高中步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計黑教版數(shù)學(xué)必修第三章空間向量與立體幾何直線與平面垂直的判定 -

生活中有很多直線與平面垂直的實例，你能舉出幾個嗎？實例引入旗桿與底面垂直思考1.陽光下直立于地面的旗桿及它在地面的影子有何位置關(guān)系.ABα1.旗桿所在的直線始終與影子所在的直線垂直.

如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直，記作．平面的垂線直線l的垂面垂足定義直線與平面垂直對定義的認(rèn)識①“任何”表示所有.②直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，在垂直時，直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足.③

等價于對任意的直線，都有利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì).問題直線與平面垂直

除定義外，如何判斷一條直線與平面垂直呢？請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一起來做如圖所示的試驗：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌上（BD、DC與桌面接觸）.ABCDBDCABD,CD都在桌面內(nèi)，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,直線AD所在的直線與桌面垂直mnP判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．作用：判定直線與平面垂直．直線與平面垂直判定定理簡記為：線線垂直線面垂直“平面內(nèi)”，“相交”，“垂直”三個條件必不可少例2:如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC,PB=PD.求證：PO⊥平面ABCDCABDOP

=ABCDPOOBDAC平面又^\IQBDPOBDOPDPB的中點(diǎn)是點(diǎn)又^\=Q,ACPOACOPCPA的中點(diǎn)是點(diǎn)證明^\=Q,VABC.D練習(xí)：提示：找AC中點(diǎn)D,連接VD,BD如圖，在三棱錐V-ABC,VA=VC,AB=BC求證:VB⊥AC.PABCO例3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓O的直徑，C在圓周上,且PAAC,PAAB,求證：（1）PABC

（2）BC平面PAC證明：∵PA⊥⊙O所在平面，BC?⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O直徑，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又AE?平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.

例4：如圖6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB為⊙O直徑，C是圓周上任一點(diǎn)，過A作AE⊥PC于E，求證：AE⊥平面PBC.知識小結(jié)：直線與平面垂直的判定定義法間接法直接法

如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面。

如果一條直線垂于一個平面內(nèi)的任何一條直線此直線垂直于這個平面判定定理如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么此直線垂直于這個平面。（1）（2）數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想空間問題平面問題oPAα

一條直線PA和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫這個平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫斜足(A)，斜線上一點(diǎn)和斜足間的線段叫這點(diǎn)到這個平面的斜線段．

平面外一點(diǎn)到這個平面的垂線段有且只有一條，而這點(diǎn)到這個平面的斜線段有無數(shù)條斜線與斜線段

從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫斜線在這個平面內(nèi)的射影．垂足和斜足間的線段叫這點(diǎn)到平面的斜線段在這個平面上的射影斜線在平面內(nèi)的射影

平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的夾角，叫做斜線和平面所成的角

(或斜線和平面的夾角).簡稱線面角斜線和平面所成的角斜線和平面所成的角1、直線和平面垂直<＝>直線和平面所成的角是直角直線和平面平行或在平面內(nèi)<＝>直線和平面所成的角是0°2、直線與平面所成的角θ的取值范圍是：斜線與平面所成的角θ的取值范圍是：OPAα斜線PA斜足A線面所成角（銳角∠PAO）射影AO關(guān)鍵：過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線線面所成的角1.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB典型例題例2、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角O例2：如圖

4，在正方體ABCD－A1B1C1D1

中，求A1B與平面A1B1CD所成的角．圖4解：連接BC1交B1C于O，連接A1O，在正方體ABCD－A1B1C1D1

中各個面為正方形，設(shè)其棱長為a.?A1O為A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影?∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．?A1B與平面A1B1CD所成的角為30°.

求直線和平面所成的角時，應(yīng)注意的問題是：(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系．(2)當(dāng)直線和平面斜交時，常有以下步驟：①作——作出或找到斜線與射影所成的角；②證——論證所作或找到的角為所求的角；③算——常用解三角形的方法求角；④結(jié)論——說明斜線和平面所成的角值．圖5

2－1.如圖5，在長方體ABCD－A1B1C1D1

中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1

與平面A1B1C1D1

所成角的正弦值為(

)A2－2.若斜線段AB是它在平面α內(nèi)的射影長的2倍，則AB與α所成的角為()A．60°B．45°C．30°D．120°答案：D

解析：如圖22，連接A1C1

，則∠AC1A1

為AC1

與平面A1B1C1D1

所成角．圖