黃岡中學(xué)中考數(shù)學(xué)公式定理知識點考點匯總

《黃岡中學(xué)中考二次函數(shù)知識點》配套使用效果更好

1、整數(shù)（包括：正整數(shù)、0、負整數(shù)）和分數(shù)（包括：有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù)）都

是有理數(shù).如：-3,第0.231,0.737373…，停，口無限不環(huán)循小數(shù)

叫做無理數(shù).如：口，一月，0.1010010001…（兩個1之間依次多1個0）.有理數(shù)

和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

2、絕對值：Ia|—3；Ia|='-a.如：|—氫\=^2；|3.14

—JT|=JT—3.14.

3、一個近似數(shù)，從左邊笫一個不是0的數(shù)字起，到最末一個數(shù)字止，所有的數(shù)

字，都叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字.如：0.05972精確到0.001得0.060,結(jié)果

有兩個有效數(shù)字6,0.

4、把一個數(shù)寫成土aXIO”的形式（其中iWaVlO,〃是整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科

學(xué)記數(shù)法.如：-40700=-4.07X10$,0.000043=4.3X10-5.

5、乘法公式(反過來就是因式分解的公式)：

①(a+6)(a—8)=己2—毋.擴展：1〃

—Y廠—,---\-y/n+^n1

J〃±J〃一1\xln±yjn-

②(a±6)2=，±23b+b2.擴展：2

口±『得±2或21(if

ciH—Q—cii-+2

ayaJ

同理：/.\2.E

=Y±2%2V=(X±7)'2

③g+力)(才一筋+加)=以+加.④(4+助+斤)=4一①4+斤=心+6)2

—2ab,(己一8)2=(方+6)—Aab.

公式拓展：⑥(x+y+z)3=/+>3+z3+3/y+3孫2+3丁

z+3yz24-3X2Z+3xz2+6xyz

222

⑦d++z?-3盯z=(無+y+z)(x4-y+z—xy-yz-xz)

⑧X，+My?+y4=(%2+盯+》2--孫+V)

(9)1+2+3+---+(H-1)+H=/7(H+1)⑩1+3+5+?一+(2〃—3)+(2〃-1)="2

(11)2+4+6+-一+(2〃-2)+2〃=〃(〃+1)

6、塞的運算性質(zhì)：

Q對乂W=/".如：a3Xa2=a5；②#：如：6+才=月;

③3)"=a"".如：(a3)2=a6,(3a3)3=27a9,④(a8)"=a〃6".⑤?)〃=a-6"

@3~n~~>特殊:6)如：(—3)-'=y-,5-2=3=—，(j)-

2=?T；

⑦a0=l(aWO).如：(-3.14)°=1,<品一用°=1.

7、二次根式：①(而)—(a2。)，②杼'=|a|,③g=心乂缶,④形=一

g(a>0,b?0).如：①(3§)2=45.②v^?=6.③aVO時，標=-a超.④-

M行的平方根=4的平方根=±2.(平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念)

注：①加入一個數(shù)的平方是a,那么，這個數(shù)就在于叫a的平方根(或叫二次方根)。

a叫被開方數(shù)。開平方中被開方數(shù)a必須大于等于零。

②正數(shù)的平方根有兩個，它們的絕對值相等，符號相反(它們是互為相反的數(shù))。

這兩個根中的正數(shù)根，叫做算術(shù)平方根。零的算術(shù)平方根是零。負數(shù)沒有平方根。

③加入一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫a的立方根。3開立方的根指數(shù)。正

數(shù)、負數(shù)和零都能開立方，正數(shù)的立方根是正數(shù)；負數(shù)的立方根是負數(shù)；零的立

方根是零。

8、一元二次方程：對于方程：a*+8x+c=0：

①求根公式是*="±6-4",其中△=.2—4ac叫做根的判別式.

2a

當△>()時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；

當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根；

當△<()時，方程沒有實數(shù)根.注意：當△》()時，方程有實數(shù)根.

