人教A版必修第二冊(cè)841平面學(xué)案

8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀1.借助日常生活中的實(shí)物，在直觀熟識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的根底上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的概念．2．了解三個(gè)根本領(lǐng)實(shí)和可以確定平面的三個(gè)推論.1.通過日常生活中熟識(shí)的實(shí)物的直觀感覺，再借助平面幾何中對(duì)直線的理解，抽象出平面這個(gè)概念，培育數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．借助實(shí)物及生活閱歷，理解三個(gè)根本領(lǐng)實(shí)和三個(gè)推論．3．會(huì)用文字語言、幾何圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表示點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系.課前篇·自主梳理穩(wěn)固根底[筆記教材]學(xué)問點(diǎn)平面(1)平面幾何里的平面是無限延展的，平面內(nèi)有很多個(gè)點(diǎn)，平面可以看成點(diǎn)的集合，我們畫出來的只代表平面的一局部.(2)平面的畫法及表示①平面的畫法：我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面(如圖①)．平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍．假如一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮攔住，我們常把被遮擋局部用虛線畫出來(如圖②).②平面的表示：為了表示平面，我們常把希臘字母α，β，γ等寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱，如圖①可用平面α表示，也可以表示為平面ABCD、平面AC或者平面BD.名稱圖形文字語言符號(hào)語言根本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C不共線，A，B，C∈α?α是唯一的根本事實(shí)2假如一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α根本事實(shí)3假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且p∈l續(xù)表名稱圖形文字語言符號(hào)語言推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A?a?A和a確定一個(gè)平面α推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面a∩b＝P?有且只有一個(gè)平面α，使a?α，b?α推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面a∥b?有且只有一個(gè)平面α，使a?α，b?α[重點(diǎn)理解](1)平面是平的；(2)平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的.2.從集合的角度理解點(diǎn)、直線、平面(1)直線可以看成很多個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈〞或“?〞表示.(2)平面也可以看成點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈〞或“?〞表示.(3)直線和平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?〞或“?〞表示.(1)根本領(lǐng)實(shí)1意義：是在空間確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化是立體幾何中解決相當(dāng)一局部問題的主要的思想方法.作用：①確定平面；②證明點(diǎn)、線共面.(2)根本領(lǐng)實(shí)2意義：說明白平面與曲面的本質(zhì)區(qū)分．通過直線的“直〞來刻畫平面的“平〞，通過直線的“無限延長(zhǎng)〞來描述平面的“無限延展〞.作用：既是推斷直線是否在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法.利用根本領(lǐng)實(shí)1和根本領(lǐng)實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線〞，可推出不共線的三點(diǎn)，一條直線和這條直線外一點(diǎn)，兩條相交直線，兩條平行直線，都能唯一確定一個(gè)平面.(3)根本領(lǐng)實(shí)3意義：揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，供應(yīng)了確定兩個(gè)平面交線的方法.作用：①推斷兩個(gè)平面是否相交；②確定兩個(gè)平面的交線；③證明假設(shè)干點(diǎn)共線問題.[自我排查]1.以下說法正確的選項(xiàng)是()B.一個(gè)平面長(zhǎng)10m，寬5m答案：D解析：鏡面可以抽象成平面，但不是平面，所以選項(xiàng)A不正確；平面沒有大小，所以選項(xiàng)B和選項(xiàng)C都不正確．應(yīng)選D.MNPQ表示的平面不能記為()MN B.平面NQPα D.平面MNPQ答案：A解析：表示平面不能用一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)表示，但可以表示為平面MP.應(yīng)選A.3.三點(diǎn)可確定平面的個(gè)數(shù)是() B.1C.2 D.1或很多個(gè)答案：D解析：當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí)，可確定很多個(gè)平面；當(dāng)這三點(diǎn)不共線時(shí)，可確定一個(gè)平面．應(yīng)選D.4.“直線a經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P〞用符號(hào)表示為()A.P∈a，a∥α B.a∩α＝PC.P∈a，P?