一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法

第三章電路的暫態(tài)分析2021/5/91第3章電路的暫態(tài)分析

第一章討論電路的基本概念和基本定律。

如：電路模型、電壓和電流的參考方向、基爾霍夫定律、電源的工作狀態(tài)及電路中電位的計(jì)算等。這些內(nèi)容是分析與計(jì)算電路的基礎(chǔ)。

第二章介紹幾種常用的電路分析方法。

有：支路電流法、節(jié)點(diǎn)電位法、實(shí)際電源模型的等效變換、疊加原理、和戴維寧定理。第三章討論直流一階電路的暫態(tài)分析。

介紹：用“三要素法”分析暫態(tài)過程。2021/5/92直流一階電路暫態(tài)過程的求解方法：1.經(jīng)典法:根據(jù)激勵(lì)(電源電壓或電流)，通過求解電路的微分方程得出電路的響應(yīng)(電壓和電流)。2.三要素法初始值穩(wěn)態(tài)值時(shí)間常數(shù)求：（三要素）描述電路的方程是一階微分方程，僅含一個(gè)儲(chǔ)能元件或可等效為一個(gè)儲(chǔ)能元件的線性電路。一階電路：求解方法：2021/5/933.1儲(chǔ)能元件和換路定則3.2一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法第3章

電路的暫態(tài)分析2021/5/94穩(wěn)態(tài)：是指電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)一定時(shí)，電路中電壓、電流恒定

或周期性變化。換路：指電路接通、斷開或結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生變化。

先討論暫態(tài)過程產(chǎn)生的原因---動(dòng)態(tài)元件、換路定律。后討論暫態(tài)過程中電壓、電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。暫態(tài)：電路從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)所經(jīng)過的過渡

狀態(tài)。3.1儲(chǔ)能元件和換路定則動(dòng)態(tài)元件:是指在電容元件和電感元件的電壓和電流約束關(guān)系是通過導(dǎo)數(shù)或積分來表達(dá)的。換路發(fā)生很長(zhǎng)時(shí)間后重新達(dá)到穩(wěn)態(tài)。2021/5/95iL(0+)=iL(0–)uC(0+)=uC(0–)

含有儲(chǔ)能元件的電路，在換路瞬間儲(chǔ)能元件的能量不能躍變，即：換路瞬間：設(shè)為t=0。換路前終了瞬間：以t=0–表示。換路后初始瞬間：以t=0+表示。換路定則：3.1儲(chǔ)能元件和換路定則電感元件的儲(chǔ)能不能躍變電容元件的儲(chǔ)能不能躍變狀態(tài)變量iL、uC在直流電路換路瞬間，電容電壓保持不變，電感電流保持不變。獨(dú)立初始值iL(0+)、uC(0+)2021/5/96【例3.1】設(shè)：開關(guān)S閉合前L元件和C元件均未儲(chǔ)能。

試：確定S閉合后電路中各電流與電壓的初始值。解：由t=0-的電路得：4R3+—U6Vt=02SR1R24uCC+－+—iCiL

t=0-iLuLuC(0+)=0iL(0+)=0uC(0-)=0iL(0-)=0電容元件短路。電感元件開路由換路定則得：則：畫出t=0+時(shí)的等效電路獨(dú)立初始值2021/5/97由t=0+的等效電阻電路+—UR1i+—uLiLR2

R3uC+—iC(0+)

t=0+求出各獨(dú)立初始值246V(0+)(0+)(0+)(0+)2021/5/983.2電路的暫態(tài)分析1.零狀態(tài)響應(yīng)2.零輸入響應(yīng)3.全響應(yīng)

換路前動(dòng)態(tài)元件未儲(chǔ)存能量，即uc（0-）=0或iL(0-)=0，換路時(shí)，由電源激勵(lì)所產(chǎn)生的電路響應(yīng)。換路前動(dòng)態(tài)元件已儲(chǔ)存能量，換路時(shí)，無電源激勵(lì)，輸入信號(hào)為零

。由初始儲(chǔ)能引起的的電路響應(yīng)。

指電源激勵(lì)和動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能引起的均不為零時(shí)的電路響應(yīng)。

即：是零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)兩者的疊加。充電儲(chǔ)能過程。放電釋能過程。2021/5/99Rt=0–