②若方程有兩個實數(shù)根長和小并且二次三項式a*+-+c可分解為a(x—%)(*—蒞).

③以a和8為根的一元二次方程是/-（a+8）x+ab=Q.

9、一次函數(shù)尸4x+b（4W0）的圖象是一條直線（6是直線與碎山的交點的縱坐標

即一次函數(shù)在諭上的截距）.當4>0時，展矛的增大而增大（直線從左向右上升）；

當Y0時，邦gx的增大而減小（直線從左向右下降）.特殊：當6=0時，y=kx（k

W0）又叫做正比例函數(shù)（y與x成正比例），圖象必過原點.

①直線的斜截式方程，簡稱斜截式：y=Ax+6（A#0）B（x2”）

②由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩點

y—y

y-kx+b-(tana)x+b=————x(x-x])+y]

③由直線在x軸和y軸上的截距確定的直線的截距

式方程，簡稱截距式：-+^=1

ab

④設(shè)兩條直線分別為，/.：y+4Z2：y=k2x+h2若/J/%,則有

/"/4=仁=內(nèi)且4X2。若.JU?O%?A2=-1

⑤點P（X。，％）到直線y=kx+b（即：kx-y+b=O）的距離：

,|5—九+4代不一%+同

（I―—-=---

k+（_i）27F+T

10、反比例函數(shù)y=：（ArO）的圖象叫做雙曲線.當A>0時，雙曲線在一、三象限

（在每一象限內(nèi)，從左向右降）；當女〈0時，雙曲線在二、四象限（在每一象限內(nèi)，從

左向右上升）.因此，它的增減性與一次函數(shù)相反.

11、統(tǒng)計初步：（1）概念：①所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一個

考察對象叫做個體.從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體

的數(shù)目叫做樣本容量.②在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（有時不止一個），叫

做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間的一個數(shù)（或兩

個數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

（2）公式：設(shè)有〃個數(shù)為，物…，X"那么:

①平均數(shù)為：……+”";

n

②極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用

這種方法得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值；

③方差：數(shù)據(jù)/、X,……，X"的方差為S2,則

S2=—[（%]—X）'+（%—X）-H---1-（x?—X）2]

n

標準差：方差的算術(shù)平方根.

數(shù)據(jù)匹、x...,X“的標準差S,則5=-元）2+（》2-元）2+…+（X.-元）2]

2Vn

一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定。

12、頻率與概率：（1）頻率=幽，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻

總數(shù)

率之和等于1,頻率分布直方圖中各個小長方形的面積為各組頻率。

（2）概率

①加入用P表示一個事件A發(fā)生的概率，則O〈P（A）W1；

P（必定事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事

件發(fā)生的概率。

③大量的重復(fù)實驗時頻率可視為事件發(fā)生概率的估計值;

13、銳角三角函數(shù)：①設(shè)//是RSABC的任一銳角，則//的正弦：sin4=

乙你）對邊N"的余弦：c°s4=‘^^'N"的正切：tan/=變”.并且sinZ

斜邊

+cosM=l.

OVsin/Vl,OVcos/Vl,tan/>0.N/越大，/Z的正弦和正切值越大，余弦值

反而越小.

②余角公式：sin(90°—A)=cosA,cos(90°—A)=sin4

③特殊角的三角函數(shù)值：sin0°=cos900=tan900=0,sin300=cos600=1,sin45

°=cos45o=孝，sin60°=cos30°=-y-?sin90°=cos00=1,tan30*^>^,tan45

°=1,tan60°=J3.______

I

④斜坡的坡度：j'=<u-lp-7.S=T-設(shè)坡角為a,則i=tana=^.

水平寬度11

14、平面直角坐標系中的有關(guān)知識：(1)對稱性：若直角坐標系內(nèi)一點P(a,力，

則P關(guān)于x軸對稱的點為P(a,-b),P關(guān)于y軸對稱的點為P2(―a,b),

關(guān)于原點對稱的點為P3(—a,~b).