α D.P∈a，a?α答案：C解析：由于點(diǎn)P在平面α外，所以有P?α，又直線a經(jīng)過點(diǎn)P，所以P∈a.應(yīng)選C.α與平面β相交，點(diǎn)A，B既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi)，那么點(diǎn)A，B必在________.答案：α與β的交線上解析：設(shè)α∩β＝l，由于A，B∈α且A，B∈β，所以A，B∈l.課堂篇·重點(diǎn)難點(diǎn)研習(xí)突破研習(xí)1空間圖表的辨識(shí)問題[典例1]觀看以下圖的圖形，說明圖形中的不同之處.[解]圖中的圖形都是由九條線段構(gòu)成的圖形，形狀好像相像．認(rèn)真觀看，由于圖中的實(shí)、虛線的畫法不同，那么反映了不同的幾何體．A圖是一個(gè)簸箕形圖形；B圖和C圖都是三棱柱，只是B圖的正面是個(gè)大側(cè)面，C圖的正面是兩個(gè)小側(cè)面.[巧歸納]立體幾何圖中的虛線是看不見或被遮擋的局部，如上例中，假如B圖是從三棱柱的正面觀看，那么C圖那么可看作是從三棱柱的后面觀看.[練習(xí)1]下面的這些圖形是否標(biāo)準(zhǔn)，假如不標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)畫出正確的圖形來.解：正確圖形如圖(答案不唯一).研習(xí)2三種語言的相互轉(zhuǎn)化[典例2]用符號(hào)表示以下語句：(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，但在平面β外；(2)直線a經(jīng)過平面α外一點(diǎn)M；(3)直線a在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，即平面α和平面β交于直線a.[解](1)A∈α且A?β.(2)M?α，M∈a.(3)a?α，a?β，即α∩β＝a.[巧歸納]符號(hào)語言是立體幾何特有的表示法，要和集合對(duì)比起來學(xué)習(xí)，符號(hào)語言比擬簡(jiǎn)潔、嚴(yán)謹(jǐn)，有利于推理和計(jì)算，因此要能夠正確地使用表示點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系的符號(hào)語言.[練習(xí)2]用符號(hào)語言表示以下語句，并畫出圖形.(1)直線l經(jīng)過平面α內(nèi)兩點(diǎn)A，B；(2)直線l在平面α外，且過平面α內(nèi)一點(diǎn)P；(3)直線l是平面α與β的交線，平面α內(nèi)有一條直線m與l平行.解：(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l.如圖①.(2)l?α，P∈l，P∈α.如圖②.(3)α∩β＝l，m?α，m∥l.如圖③.①②③研習(xí)3共面問題[典例3]一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面.[證明]原題可設(shè)為：：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c，l共面.證法一：∵a∥b，∴直線a，b確定一個(gè)平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l?α.又∵a∥c，∴直線a，c確定一個(gè)平面β，同理，可證l?β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵過兩條相交直線a，l有且只有一個(gè)平面，故α與β重合，即直線a，b，c，l共面.證法二：由證法一得直線a，b，l共面α，也就是說直線b在直線a，l確定的平面α內(nèi)，同理，可證直線c在直線a，l確定的平面α內(nèi).∵過直線a和直線l只能確定一個(gè)平面，∴直線a，b，c，l共面.[巧歸納]先將和求證改寫成符號(hào)語言．要證明多線共面，一種方法是先由a，b確定一個(gè)平面，由根本性質(zhì)1證明c，l也在此平面內(nèi)；另一種方法是先由a，b確定一個(gè)平面，c，l確定另一個(gè)平面，再證兩個(gè)平面重合.[練習(xí)3]一條直線和這條直線外不在同始終線上的三點(diǎn)，可以確定幾個(gè)平面？解：設(shè)直線l，又設(shè)l外不共線的三點(diǎn)為A，B，C.①假設(shè)A，B，C中任何兩點(diǎn)與直線l不共面，那么可以確定4個(gè)平面，其中不共線的三點(diǎn)A，B，C確定了一個(gè)平面，其次直線l分別與l外的點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C確定了三個(gè)平面，故確定了四個(gè)不同的平面；②假設(shè)其中有兩個(gè)點(diǎn)與直線l共面．不妨設(shè)A，B兩點(diǎn)與l共面，那么可以確定3個(gè)平面，其中不共線的三點(diǎn)A，B，C確定了一個(gè)平面，其次直線l與A，B兩點(diǎn)確定一個(gè)平面，直線l又與點(diǎn)C確定一個(gè)，故確定了三個(gè)不同的平面；③A，B，C三點(diǎn)與直線l同在一個(gè)平面內(nèi)，那么可以確定一個(gè)平面.所以過一條直線和直線外不在同始終線上的三點(diǎn)，可以確定4個(gè)、3個(gè)或1個(gè)平面.研習(xí)4共線問題[典例4]如下圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面α內(nèi)，它的三邊AB，BC，AC延長(zhǎng)后分別交平面α于點(diǎn)P，Q，R.求證：點(diǎn)P，Q，R三點(diǎn)共線.[證明]由AB的延長(zhǎng)線交平面α于點(diǎn)P，平面ABC與平面α必相交于一條直線，設(shè)為l.由于P∈直線AB，所以P∈平面ABC.又直線AB∩平面α＝P，所以P∈平面α，所以P是平面ABC與平面α的公共點(diǎn).由于平面ABC∩平面α＝l，所以P∈l.同理，Q∈l，R∈l.所以點(diǎn)P，Q，R三點(diǎn)共線.[巧歸納]要證明P，Q，R三點(diǎn)共線，只需證明P，Q，R三點(diǎn)在平面α和平面ABC的交線上，可先用任意兩點(diǎn)確定交線所對(duì)應(yīng)的直線，再證明第三點(diǎn)在該直線上，此題表達(dá)了空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想和方法.