+U12–

+uR–

+uLiL

電感初始儲(chǔ)能為零，電路響應(yīng)僅由外加電源引起，為RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)。S若S在2位置時(shí)，在t=0時(shí)將開關(guān)S合到1的位置。

電路中外加激勵(lì)為零，電路的響應(yīng)是由電感的初始儲(chǔ)能引起的，故為RL電路的零輸入響應(yīng)。電路的暫態(tài)分析若S在1位置時(shí)，在t=0時(shí)將開關(guān)S合到2的位置。2021/5/910USCRt=0–

+12–

+uR–

+uCit≥

0時(shí)電路的微分方程為：

設(shè):S在2位置時(shí)C已放電完畢，在t=0時(shí)將開關(guān)S合到1的位置。⒈RC電路零狀態(tài)響應(yīng)充電儲(chǔ)能過程根據(jù)KVL通解=特解+補(bǔ)函數(shù)特解取換路后的穩(wěn)態(tài)值，即補(bǔ)函數(shù)是齊次微分方程形式為：的通解一、零狀態(tài)響應(yīng)2021/5/911SCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCiuC零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：τ時(shí)間常數(shù)--S推導(dǎo)整理得：tuCU0u0.632U零狀態(tài)響應(yīng)曲線τ物理意義:決定電路暫態(tài)過程變化的快慢。當(dāng)t=τ時(shí)是電壓uc增長(zhǎng)到穩(wěn)態(tài)值U的63.2％所需的時(shí)間。穩(wěn)態(tài)+暫態(tài)2021/5/912

2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)Rt=0–

+U12–

+uR–

+uLiL根據(jù)KVLt0時(shí)電路微分方程為:

S推導(dǎo)整理得：通解=特解+補(bǔ)函數(shù)uC零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：τ時(shí)間常數(shù)--S2021/5/913

此時(shí)，通過電感的電流iL由初始值I0向穩(wěn)態(tài)值零衰減，其隨時(shí)間變化表達(dá)式為：Rt=0–

+U2–

+uR–

+uLiLS1iL零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：ti0i零狀態(tài)響應(yīng)曲線UR穩(wěn)態(tài)+暫態(tài)2021/5/914[小結(jié)]2）達(dá)穩(wěn)態(tài)值的快慢取決于時(shí)間常數(shù)。（=RC或=GL）3）當(dāng)直流動(dòng)態(tài)電路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)于開路,電感相當(dāng)于短路。其等效電路為電阻性電路。

4）零狀態(tài)線性：當(dāng)輸入增大倍，其零狀態(tài)響應(yīng)也增大倍。

1）直流一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)中，所有支路電壓、電流均從初始值開始按相同的指數(shù)規(guī)律變化，最后達(dá)穩(wěn)態(tài)值。2021/5/915代入上式得換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)

t=0時(shí)開關(guān),電容C經(jīng)電阻R放電一階線性常系數(shù)齊次微分方程列

KVL方程：放電過程1.

RC電路零輸入響應(yīng)+-SRU21+–+–二、零輸入響應(yīng)

2021/5/916

uC零輸入響應(yīng)表達(dá)式：推導(dǎo)整理得：uC零輸入響應(yīng)曲線0uUt時(shí)間常數(shù)

=RC當(dāng)t=

時(shí)，uC=

36.8%

U

uC從初始值按指數(shù)規(guī)律衰減快慢由=

R

C

決定。0.368U2021/5/917i零輸入響應(yīng)曲線0iI0t0.368I0時(shí)間常數(shù)

=L/R當(dāng)t=

時(shí)，iL=36.8%I0

。

電路中

uR和uL可根據(jù)電阻和電感元件兩端的電壓電流關(guān)系確定。

iL零輸入響應(yīng)表達(dá)式：同理可推導(dǎo)：2021/5/918tii0i時(shí)間常數(shù)

=L/R當(dāng)t=時(shí)，uC=63.2%U。0.632U/R零狀態(tài)響應(yīng)曲線零輸入響應(yīng)曲線0iI0t0.368I0時(shí)間常數(shù)