(2)坐標平移：若直角坐標系內(nèi)一點P(a,b)向左平移力個單位，坐標變?yōu)镻

(a—h,b),向右平移力個單位，坐標變?yōu)镻(a+/?,b)；向上平移力個單位,

坐標變?yōu)镻(a,b+h),向下平移力個單位，坐標變?yōu)镻(a,b—h).如：點

A(2,-1)向上平移2個單位，再向右平移5個單位，則坐標變?yōu)锳(7,1).

15、二次函數(shù)的有關(guān)知識：1.定義：一般地，加入y="2+"+復(fù)4也。是常數(shù),

"0),那么y叫做x的二次函數(shù).

2.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①。的符號決定拋物線的開口

方向：當。>0時，開口向上；當"0時，開口向下；同相等，拋物線的開口

大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作x=6特殊地，y軸記作直線x=0.

幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標

y=ax-X=0(y軸)(0,0)

y-ax2+k當a>0時X=0(y軸)(0,k)

y=a(x-4開口向上x=h(A,0)

y=a(x-h)2+k當a<0時x=h(3k)

b

y=ax2+bx+c開口向下x=---(b4ac-b2、

la\，)

2a4a

4.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：

y-ax2+bx+c-x+—~頂點是~,對稱軸是直

2a）4a2a4a

線》=---.

2a

（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為丁=。（彳-/7）2+4的形式,

得到頂點為（3k）,對稱軸是直線X=/Z.

（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸

與拋物線的交點是頂點。若已知拋物線上兩點（M，y）、（z，y）（及y值相同），

則對稱軸方程可以表示為：x=止殳

2

5.拋物線y=or?+》x+c中，a,0,c的作用

（1）。決定開口方向及開口大小，這與y=a/中的a完全一樣.

（2）b和。共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=a%2+法+。的對稱軸是

直線

hh

x-----,故：①6=0時，對稱軸為y軸；②一>0（即a、b同號）時，對

2aa

稱軸在y軸左側(cè)；③（即。、b異號）時，對稱軸在y軸右側(cè).

a

（3）c的大小決定拋物線丁=以2+版+0與y軸交點的位置.

當x=0時，y=c,工拋物線y=?+"+c與y軸有且只有一個交點（0,

C）：

①c=0,拋物線經(jīng)過原點；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交

于負半軸.

以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則

a

6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：y=ax2+bx+c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常挑選一

般式.

(2)頂點式：y=a(x-h')2+k.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常挑選頂點式.

(3)交點式：已知圖像與x軸的交點坐標修、/，通常選用交點式：

y=a(x-X1)(x-々).

7.直線與拋物線的交點

(1)y軸與拋物線y=0?+〃x+c得交點為(0,c).

(2)拋物線與x軸的交點

二次函數(shù),=a—+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標X］、x2,是對應(yīng)一元

二次方程

o?+"+c=o的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方

程的根的判別式判定：

①有兩個交點o(A>0)o拋物線與x軸相交；

②有一個交點(頂點在x軸上)o(A=0)o拋物線與x軸相切；

③沒有交點=(△<())o拋物線與x軸相離.

(3)平行于x軸的直線與拋物線的交點

同(2)一樣可能有。個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點

的縱坐標相等，設(shè)縱坐

標為左，則橫坐標是ax?+以+。=人的兩個實數(shù)根.

(4)一次函數(shù)丁=履+〃(火/0)的圖像/與二次函數(shù)y=a/+Zu+c(aA0)的圖像G

「y=kx+n…

的交思由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組

y-ax+bx+c

不同的解時。/與G有兩個交點；②方

程組只有一組解時o/與G只有一個交點；③方程組無解時。/與G沒有交點.

