不給竿出單鄭個(gè)風(fēng)此險(xiǎn)證粒券的蟲期望弊回報(bào)撓率和禿標(biāo)準(zhǔn)童差的素線性鎖關(guān)系躺。反例Mo茫di登gl錘ia烤ni﹠Po劍gu酒e蘭(1情97有4)潔:股票礎(chǔ)年回坊報(bào)率過標(biāo)準(zhǔn)五差BC公司室股票10殃0種普乳通股桂票組箱合此例悶指出蜜了對(duì)BC公司突股票交，如租果以孔標(biāo)準(zhǔn)形差作請(qǐng)為風(fēng)醋險(xiǎn)度敵量的它標(biāo)準(zhǔn)競(jìng)，則衫成為回吊報(bào)率醫(yī)低，逝風(fēng)險(xiǎn)施卻大濫的股應(yīng)票，尺這與康普通鄭的投川資常展識(shí)矛溉盾。定理5.當(dāng)11爛(C瘋AP遣M)當(dāng)完帥善的增資本送市場(chǎng)澇達(dá)到披均衡宮時(shí)，償任何掠單個(gè)帥風(fēng)險(xiǎn)知資產(chǎn)鑼或資及產(chǎn)組表合的踏超額喚回報(bào)碼和市布場(chǎng)投叼資組喝合的射超額堤回報(bào)字成比雄例關(guān)狹系，見即有轎關(guān)系儀式其中反映妥任意筑單個(gè)舒資產(chǎn)恐或資股產(chǎn)組家合的魂期望批收益膜與貝券塔系討數(shù)關(guān)元系的紗位于結(jié)平面鉛上的莊直線啄稱為證券保市場(chǎng)血線（Se剛cu冠ri并ty況M勢(shì)ar眼ke錘t喪Li董ne蛇,S踏ML）。餅見下平頁圖處所示呼。為了網(wǎng)便于肅比較時(shí)，我悄們將筍資本涉市場(chǎng)扇線(左)和證幟券市場(chǎng)線(右)放在置一起續(xù)。試封分析上二者乘的區(qū)腔別？關(guān)于CA依PM應(yīng)用益的例逆子例已知按設(shè)證爐券慶的Be讓ta系數(shù)絲式分別菜為尋求解：逐由CA腰PM知，甩兩證冬券的寫期望佛回報(bào)王率分咳別為敘：此例棍告訴牧我們繁，確控實(shí)可蛙用CA饒PM求單崇個(gè)資侵產(chǎn)的典期望否收益陪率。倆除此夸之外筐，還裳可以寄用來朱發(fā)現(xiàn)種股票者的定糧價(jià)是互否合最理。這是址因?yàn)槎?，由CA勺PM可知走，從而殲有表明醉當(dāng)市卵場(chǎng)均可衡時(shí)腰，所眨有股愿票每被承擔(dān)鈔一單猴位風(fēng)潮險(xiǎn)，妻市場(chǎng)趨給予旗的期攝望回亞報(bào)都尋應(yīng)該半相等消。如考果不裝等，賊則意直味著怒市場(chǎng)詢處于兄不均攪衡狀容態(tài)，跟存在拜某些罰股票休定價(jià)架過高昏或過古低的急現(xiàn)象碗。例已知S和I公司集的Be乓ta降(伐)系數(shù)訓(xùn)及期宋望回節(jié)報(bào)率狀如下拾表所霸示，越無風(fēng)步險(xiǎn)利游率為.若S公司價(jià)的股逃價(jià)被寶認(rèn)為谷是合白理的聾，請(qǐng)繞問I公司淘的股餐價(jià)是武否合怠理？陵定價(jià)匯過高籠還是搖過低奔呢?股票腫期土望回圣報(bào)率S公司1.堪3I公司0.羞8解：望由CA厲PM可知擋，從而擊有表明皮此時(shí)右市場(chǎng)竿處于暫不均徑衡狀漆態(tài)，康若S公司旅的股勞價(jià)被腰認(rèn)為筋是合指理的遠(yuǎn)，則I公司稀的股域價(jià)定糖價(jià)過煉高。請(qǐng)這是雕因?yàn)榈郑篒公司肌承擔(dān)蕉一單猜位風(fēng)槽險(xiǎn)得屈到的些補(bǔ)償央不如S公司客承擔(dān)摧一單學(xué)位風(fēng)許險(xiǎn)得喪到的戶補(bǔ)償理大。瘦究其篩原因俯，是典對(duì)銀而言聽，佳的期趣望回鬧報(bào)率喉太低踏了。由羨或夢(mèng)知，若葵偏狹低，線則初渾始股童價(jià)本定竟價(jià)偏務(wù)高。5.毫4系統(tǒng)掩風(fēng)險(xiǎn)鏈和非民系統(tǒng)丟風(fēng)險(xiǎn)我們鎮(zhèn)先考炕慮單纖支股依票圍的風(fēng)論險(xiǎn)問句題。由于CA叉PM模型炎是在辟市場(chǎng)惹達(dá)到投均衡諒時(shí)，盈證券的期灰望回水報(bào)率密和恒的關(guān)戒系,為強(qiáng)沉調(diào)均柏衡，背我們年記卸為.這時(shí)CA郊PM模型牙可寫鏟成：為了訪描述炮實(shí)際跪的超霞額回天報(bào)模臥型，謙引入捧一個(gè)蛋與證側(cè)券的回配報(bào)率粥相授獨(dú)立扮的隨絕機(jī)誤夢(mèng)差項(xiàng)碰，將救證券及的實(shí)萍際回爸報(bào)率螞表示療為我們前稱上鹿式為芬證券考的特征步線。由回汁歸模稅型，鞏可得山證券i的總灣方差恨為從而鈔被膊分解芹為兩壁部分妹：第一都部分陶為爹，與彩市場(chǎng)植投資炎組合M有關(guān)兼，稱聞之為系昆統(tǒng)風(fēng)藍(lán)險(xiǎn)或級(jí)市場(chǎng)拾風(fēng)險(xiǎn)蓮，銳越陪大，顯證券i的市連場(chǎng)風(fēng)困險(xiǎn)就越畏大，話由CA相PM知，苦越密大，舊相應(yīng)細(xì)的期踢望回報(bào)率階就越朗高。玩因此溉，系什統(tǒng)風(fēng)卷險(xiǎn)是伏有報(bào)尋酬的裂，但協(xié)無法消除修或減鄭少。第二宮部分形為下，與箏市場(chǎng)制投資達(dá)組合M無關(guān)具，稱楊之為更非系路統(tǒng)風(fēng)輸險(xiǎn)或害非市丈場(chǎng)風(fēng)政險(xiǎn)。畫非系獵統(tǒng)風(fēng)端險(xiǎn)是齊沒有許報(bào)酬理的，然但可好以通陡過組滔合消數(shù)除它丸。當(dāng)不一個(gè)奇投資票組合軍已消復(fù)除所筆有非維系統(tǒng)點(diǎn)風(fēng)險(xiǎn)倚時(shí)，卵則稱翻它為乏有效香的。證券矛的特魚征線聾是圍訂繞它損的市脅場(chǎng)線桌上下廢波動(dòng)少的，滴一種搶證券仍的特石征線貿(mào)斜率遍等于麗此證恰券的它系數(shù)個(gè)，而挽此困也失給出鼠了該你證券足對(duì)市兩場(chǎng)投風(fēng)資組畫合M的敏磚感度罪