=L/R當(dāng)t=

時(shí)，uC=36.8%U0

。UR

電路中

uR和uL可根據(jù)電阻和電感元件兩端的電壓電流伏安特性關(guān)系確定。2021/5/919當(dāng)

t=5

時(shí)，過渡過程基本結(jié)束，uC達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。暫態(tài)時(shí)間：理論上認(rèn)為、電路達(dá)穩(wěn)態(tài)。工程上認(rèn)為~電容放電基本結(jié)束。

t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U隨時(shí)間而衰減2021/5/920小結(jié)：4.一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。1.一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)

RC電路

=RC

,RL電路

=L/R3.同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)。2021/5/9213.全響應(yīng)1.uC

的變化規(guī)律全響應(yīng):

電源激勵(lì)和儲(chǔ)能元件的初始能量均不為零時(shí)，電路中的響應(yīng)。根據(jù)疊加定理：

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)R1–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0S2021/5/922穩(wěn)態(tài)分量零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)暫態(tài)分量【結(jié)論2】

全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量全響應(yīng)

【結(jié)論1】

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值初始值2021/5/923狀態(tài)變量的三要素uC(0+)uC()=RCiL(0+)iL()=GL設(shè)：動(dòng)態(tài)電路中任一支路電壓(或電流)為f(t)則：f(0+)——待求響應(yīng)的初始值f()——待求響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值

——待求響應(yīng)的時(shí)間常數(shù)任意變量f(t)的三要素可以證明：f(t)完全由此三要素決定。即：含源電阻網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)元件R0CR0L三要素法2021/5/924

在求得

的基礎(chǔ)上,可直接寫出電路的響應(yīng)(電壓或電流)

對(duì)于任何形式的直流一階電路，求解暫態(tài)過程中任一電壓、電流的響應(yīng)，可用通用表達(dá)式：【三要素法】穩(wěn)態(tài)值初始值時(shí)間常數(shù)穩(wěn)態(tài)值

f(0+)、f()和

2021/5/925三要素法求解暫態(tài)過程的要點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)1)求初始值、穩(wěn)態(tài)值、時(shí)間常數(shù)；3)畫出暫態(tài)電路電壓、電流隨時(shí)間變化的曲線。2)將求得的三要素結(jié)果代入暫態(tài)過程通用表達(dá)式；tf(t)O【例】2021/5/926

求換路后穩(wěn)態(tài)電路中的電壓和電流。即求解直流電阻性電路中的電壓和電流。【ic()=0、uL()=0】(1)穩(wěn)態(tài)值的計(jì)算響應(yīng)中“三要素”的確定例：uC+-t=0C10V5k1

FS5k+-t=03666mAS1H畫換路后t=的等效電路（電容C視為開路,電感L視為短路）。

在t=的等效電路中，利用兩類約束求各穩(wěn)態(tài)值。2021/5/927

1)

由t=0-等效電路求2)根據(jù)換路定則求出獨(dú)立初始值3)畫t=0+時(shí)等效電阻電路，求所需非獨(dú)立初始值量或在換路瞬間t=(0+)的等效電路中：電容元件視為短路。其值等于(1)

若電容元件用恒壓源代替，其值等于I0,,電感元件視為開路。(2)

若

,電感元件用恒流源代替，注意：(2)初始值的計(jì)算

先畫換路前t=0-穩(wěn)態(tài)等效電路再畫換路后t=0+時(shí)刻等效電路2021/5/928

1)

簡(jiǎn)單的一階電路，R0=R;

2)復(fù)雜的一階電路，R0為換路后的電路除去電源和儲(chǔ)能元件后，在儲(chǔ)能元件兩端所求得的無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。3)時(shí)間常數(shù)

的計(jì)算對(duì)于一階RC電路對(duì)于一階RL電路注意：類似于應(yīng)用戴維寧定理解題時(shí)，等效電阻的方法2021/5/929R0U0+-CR0R0的計(jì)算：從儲(chǔ)能元件兩端看進(jìn)去的等效電阻。R1R2R3R1U+-t=0CR2R3S除去電源和除儲(chǔ)能元件2021/5/930[例]在下圖中，已知U1=3V，U2=+6V，R1=1k

，R2=2k，C=3F，t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t≥0時(shí)的uC(t),并畫出變化曲線。

uC(0+)、uC()和

R2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+則：電容相當(dāng)于開路。2t=0S[解]先確定三要素因：t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)，當(dāng)t＞0電路處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，2021/5/931R2–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1[例]在下圖中，已知U1=3V，U2=+6V，R1=1k

，R2=2k