（5）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y=+"+，與x軸兩交點為

4（孫0）,B（X2,O）,則Afi=k-xJ

16、多邊形內(nèi)角和公式：〃邊形的內(nèi)角和等于5—2）180。（“23,〃是正整數(shù)），

外角和等于360。

17、平行線分線段成比例定理：

比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)

①a：b=c：doad=bc②a：b=b：c<=>b2=ac

（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項或外項）

廠---（交換內(nèi)項）

cd

---=>J---（交換外項）

bdba

dh

I—=—（同時交換內(nèi)項和外項）

ca

（3）反比性質(zhì)（交換比的前項、后項）：-=4=^-=-

bdac

/“、人11,eeaca±hc±d

（4）合比性質(zhì)：一=—n----=----

bdbd

（5）等比性質(zhì)：

acem,,,.八、a+c+e+---+ma

—=—=—==—（b+d+f+---+n^O）=>---------------—

bdfnb+d+f+---+nb

黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中項，

叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=且二!?ABaO.

2

618AB

（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

如圖：a//b//c,直線Z與4分別與直線a、b、c相交與點小B、C

DEABDEBCEF

D、E、F,則有——

EF'ACDF'AC~DF

（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對

應(yīng)線段成比例。

如圖：△力比'中，DE//BC,DE與AB、〃'相交與點。、E,則有：

AD_AEAD_AE_DEDB_EC

*18、直角三角形中的射影定理：如圖：RtZU%中，N4==90",CDLAB^D,

則有：

AD

（1）CD2=AD-BD（2）AC2=ADAB（3）BC1=BDAB

19、圓的有關(guān)性質(zhì)：

（1）垂徑定理：加入一條直線具備以下五個性質(zhì)中的任意兩個性質(zhì)：①經(jīng)過圓心;

②垂直弦；③平分弦；④平分弦所正確的劣??；⑤平分弦所正確的優(yōu)弧，那么這條

直線就具有另外三個性質(zhì).注：具備①，③時，弦不能是直徑.（2）兩條平行弦

所夾的弧相等.（3）圓心角的度數(shù)等于它所正確的弧的度數(shù).（4）一條弧所正

確的圓周角等于它所正確的圓心角的一半.（5）圓周角等于它所正確的弧的度

數(shù)的一半.（6）同弧或等弧所正確的圓周角相等.（7）在同圓或等圓中，相等的圓

周角所正確的弧相等.（8）90。的圓周角所正確的弦是直徑，反之，直徑所正確

的圓周角是90°,直徑是最長的弦.（9）圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

20、三角形的內(nèi)心與外心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形

的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點.三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外

心.三角形的外心就是三邊中垂線的交點.

常見結(jié)論：（1）Rt^ABC的三條邊分別為：a、b、c（c為斜邊），則它的內(nèi)

切圓的半徑「=竺三；

2

（2）AABC的周長為/,面積為S,其內(nèi)切圓的半徑為r,則5=）「

2

*21、弦切角定理及其推論：

（1）弦切角：頂點在圓上，并且一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

如圖：/處。為弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。

A

加入4。是的弦，序是。。的切線，力為切點，則NPAC=!AC=，

22

推論：弦切角等于所夾弧所正確的圓周角（作用證明角相等）P

加入立是。。的弦，用是的切線，力為切點，則NB4C=NABC

*22、相交弦定理、割線定理、切割線定理：

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等。如圖①,

即：PA?PB=PC?PD

割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓交點的兩條線段長

的積相等。

如圖②，即：PA?PB=PC?PD

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩

條線段長的比例中項。如圖③，即：PC2=PA?PB

①②③

24、面積公式：

點

①S正△=7-X（邊長）2.

②S平行四邊形=底乂高.

5梯形=g（上底+下底）乂高=中位線x高

③s菱形=底乂高=1x（對角線的積），

④S圓=nR2.

⑤1圓周長=2nR.

n^R

⑥弧長L=I8O~.