[練習(xí)4]E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接，且連接點(diǎn)不在同一平面內(nèi)所組成的空間圖形，叫做空間四邊形)各邊AB，AD，CB，CD上的點(diǎn)，且直線EF和HG交于點(diǎn)P，如下圖．求證：點(diǎn)B，D，P三點(diǎn)共線.證明：由于直線EF∩直線HG＝P，所以P∈直線EF，而EF?平面ABD，所以P∈平面ABD.同理，P∈平面CBD，即點(diǎn)P是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn).由于點(diǎn)B，D也是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn)，那么點(diǎn)B，D，P都在平面ABD和平面CBD的交線上.因此點(diǎn)B，D，P三點(diǎn)共線.研習(xí)5共點(diǎn)問題[典例5]三個(gè)平面兩兩相交得到三條交線，假如其中有兩條相交于一點(diǎn)，證明第三條也經(jīng)過這個(gè)點(diǎn).[解]原題可設(shè)為：：平面α，β，γ滿意α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，a∩b＝A，如下圖．求證：A∈c.證明：由于a∩b＝A，所以A∈a，A∈b.又α∩β＝a，β∩γ＝b，所以a?α，b?γ，所以A∈α，A∈γ，所以A在α與γ的交線c上，即A∈c.[巧歸納]多線共點(diǎn)問題，一般方法是先由兩點(diǎn)確定一條直線，再推斷其他點(diǎn)在此直線上，但是切記要先找到(或作出)確定的那一條直線是哪兩個(gè)平面的交線.[練習(xí)5]假設(shè)△ABC所在的平面和△A1B1C1所在的平面相交，并且直線AA1，BB1，CC1相交于一點(diǎn)O.求證：AB和A1B1，BC和B1C1，AC和A1C1分別在同一個(gè)平面內(nèi).證明：∵AA1∩BB1＝O，∴AA1與BB1確定平面ABO，∴AB?平面ABO，A1B1?平面ABO，∴AB與A，B共面.同理，可證，BC和B1C1在平面BCO中，AC和A1C1在平面ACO中.綜上可知，命題得證.課后篇·根底達(dá)標(biāo)延長(zhǎng)閱讀1.(多項(xiàng)選擇)給出以下命題，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()α與平面β相交，那么它們只有有限個(gè)公共點(diǎn)D.假如兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面就重合為一個(gè)平面答案：ABC解析：A中，假設(shè)α∩β＝a，那么直線a上的全部點(diǎn)都是平面α，β的公共點(diǎn)，有無窮多個(gè)；B中，兩個(gè)平面的交線為一條直線；C中，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，過三點(diǎn)的平面有無窮多個(gè).2.如下圖，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D與B，C分別在平面α的兩側(cè)，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.證明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可確定一個(gè)平面，設(shè)為β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴AC?β，BD?β，平面α，β相交.∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三點(diǎn)是平面α與平面β的公共點(diǎn).∴P，Q，R都在平面α與平面β的交線上，故P，Q，R三點(diǎn)共線.3.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CC1和AA1的中點(diǎn)，請(qǐng)你畫出平面BED1F與平面ABCD的交線，并說明理由.解：畫法：如圖，延長(zhǎng)D1F，使D1F與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連接BG，那么BG為平面ABCD與平面BED1F的交線．理由如下：在平面ADD1A1中，由于AF∥DD1，且AF＝eq\f(1,2)DD1，可知D1F與DA延長(zhǎng)后應(yīng)交于一點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)G，即有D1F∩DA＝G.∵D1F?平面BED1F，G∈D1F，∴G∈平面BED1F.又∵DA?平面ABCD，又G∈DA，∴G∈平面ABCD.∴點(diǎn)G是平面ABCD與平面BED1F的公共點(diǎn)，即點(diǎn)G在兩個(gè)平面的交線上，從而可知直線BG是平面ABCD與平面BED1F的交線.[方法技巧]分類爭(zhēng)論思想在立體幾何中的應(yīng)用分類爭(zhēng)論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它適用于從整體上難以解決的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用分類爭(zhēng)論來解決問題時(shí)，必需遵循不重不漏和最簡(jiǎn)的原那么，證明線共面時(shí)，要對(duì)全部情形逐一爭(zhēng)論，最終歸納總結(jié)得出結(jié)論.[例如]兩兩相交的四條直線a，b，c，d能夠確定幾個(gè)平面？[思路分析]分四線共點(diǎn)、三線共點(diǎn)、無三線共點(diǎn)的三種情形爭(zhēng)論.[解](1)當(dāng)四條直線a，b，c，d相交于一點(diǎn)時(shí)，能確定1個(gè)平面或4個(gè)平面或6個(gè)平面.(2)當(dāng)四條直線a，b，c，d不共點(diǎn)時(shí)，有兩種情形：①當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)a，b，c相交于一點(diǎn)A，但A?d，如圖①所示.∴直線d和A確定1個(gè)平面α.又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G，那么A，E，F(xiàn)，G∈α，∵A，E∈α，A，E∈a，∴a?α.