高中數(shù)學(xué)人教高中第三章空間向量與立體幾何《微專題立體幾何解答題的“建系求點(diǎn)”問題》

立體幾何位置關(guān)系度量關(guān)系方法幾何法向量法關(guān)系復(fù)習(xí)回顧

空間角圖形空間角與向量夾角關(guān)系線線角線面角二面角復(fù)習(xí)回顧立體幾何向量法的解題流程是：

復(fù)習(xí)回顧提出問題

使用空間向量解決立體幾何問題，說是向量運(yùn)算，不如說是點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算，所以“建系求點(diǎn)”就顯得尤為重要！

如何恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系？

如何有的放矢、化解自如？

如何快速寫出需要的點(diǎn)坐標(biāo)？核心問題：

解決立體幾何解答題的“建系求點(diǎn)”問題，歸納其一般方法。例1

已知直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB為直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，試建立空間直角坐標(biāo)系．解決問題活動一

例2

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，且邊長為2a，棱PD⊥底面ABCD，PD＝2b，取各側(cè)棱的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，試建立空間直角坐標(biāo)系．找“墻角”建系方法2：利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動一8找“墻角”建系方法2：利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動一造“墻角”建系方法2：利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動一造“墻角”建系方法2：利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動一

例3

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．點(diǎn)P、H分別是線段VC、AD的中點(diǎn)．試建立空間直角坐標(biāo)系..造“墻角”建系方法3：利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動一造“墻角”建系方法3：利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動一找“墻角”建系方法3：利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動一例4已知正四棱錐V－ABCD中，E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長為2a，高為h．試建立空間直角坐標(biāo)系.造“墻角”建系方法4：利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（或者是利用頂點(diǎn)和頂點(diǎn)在底面投影點(diǎn)所在直線構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系活動一造“墻角”建系方法4：利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（或者是利用頂點(diǎn)和頂點(diǎn)在底面投影點(diǎn)所在直線構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系活動一空間直角坐標(biāo)系的建立：1.軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即軸要與坐標(biāo)平面垂直，在幾何體中也是很直觀的。2.軸的選?。捍藶樽鴺?biāo)是否易于寫出的關(guān)鍵，有這么幾個原則值得參考：（1）盡可能的讓底面上更多的點(diǎn)位于軸上（2）找角：軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件（3）找對稱關(guān)系：尋找底面上的點(diǎn)能否存在軸對稱特點(diǎn)3.常用的空間直角坐標(biāo)系滿足軸成右手系，所以在標(biāo)軸時要注意。反思提升4.同一個幾何體可以有不同的建系方法，其坐標(biāo)也會對應(yīng)不同。但是通過坐標(biāo)所得到的結(jié)論（位置關(guān)系，角）是一致的。5.解答題中，在建立空間直角坐標(biāo)系之前，要先證明所用坐標(biāo)軸為兩兩垂直（即一個線面垂直底面兩條線垂直），這個過程不能省略。

6.與垂直相關(guān)的定理與結(jié)論：(1)線面垂直：①如果一條直線與一個平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直②兩條平行線，如果其中一條與一個平面垂直，那么另外一條也與這個平面垂直③兩個平面垂直，則其中一個平面上垂直交線的直線與另一個平面垂直④直棱柱：側(cè)棱與底面垂直(2)線線垂直（相交垂直）①正方形，矩形，直角梯形②等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（三線合一）③菱形的對角線相互垂直④勾股定理⑤三垂線定理及其逆定理反思提升

向量法求解立體幾何問題的第一步是恰當(dāng)建系，其次就是正確快速求解點(diǎn)坐標(biāo)。接下來，通過典型例題以求能突破在空間直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)坐標(biāo)難的問題?；顒佣淅?/p>

在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn)，設(shè)△AB1D1的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(1)A1、B1、A、D1；(2)G;(3)B;(4)若N為DD1上點(diǎn)，且ON⊥DD1寫出N坐標(biāo)。ABCDB1C1D1A1O求點(diǎn)坐標(biāo)的方法活動二典例

在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn)，設(shè)△AB1D1的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(1)A1、B1、A、D1；(2)G;(1)A1