&nnr21

（7）扇形-360r

⑧S圓柱側(cè)=底面周長X高=2Jirh,S全面積=$側(cè)+$底=2nrh+2“r2

⑨S圓錐側(cè)=Wx底面周長X母線=nrb,S全面積=5側(cè)+5底=nrb+nr2

點的軌跡

集合：

圓：圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；

圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；

圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合

軌跡：

1、到定點的距離等于定長的點的軌跡是：以定點為圓心，定長為半徑的

圓；

2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；

3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；

4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距

離等于定長的兩條直線;

5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直

線距離都相等的一條直線

三種位置關(guān)系

點與圓的位置關(guān)系

點在圓內(nèi)d<r點C在圓內(nèi)

點在圓上d=r點B在圓上

點在此圓外d>r點A在圓外

直線與圓的位置關(guān)系

?直線與圓相離d>r無交點

?直線與圓相切d=r有一個交點

有兩個交點

圓與圓的位置關(guān)系

?外離（圖1）無交點d>R+r

?外切（圖2）有一個交點d=R+r

?相交（圖3）有兩個交點R-r<d<R+r

?內(nèi)切（圖4）有一個交點d=R-r

?內(nèi)含（圖5）無交點d<R-r

圖4圖5

垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所正確的弧

推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并

且平分弦所正確的兩條?。?/p>

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所正

確的兩條??；

(3)平分弦所正確的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所

正確的另一條弧

以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中,只要知道其中

2個即可推出其它3個結(jié)論，即:

①AB是直徑②AB_LCD③CE=DE④弧BC=MBD

⑤弧AC=MAD

①②n③④⑤或①③=②④⑤或…?

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

即：在。0中，VAB/7CD

...弧AC=MBD

圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所正確的弦相等,

所正確的弧相等，弦心距相等

此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則

可以推出其它的3個結(jié)論

也即：①NAOB=NDOE②AB=DE③OC=OF

④弧AB=弧DE

①n②③④或②今①③④……

圓周角定理B\°\l

圓周角定理：同一條弧所正確的圓周角等于它所正確的圓心的角

的一半

即：???NAOB和NACB是所正確的圓心角和圓周角

，ZA0B=2ZACB

圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所正確的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所正確的

弧是等弧

即：在。0中，VZC,ND都是所正確的圓周角

.*.ZC=ZD

推論2：半圓或直徑所正確的圓周角是直角；圓周角是直角所正確

的弧是半圓，所正確的弦是直徑

即：在。0中，?..AB是直徑或???/C=90°

.*.ZC=90o，AB是直徑

推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是

直角三角形

即：在△ABC中，VOC=OA=OB

...△ABC是直角三角形或NC=90°

注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜

邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

弦切角定理

弦切角定理：弦切角等于所夾弧所正確的圓周角

推論：加入兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩

個弦切角也相等。

即：?；MN是切線，AB是弦

，NBAM=NBCA

圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角

等于它的內(nèi)對角。

即：在。0中，

?.?四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

ZC+ZBAD=180°B+ZD=180°

ZDAE=ZC

切線的性質(zhì)與判定定理

（1）判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線

兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：YMNLOA且MN過半徑0A外端

...MN是。。的切線

（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點

推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心

以上三個定理及推論也稱二推一定理:

即：①過圓心②過切點③垂直切線中知道其中兩個

條件推出最后一個條件

；MN是切線

AMN1OA

切線長定理

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線

長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

即：1?PA、PB是的兩條切線

.*.PA=PB

P0平分NBPA

相交弦定理

B

圓內(nèi)相交弦定理及其推論:

(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等

即：在。0中，?.,弦AB、CD相交于點P

，PA-PB=PC-PA

(2)推論：加入弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段

的比例中項。

即：在。0中，?.?直徑AB_LCD

，CE=DE=EA-EB

(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點

的兩條線段長的比例中項

即：在。0中，YPA是切線，PB是割線

.PA2=PC,PB

??

