三重積分計(jì)算法

節(jié)三重積分的計(jì)算法

一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分三、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分2021/5/91

可以用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)來計(jì)算.計(jì)算方法是將三重積分化為三次積分.

三重積分2021/5/92一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分用平行于坐標(biāo)面的平面族：去分割積分區(qū)域除邊界外每個(gè)小塊都是一個(gè)長方形，于是得到體積元素2021/5/93設(shè)如圖,將向xoy面投影，得,以的邊界為準(zhǔn)線母線平行于z軸的柱面把分為下上兩個(gè)邊界：于是2021/5/94則積分區(qū)域可表示為(先一后二）2021/5/95根據(jù)D是X型域或Y型域確定二重積分的積分限，就得到三重積分公式.若D為X型域，則有這是先對z，次對y，最后對x的三次積分2021/5/96例1

計(jì)算,其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x＋2y＋z＝1所圍成的區(qū)域。

解

在xoy面上的投影為若

看成X型域，則2021/5/972021/5/98例2

將化為直角坐標(biāo)系下的三次積分，其中是由平面x＋y＋z＝1，x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1圍成的區(qū)域。

的下底是x＋y＋z＝1，上底是z＝1，解

的投影

是x+y=1，x=0，y=0圍成的三角形域，2021/5/992021/5/9102）截面法（先二后一）1）投影法（先一后二）

計(jì)算三重積分時(shí)，先求一個(gè)二重積分，再求一個(gè)定積分的方法2021/5/911

設(shè)區(qū)域的z值的最大值過內(nèi)任一點(diǎn)z，作水平平面與交出截面就是二重積分的積分區(qū)域.和最小值為和，

先在

上對x,y積分然后在上對z積分.2）截面法（先二后一）2021/5/912這樣得到先求出上的二重積分再求定積分.先二后一此法常用于上的二重積分易求的情形2021/5/913例3

計(jì)算，其中是由橢球面所圍成的空間閉區(qū)域。解

z的最小值和最大值為和，即2021/5/914的面積為2021/5/915二用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分在xoy面上就是極坐標(biāo).

設(shè)M（x,y,z）為空間一點(diǎn)，如果將x，y，z改用另外三個(gè)數(shù)來表示，則稱為點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)。2021/5/916三組坐標(biāo)面：柱面與直角坐標(biāo)的關(guān)系是＝常數(shù)（水平平面）＝常數(shù)（半平面）＝常數(shù)（圓柱面）由圖可知2021/5/917三組坐標(biāo)面族去分割空間區(qū)域，其任一小塊的體積可以近似看成以為底，為高的柱體體積。體積元素2021/5/918因此則積分區(qū)域在柱面坐標(biāo)系下的表示為：在柱面坐標(biāo)系下區(qū)域由直角變?yōu)橹孀鴺?biāo)表示2021/5/919則三重積分化為柱面坐標(biāo)的三次積分：若2021/5/920例4

計(jì)算其中是由上半球面和旋轉(zhuǎn)拋物面所圍成的區(qū)域.解

將積分區(qū)域向xoy面投影，得2021/5/921柱面坐標(biāo)2021/5/9222021/5/923例5

計(jì)算其中是由曲面與平面圍成的區(qū)域.解

在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域:2021/5/924所以2021/5/925

例6

計(jì)算其中2021/5/9262021/5/927問題若例6中的積分區(qū)域改為則答由對稱性，有2021/5/928思考題

在柱面坐標(biāo)系下求三重積分可以看作在直角坐標(biāo)系對作單積分，然后在投影區(qū)域上用極坐標(biāo)作二重積分呢？答：可以2021/5/929三、用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x,y,z)為空間一點(diǎn)，如果將x,y,z改用另外三個(gè)數(shù)r，，來表示,則稱(r，，)為點(diǎn)M的球面坐標(biāo)。2021/5/930球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系是2021/5/931分割空間區(qū)域，其任一小塊的體積可以近似地看成是長為、寬為、高為的長方體體積積分元素2021/5/932其中

一般將右端的形式化為先對r、次對、最后對的三次積分來計(jì)算。三重積分在球面坐標(biāo)系下的形式：2021/5/933

一般地，空間區(qū)域包含原點(diǎn)在其內(nèi)部，邊界曲面為則有例如當(dāng)為球面時(shí)2021/5/934例7

求半徑為的球面與半頂角為的內(nèi)接圓錐面所圍成的立體的體積(如圖).2021/5/935解

根據(jù)積分性質(zhì)：的度量，將用球面坐標(biāo)表示成不等式：2021/5/9362021/5/937思考題：球面方程柱面球面柱面方程直角坐標(biāo)系1.填寫下表中的空格：2021/5/9382.計(jì)算重積分應(yīng)怎樣選擇合適的坐標(biāo)系？應(yīng)考慮哪兩個(gè)方面？哪個(gè)方面更重要些？（1）積分區(qū)域（2）被積函數(shù)積分區(qū)域邊界的表達(dá)式簡單，便于定限被積函數(shù)的表達(dá)式簡單，便于積分相對而言，便于積分更重要一些.2021/5/939小結(jié)1.柱面坐標(biāo)系下兩種坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算由柱面與直角坐標(biāo)的關(guān)系有體積元素2021/5/940若則且被積函數(shù)含有常用極坐標(biāo)

且被積函數(shù)含有常用極坐標(biāo)

的側(cè)面由圓柱面或且被積函數(shù)含有常用柱坐標(biāo)

2021/5/9412.球面坐標(biāo)由球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：三重積分在球面坐標(biāo)系下的形式：體積元素其中2021/5/942

一般地，空間區(qū)域包含原點(diǎn)在其內(nèi)部，邊界曲面為