(2,-2,0)

、B1

(2,2,0)、D1

(0,-2,0)

、A(2,0,)(2)射影法公式法yzxABCDB1C1D1A1O求點(diǎn)坐標(biāo)的方法：射影法、公式法、向量法活動二向量法典例

在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn)，設(shè)△AB1D1的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(3)B;ABCDB1C1D1A1Oyzx向量法求點(diǎn)坐標(biāo)的方法：射影法、公式法、向量法活動二射影法典例

在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn).(4)若N為DD1上點(diǎn)，且ON⊥DD1寫出N坐標(biāo)。ABCDB1C1D1A1OyzxN解:(4)∵

三點(diǎn)共線，可設(shè)即,

∵故向量法點(diǎn)P的位置原點(diǎn)Ox軸上Ay軸上Bz軸上C坐標(biāo)形式點(diǎn)P的位置xOy面內(nèi)DyOz面內(nèi)EzOx面內(nèi)F坐標(biāo)形式zx?Oy111?A?D?C?B?E?F(0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)點(diǎn)坐標(biāo)的求解：建系之后要能夠快速準(zhǔn)確的寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，按照特點(diǎn)可以分為三大方法：1.投影法(1)能夠直接寫出坐標(biāo)的點(diǎn)：①坐標(biāo)軸上的點(diǎn)②底面上的點(diǎn)反思提升求空間直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)的方法

(2)空間中在底面投影為特殊位置的點(diǎn)：如果在底面的投影為，那么（即點(diǎn)與投影點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同）由這條規(guī)律出發(fā)，在寫空間中的點(diǎn)坐標(biāo)時，可看一下在底面的投影點(diǎn)，坐標(biāo)是否好寫。如果可以則直接確定了橫縱坐標(biāo)，而豎坐標(biāo)為該點(diǎn)到底面的距離。反思提升2.公式法利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形的重心坐標(biāo)公式、距離公式、夾角公式等求出點(diǎn)的坐標(biāo).

利用向量相等、垂直、共線等向量運(yùn)算求出點(diǎn)坐標(biāo).向量坐標(biāo)化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可以求出一些位置不好的點(diǎn)的坐標(biāo)，尤其動點(diǎn)問題.反思提升3.向量法運(yùn)用反饋想證算

向量坐標(biāo)運(yùn)算作為一種工具，在解決立體幾何問題中有著無比的優(yōu)越性．將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的運(yùn)算，這與把空間圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面圖形關(guān)系的傳統(tǒng)解法相比，顯然是更高的思維方式，它抓住了空間的主要特征和其內(nèi)在規(guī)律，使“紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序”.1.如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn).求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.目標(biāo)檢測解取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，設(shè)n＝(x，y，z)為平面PMN的法向量，則2.如圖所示，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求證：平面O1DC⊥平面ABCD；

(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，問點(diǎn)F在何處時，EF⊥AD?目標(biāo)檢測證明如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)OA＝1，OA1＝a.則A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，O1(－1,0，a).設(shè)m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分別是平面O1DC和平面ABCD的法向量.故m·n＝0，即平面O1DC與平面ABCD的法向量垂直，故平面O1DC⊥平面ABCD.(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，問點(diǎn)F在何處時，EF⊥AD?故當(dāng)F為BC的三等分點(diǎn)(靠近B)時，有EF⊥AD.點(diǎn)評依托于平行六面體的高所在直線與底面正方形的兩對角線便可建立空間直角坐標(biāo)系.空間直角坐標(biāo)系的建立，要盡量地使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣建成的坐標(biāo)系，既能迅速寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，又由于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)含有0，也為后續(xù)的運(yùn)算帶來了方便.3.在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB＝2，AA1＝

，D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且OC⊥平面ABB1A1.(1)證明：BC⊥AB1；

又∠ABD，∠AB1B為三角形的內(nèi)角，故∠ABD＝∠AB1B，又CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，所以AB1⊥CO，因?yàn)锽D∩CO＝O，BD，CO?平面CBD，所以AB1⊥平面CBD，又BC?平面CBD，所以AB1⊥BC.3.在三棱柱ABC－A1B1