(4)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩

條線段長的積相等(如上圖)

即：在。0中，VPB,PE是割線

...PC?PB=PD?PE

兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：連心線垂直平分公共弦

即：VOOk002相交于A、B兩點

.,-0102垂直平分AB

圓的公切線

兩圓公切線長的計算公式：

(1)公切線長：在Rt40102C中，

AB2=CO：=

(2)外公切線長：C02是半徑之差；

內(nèi)公切線長：C02是半徑之和

圓內(nèi)正多邊形的計算

(1)正三角形

在。。中AABC是正三角形，有關(guān)計算在Rt^BOD中進行，6瓶？:0B=

(2)正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計算在Rt^OAE中進行，0占1：:份:0A=

(3)正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計算在Rt4OAB中進行，AB:例廊2

弧長、扇形面積公式

(1)弧長公式：/=竺4

180

(2)扇形面積公電=皿=_1笈

3602

側(cè)面展開圖

2

⑴圓柱側(cè)面展稱凰“+2S底2兀rh+2^r

(2)圓錐側(cè)面展開圖

2

S表=S側(cè)+5底3Rr+7rr

25初中幾何定理與性質(zhì)：

1過兩點有且只有一條直線

2兩點之間線段最短

3同角或等角的補角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8加入兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內(nèi)錯角相等，兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內(nèi)錯角相等

14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個銳角互余

19推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

20推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等

22邊角邊公理有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

23角邊角公理有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

24推論有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等25邊邊邊公理有三

邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

26斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°34等腰三角形的

判定定理加入一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所正確的邊也相等（等角對等

邊）

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，加入一個銳角等于30°那么它所正確的直角邊等于斜邊的一

半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2加入兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關(guān)于某直線對稱，加入它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點

在對稱軸上

45逆定理加入兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于

這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理加入三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a+b=c,那么這個三角

形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)X18O0

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半，即S=(aXb)4-2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平

分一組對角

71定理1關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心

平分

73逆定理加入兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這

兩個圖形關(guān)于這一點對稱

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理加入一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其

他直線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半L=(a+b)+

2S=LXh

83(1)比例的基本性質(zhì)加入a:b=c:d,那么ad=bc

加入ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性質(zhì)加入a/b=c/d,那么(a士b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性質(zhì)加入2介=<:/(1=?“=111/1103+(1+”?+11W0),那么

(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線

段成比例

88定理加入一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例，

那么這條直線平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊

與原三角形三邊對應(yīng)成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的

三角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似(ASA)

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似(SAS)

94判定定理3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似(SSS)

95定理加入一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一

條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于

相似比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角

的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角

的正切值

101圓是定點的距離等于定長的點的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一

條直線

109定理不在同一直線上的三個點確定一條直線

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所正確的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所正確的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所正確的兩條弧

③平分弦所正確的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所正確的另

一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所正確的弧相等，所正確的弦相等，所

正確的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，加入兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中

有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等

116定理一條弧所正確的圓周角等于它所正確的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所正確的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所正確的

弧也相等

118推論2半圓（或直徑）所正確的圓周角是直角；90°的圓周角所正確的弦是直

徑

119推論3加入三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角

形

120定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

121①直線L和。0相交d<r

②直線L和。0相切d=r

③直線L和。0相離d>r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點

的連線平分兩條切線的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧正確的圓周角

129推論加入兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

131推論加入弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比

例中項

132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的

兩條線段長的比例中項

133推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段

長的積相等

134加入兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

135①兩圓外離d>R+r②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)⑤兩圓內(nèi)含d<R-r(R>r)

136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137定理把圓分成n(n23):

⑴依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓

的外切正n邊形

138定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

139正n邊形的每個內(nèi)角都等于(n-2)X180°/n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141正n邊形的面積Sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長

142正三角形面積J3a/4a表示邊長

143加入在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為360°,因此

kX(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

144弧長計算公式：L=nriR/180

145扇形面積公式：S扇形=n!IR/360=LR/2

146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

26初中幾何常見輔助線作法歌訣匯編

人說幾何很困難，難點就在輔助線。

輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動對角線，補成三角形常見。

證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項一大片。

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線認真辨。

是直徑，成半圓,想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個內(nèi)接圓,內(nèi)角平分線夢圓。

加入遇到相交圓,不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切的兩圓,經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線,